多元函數(shù)微分法和應(yīng)用期末復(fù)習(xí)題高等數(shù)學(xué)下冊(cè)上海電機(jī)學(xué)院

1、第八章偏導(dǎo)數(shù)與全微分、選擇題A1 .若u=u(x,y)是可微函數(shù)，且u(x,y)yx21,A.1B.1C.-1D.1222 .函數(shù)zx2y26x2y6DA.在點(diǎn)(-1,3)處取極大值C.在點(diǎn)(3,-1)處取極大值B.在點(diǎn)(-1,3)處取極小值D.在點(diǎn)(3,-1)處取極小值3.二元函數(shù)fx,y在點(diǎn)x0,y0處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fxM,yo,fyM,yo存在是函數(shù)2一2一24.設(shè)u=x+2y2+3z+xy+3x-2y-6z必要而非充分條件既非充分也非必要條件該點(diǎn)可微的BA.充分而非必要條件B.C.充分必要條件D.在點(diǎn)O(0,0,0)指向點(diǎn)A(1,1,1)方向的導(dǎo)數(shù)-uA.5.35.3B.6535.3C.

2、D.5 .函數(shù)zx3y33xybA.在點(diǎn)(0,0)處取極大值C.在點(diǎn)(0,0),(1,1)處都取極大值B.在點(diǎn)(1,1)處取極小值D.在點(diǎn)(0,0),(1,1)處都取極小值6 .二元函數(shù)fx,y在點(diǎn)x0,y0處可微是fx,y在該點(diǎn)連續(xù)的AA.充分而非必要條件B.必要而非充分條件C.充分必要條件D.7 .已知ysinyx0(0既非充分也非必要條件1),則=BdxA.1cosyB.-11cosyC.1cosy1D.1cosy5020,、8 .函數(shù)zxy一一(x0,y0)DxyA.在點(diǎn)(2,5)處取極大值C.在點(diǎn)(5,2)處取極大值B.在點(diǎn)(2,5)處取極小值D.在點(diǎn)(5,2)處取極小值9.二元函數(shù)

3、fx,y在點(diǎn)x0,y0處連續(xù)的是fx,y在點(diǎn)x0,y0處可微的AA.必要而非充分條件B.充分而非必要條件C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件10.曲線x=t,y=t2,z=t3所有切線中與平面x+2y+z=4平行的切線有A.1條B.2條C.3條D.不存在11.設(shè)f(x,y)xy22yx，則f（二當(dāng)ByxxyALA.42yxB.22xyC.-4yxD.22yx44yx12.為使二元函數(shù)f(x,y)y沿某一特殊路徑趨向y（0,0）的極限為2,這條路線應(yīng)選擇xB.一3xC.2yD.2xyy13.設(shè)函數(shù)z2f(x,y)滿(mǎn)足2y2,且f(x,1)2,fy(x,1)，貝Uf(x,y)B2A.y(x1)

4、y2b.y2(x1)y2C.y2(x1)y2D.(x1)y214.設(shè)f(x,y)3x2y,則f(xy,f(x,y)CA.3xy4x4yB.xyx2yC.3xy6x4yD.3xy4x6y15.為使二元函數(shù)f(x,y)22xy2在全平面連續(xù),xy則它在（0,0）處應(yīng)被補(bǔ)充定義為BA.-1B.0C.1D.16.已知函數(shù)f(xy,x22y)xyf(x,y)y17.若18.若A.2xf(y)x2yB.2x2yC.xD.22xy(x0),xf(x)C.D.zyx,則在點(diǎn)-zD處有一y19.設(shè)z2xy,則下列結(jié)論正確的是A2zA.xy2zB.xy2zC.xyD.兩者大小無(wú)法確定0,20.函數(shù)f(x,y)xs

5、in一y_1ysin一,xxy0c,則極限xy0呵f(x,y)(y0C).(A)等于1(B)等于2(C)等于0(D)不存在21.函數(shù)zxy在點(diǎn)(0,0)(D).(A)有極大值(B)有極小值(C)不是駐點(diǎn)(D)無(wú)極值22.二元函數(shù)zVxy2在原點(diǎn)(0,0)處(A).(A)連續(xù)，但偏導(dǎo)不存在(C)偏導(dǎo)存在，但不連續(xù)(B)可微(D)偏導(dǎo)存在，但不可微23.設(shè)uf(r),而r7x一寸z2f(r)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),2u則x2u-2y(B).(A)f(r)11f,(r)r1-f,(r)r(B)f(r)1,(D)-12f(r)r24.函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)存在的(f(r)f(r

6、)D).(A)(C)必要而非充分條件充分必要條件(B)充分而非必要條件(D)既非充分又非必要條件25.函數(shù)z122.xy的極大值點(diǎn)是(D).(A)(1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26.設(shè)f(x,y)arcsinfx(2,1)(B).(A)(B)(D)limx0y028.zf(x,y)若在點(diǎn)Po(X0,yo)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則(B)(A)f(x,y)在點(diǎn)P0連續(xù)(B)zf(x,y0)在點(diǎn)x0連續(xù)(C)dz|Pdx|Pdy(D)A,B,C都不對(duì)29.設(shè)函數(shù)zxy,則dz=(A).y1y.yxdxxInxdyyyx1dxxydy(C).xydxxylnxdy(D).

7、yyx1dxxylnydy30.z已知u2lnv,ux一,vyxy,則y落nxy(A)y(B)與lnxyy當(dāng)lnxyy(D)2x2ylnxy31.函數(shù)z=41x2y2的定義域是(D(A.)(C.)D=(x,y)|x2+y2=1D=(x,y)|x2+y21(B.)(D.)D=(x,y)|x2+y21D=(x,y)|x2+y2132.,則下列式中正確的是y33.34.(A)(C)(A)已知f(y,x)f(x,y);f(x,y)；_xxesiny；(B)ef(xy,xy)x2(D);exsiny；(C)y2,則一f(B)(D)f(xy,xf(x,y)_xecosy；-(C);(D)y)f(x,y)；

8、f(x,y)一x一一esiny(A)2x2y；(B)(C)2x2y(D)xy.35.設(shè)z2x23xy(B)3(C)-2(D)2.36.設(shè)(C)37.lxm0limx0xy。fx0x,y0yfx0,y(B)lxm0fx0x,yfx0,y0fx0x,yfx0,y0設(shè)由方程(D)limx0fx0x,y0xyz0確定的隱函數(shù)x,y,則二x(B)y(C)x1zy(D)x1z38.二次函數(shù)zln(4y2)A.1A.o解：由拉格朗日乘數(shù)法，令L(x,y,)xpyq(xya)(2分).p1qLxpxy0由Lyqxpyq10(2分)Lxya0解得駐點(diǎn)(_ap,四)(2分).pqpq又由題意當(dāng)點(diǎn)(x,y)趨于邊界

9、x0或y0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)f趨于零，所以連續(xù)函數(shù)f在駐點(diǎn)取最大值。因此當(dāng)x-ap-,y-aq時(shí)，xpyq的值最大pqpq26 .設(shè)zf(x,y)g(u,v),ux3,vxy,其中f,g具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求衛(wèi).x解：fxgugv(2分)xxxfx3x2guyxy1g；(3分).27 .求曲線x2t2,ycos(t),z2lnt在對(duì)應(yīng)于t2點(diǎn)處的切線及法平面方程。解：當(dāng)t2時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,1,2ln2);又參數(shù)方程的切線方向向量為：n|t24t,sin(t),，|t28,0,1(2分)，故切線方程為8八Z21n2(2分801一，x88(z2ln2)或y10而法平面方程為8(x8)(z2ln2

10、)0(2分).23.28.求函數(shù)uxy2z3在點(diǎn)Mo(1,1,1)處方向?qū)?shù)的最大值和最小值。解：u在點(diǎn)Mo(1,1,1)處沿方向l的方向?qū)?shù)為:,23322(yzcos2xyzcos3xyzcos)|MoMocos2cos3cos(2分).人,0_令lcos,cos,cos,g1,2,3,gl0|g|1101cos,為g與l0的夾角。Mo要使ul即：當(dāng)同理，要使值，即：當(dāng)29.設(shè)函數(shù)Mol0l0解:30.取最大值，則cos=1,即=0,也就是g與l0同向時(shí)，-u1,2,3時(shí)，-u,14l取最大值|g|J14（3分）.M0取最小值，則cos=-1,即M0得1,2,3時(shí)，-7f（x2x2y，取最

11、小值M。|g|,也就是g與l0反向時(shí),g（3分）.取最大值,M0取最小M0xyzy,e），求xexy3zx，y是由xzMz及處的偏導(dǎo)數(shù)xy3x2yzxM03z2xyz3y2xzVM03z2xy31.解:MoM0的值。xyyevxy一xey=2xyxyexyxyxeZ3xyz60所確定的隱函數(shù)，求它在點(diǎn)（1八1,M0=（1,2,1）（3分）5?（3分）5斜邊長(zhǎng)為m的所有直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形直角邊的邊長(zhǎng).設(shè)兩條直角邊的邊長(zhǎng)為x,V，周長(zhǎng)為S,則Smxy（1分）1,2,-1）222、一F（x,y,）mxy（xym）（2分）12x0x令12y0（3分）yF222xym0解得xy,2因

12、為所有直角三角形的直角頂點(diǎn)位于直徑為m的半圓周上，最小周長(zhǎng)不存在，從而實(shí)際問(wèn)題只有最大值，此時(shí)有最大周長(zhǎng)的直角三角形的邊長(zhǎng)均是mo2zzu32設(shè)zesinv,而uxy,vxy，求x,yzzuzvxuxvxuu= esinvyecosv1= euysinvcosv（3分）zzuzvyuyvy=eusinvxeucosv1=euxsinvcosv22zz33.設(shè)zfxy,且f可攸求yx。xym2xf（2分）2yf（2分）yxz0（2分）xyxy34 .求曲面ezzxy3在點(diǎn)2,1,0處的切平面與法線的方程.fx,y,zezzxy3則工1,-2,0（3分）x2,1,0y2,1,0z2,1,0切平面方

13、程為x22y10z00即x2y40（2分）法線方程為12（2分）z035 .將正數(shù)12分成三個(gè)正數(shù)x,y,z之和，使得ux3y2z為最大.(8分)Fx3x2y2z03解：令F(x,y,z)x3y2z(xyz12),則y:9(3分)Fzx3y20xyz12解得唯一駐點(diǎn)(6,4,2)(4分)，故最大值為umax634226912.2y+zz36、已知z=arctan2，求一,xxxy解:2yz22,xyxy(x222y)37.設(shè)z22,zzy,xy，求，yxy2zzf12yf2x,yxyfii2xf12y2yf212xf22yxf2238.已知z=arctan丫，求二,。xxxy222解：衛(wèi)4(3

14、分),“77(3分)xxyxy(xy)39、設(shè)z=x2lny,而x=,y=3u-2v,求解:z制(3u2v)vu行,(3分)f（3分）40.將正數(shù)a分成三個(gè)正數(shù)之和，使它們之乘積為最大。求這三個(gè)數(shù)。解：設(shè)三個(gè)數(shù)分別為x,y,z.F（x,y,z,xyz（xyza）（2分）Fxyz作F令FyFzxzxy0公,（4%）x0a（4分）341.設(shè)zxarctan（xy）,zy1（1,1）gradz|（i,i）解：4|（i,i）arctanxyxy2xy1、（2分）21,1zy|（1,1）2x2xy1（2分）21,1gradz|（i,i）1r，八、j（2分）242.求曲面ezxy3在點(diǎn)M（2,1,0）處的切平面方程和法線方程。解：Fx2,1,0y2,1,01,Fy2,1,0x2,1,02,Fz2,1,012,1,00（3分）切平面方程為x2y40法線方程為平?043、設(shè)zln.x2y2，求dz1,1解：z1,11,11八一（2分）21,11,11八一（2分）2dz2dxdy（2分）44、xy，其中Fu可微，證明;zy一yxyz、丁zL證：一Fxy（2分）x（2分）zy一yxyz（2