小波的幾個術語及常見的小波基介紹

1、小波的幾個術語及常見的小波基介紹本篇是這段時間學習小波變換的一個收尾,了解一下常見的小波函數(shù),混個臉熟,知道一下常見的幾個術語,有個印象即可,這里就當是先作一個備忘錄,以后假設有需要再深入研究.一、小波基選擇標準小波變換不同于傅里葉變換,根據小波母函數(shù)的不同,小波變換的結果也不盡相同.現(xiàn)實中到底選擇使用哪一種小波的標準一般有以下幾點：1、支撐長度小波函數(shù)W、3(0)尺度函數(shù)&t)和4(的支撐區(qū)間,是當時間或頻率趨向于無窮大時,w(t)、w(5)Mt)和.(Mt一個有限值收斂到0的長度.支撐長度越長,一般需要消耗更多的計算時間,且產生更多高幅值的小波系數(shù).大局部應用選擇支撐長度為59之間的小波,

2、由于支撐長度太長會產生邊界問題,支撐長度太短消失矩太低,不利于信號能量的集中.這里常常見到緊支撐的概念,通俗來講,對于函數(shù)f(x),如果自變量x在0附近的取值范圍內,f(x)能取到值；而在此之外,f(x)取值為0,那么這個函數(shù)f(x)就是緊支撐函數(shù),而這個0附近的取值范圍就叫做緊支撐集.總結為一句話就是除在一個很小的區(qū)域外,函數(shù)為零,即函數(shù)有速降性2、對稱性具有對稱性的小波,在圖像處理中可以很有效地防止相位畸變,由于該小波對應的濾波器具有線性相位的特點.3、消失矩在實際中,對根本小波往往不僅要求滿足容許條件,對還要施加所謂的消失矩(VanishingMoments)條件,使盡量多的小波系數(shù)為零

3、或者產生盡量少的非零小波系數(shù),這樣有利于數(shù)據壓縮和消除噪聲.消失矩越大,就使更多的小波系數(shù)為零.但在一般情況下,消失矩越高,支撐長度也越長.所以在支撐長度和消失矩上,我們必須要折衷處理.小波的消失矩的定義為,假設jfP中df=0其中,W(t)為根本小波,0=pN.那么稱小波函數(shù)具有N階消失矩.從上式還可以得出,同任意n-1階多項式正交.在頻域內表示就是3(在3=0處有高階零點(一階零點就是容許條件).4、正那么性在量化或者舍入小波系數(shù)時,為了減小重構誤差對人眼的影響,我們必須盡量增大小波的光滑性或者連續(xù)可微性.由于人眼對不規(guī)那么(irregular誤差比平滑誤差更加敏感.換句話說,我們需要強加

4、芷那么性(regularity除件.也就是說正那么性好的小波,能在信號或圖像的重構中獲得較好的平滑效果,減小量化或舍入誤差的視覺影響.但在一般情況下,正那么性好,支撐長度就長,計算時間也就越大.因此正那么性和支撐長度上,我們也要有所權衡.消失矩和正那么性之間有很大關系,對很多重要的小波(比方,樣條小波,Daubechies小波等)來說,隨著消失矩的增加,小波的正那么性變大,但是,并不能說隨著小波消失矩的增加,小波的正那么性一定增加,有的反而變小.5、相似性選擇和信號波形相似的小波,這對于壓縮和消噪是有參考價值的.二、常見的小波基以以下出的15種小波基是Matlab中支持的15種.小波函數(shù)Haa

5、rDaubechiesBiorthogonalCoifletsSymletsMorletMexicanHatMeyer小波縮寫名haardbbiorcoifsymmorlmexhmeyr表小形式haardbNbiorNr.NdcoifNsymNmorlmexhmeyr舉例haardb3bior2.4coif3sym2morlmexhmeyr止交性有有無有有無無有雙止交性有有有有有無無有緊支撐性有有一有有有無無無連續(xù)小波變換可以可以可以可以可以可以可以可以離散小波變換可以可以可以可以可以/、可以/、可以可以但無FWT支撐長度12N-1重構:2Nr+1分解:2Nd+16N-12N-1有限長度有限長

6、度有限長度濾波器長度22NMax(2Nr,2Nd)+26N2N-4,4-5,5-8,8對稱性對稱近似對稱不對稱近似對稱近似對稱對稱對稱對稱小波函數(shù)消失矩階數(shù)1NNr-12NN-尺度函數(shù)消失矩階數(shù)-2N-1-小波函數(shù)GausDmeyerReverseBiorCgauCmorFbspShan小波縮寫名gausdmeyrbioNr.Ndcgaucmorfbspshan表小形式gausNdmeyrbioNr.NdcgauNcmorfbspshan舉例gaus3dmeyrbio2.4cgau3cmorfbspshan緊支撐止交性無無無無無無無緊支撐雙正交性無無有無無無無連續(xù)小波變換可以/、可以可以/、可

7、以/、可以/、可以/、可以離散小波變換/、可以可以可以/、可以/、可以/、可以/、可以對稱性對稱對稱對稱對稱對稱對稱對稱小波函數(shù)消失矩階數(shù)-尺度函數(shù)消失矩階數(shù)-Nr-1-1、Haar小波Haar,一般音譯為哈爾.也是最簡單的一Haar函數(shù)是小波分析中最早用到的一個具有緊支撐的正交小波函數(shù),個小波函數(shù),它是支撐域在tC0,1范圍內的單個矩形波.Haar小波在時域上是不連續(xù)的,所以作為根本小波性能不是特別好.在Matlab中輸入命令waveinfo(haar)可得到如下信息:Generalcharacteristics:Compactlysupportedwavelet,theoldestandt

8、hesimplestwavelet.scalingfunctionphi=1on01and0otherwise.waveletfunctionpsi=1on00.5,=-1on0.51and0otherwise.CompactsupportyesFamilyHaarShortnamehaarExampleshaaristhesameasdb1OrthogonalyesBiorthogonalyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth1Filterslength2RegularityhaarisnotcontinuousSymmetryyesNumberofvan

9、ishingmomentsforpsi2、DaubechiesdbN、波緊支集正交小波Daubechies,一般音譯為多貝西.Daubechies小波是由世界著明的小波分析學者IngridDaubechies一般音譯為英格麗多貝西構造的小波函數(shù),我們一般簡寫成dbN,N是小波的階數(shù).小波函數(shù)邙t和尺度函數(shù)旭中的支撐區(qū)為2N-1,Wt的消失矩為NodbN小波具有較好的正那么性,即該小波作為稀疏基所引入的光滑誤差不容易被發(fā)覺,使得信號重構過程比擬光滑.dbN小波的特點是隨著階次序列N的增大消失矩階數(shù)越大,其中消失矩越高光滑性就越好,頻域的局部化水平就越強,頻帶的劃分效果越好,但是會使時域緊支撐性減

10、弱,同時計算量大大增加,實時性變差.另外,除N=1外,dbN小波不具有對稱性即非線性相位,即在對信號進行分析和重構時會產生一定的相位失真.dbN沒有明確的表達式除了N=1外,N=1時即為Haar小波.在Matlab中輸入命令waveinfodb可得到如下信息：Generalcharacteristics:Compactlysupportedwaveletswithextremalphaseandhighestnumberofvanishingmomentsforagivensupportwidth.Associatedscalingfiltersareminimum-phasefilters.

11、FamilyDaubechiesShortnamedbOrderNNstrictlypositiveintegerExamplesdb1orhaar,db4,db15OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth2N-1Filterslength2NRegularityabout0.2NforlargeNSymmetryfarfromNumberofvanishingmomentsforpsiN3、Symlet(symN)/、波(近似對稱的緊支集正交小波)Symlet小波函數(shù)是Ing

12、ridDaubechies提出的近似對稱的小波函數(shù),它是對db函數(shù)的一種改良.Symlet小波系通常表示為symN(N=2,3,8).symN小波的支撐范圍為2N-1,消失矩為N,同時也具備較好的正那么性.該小波與dbN小波相比,在連續(xù)性、支集長度、濾波器長度等方面與dbN小波一致,但symN小波具有更好的對稱性,即一定程度上能夠減少對信號進行分析和重構時的相位失真.在Matlab中輸入命令waveinfo(sym)可得到如下信息：Generalcharacteristics:Compactlysupportedwaveletswithleastasymmetryandhighestnumbe

13、rofvanishingmomentsforagivensupportwidth.Associatedscalingfiltersarenearlinear-phasefilters.FamilySymletsShortnamesymOrderNN=2,3,.Examplessym2,sym8OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth2N-1Filterslength2NRegularitySymmetrynearfromNumberofvanishingmomentsforps

14、iN4、Coiflet(coifN)/、波根據R.Coifman的要求,Daubechies構造了Coiflet小波,它具有coifN(N=1,2,3,4,5)這一系列.Coiflet的小波函數(shù)W的2N階矩為零,尺度函數(shù)帕)的2N-1階矩為零.W(t)和蛆)的支撐長度為6N-1.Coiflet的照t)和小具有比dbN更好的對稱性.在Matlab中輸入命令waveinfo(coif)可得到如下信息：Generalcharacteristics:Compactlysupportedwaveletswithhighestnumberofvanishingmomentsforbothphiandpsi

15、foragivensupportwidth.FamilyCoifletsShortnamecoifOrderNN=1,2,5Examplescoif2,coif4OrthogonalyesBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth6N-1Filterslength6NRegularitySymmetrynearfromNumberofvanishingmomentsforpsi2NNumberofvanishingmomentsforphi2N-15、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波為了

16、解決對稱性和精確信號重構的不相容性,引入了雙正交小波,稱為對偶的兩個小波分別用于信號的分解和重構.雙正交小波解決了線性相位和正交性要求的矛盾.由于它有線性相位特性,所以主要應用在信號與圖像的重構中.通常的用法是采用一個函數(shù)進行分解,用另外一個小波函婁進行重構.雙正交小波與正交小波的區(qū)別在于正交小波滿足=亞6,m,也就是對小波函數(shù)的伸縮和平移構成的基函數(shù)完全正交,而雙正交小波滿足的正交性為=也,也就是對不同尺度伸縮下的小波函數(shù)之間有正交性,而同尺度之間通過平移得到的小波函數(shù)系相應的濾波器也不能由同一之間沒有正交性,所以用于分解與重構的小波不是同一個函數(shù),個小波生成.該小波雖然不是正交小波,但卻是

17、雙正交小波,具備正那么性,同時也是緊支撐的,其重構支撐范圍為2Nr+1,分解支撐范圍為2Nd+1.biorNr.Nd小波的主要特征表現(xiàn)在具有線性相位特性.一般來說為了獲得線性相位,需要降低對于正交性的局限,為此該雙正交小波降低了對于正交性的要求,保存了正交小波的一局部正交性,使小波攻得了線性相位和較短支集的特性.在Matlab中輸入命令waveinfo(bior)可得到如下信息：Generalcharacteristics:Compactlysupportedbiorthogonalsplinewaveletsforwhichsymmetryandexactreconstructionarep

18、ossiblewithFIRfilters(inorthogonalcaseitisimpossibleexceptforHaar).FamilyBiorthogonalShortnamebiorOrderNr,NdNr=1,Nd=1,3,5rforreconstructionNr=2,Nd=2,4,6,8dfordecompositionNr=3,Nd=1,3,5,7,9Nr=4,Nd=4Nr=5,Nd=5Nr=6,Nd=8Examplesbior3.1,bior5.5OrthogonalnoBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTposs

19、ibleSupportwidthFilterslength2Nr+1forrec.,2Nd+1fordec.max(2Nr,2Nd)+2butessentiallybiorNr.NdldlreffectivelengtheffectiveofLo_DofHi_Dbior1.122bior1.362bior1.5102bior2.253bior2.493bior2.6133bior2.8173lengthbior3.144bior3.384bior3.5124bior3.7164bior3.9204bior4.497bior5.5911bior6.81711Regularityforpsirec

20、.Nr-1andNr-2attheknotsyesSymmetryNumberofvanishingmomentsforpsidec.NrRemark:bior4.4,5.5and6.8aresuchthatreconstructionanddecompositionfunctionsandfiltersarecloseinvalue.6、ReverseBior小波由Biorthogonal而來,因此兩者形式很類似.MatlabGeneralcharacteristics:Compactlysupportedbiorthogonalsplinewaveletsforwhichsymmetrya

21、ndexactreconstructionarepossiblewithFIRfilters(inorthogonalcaseitisimpossibleexceptforHaar).FamilyBiorthogonalShortnamerbioOrderNd,NrNd=1,Nr=1,3,5rforreconstructionNd=2,Nr=2,4,6,8dfordecompositionNd=3,Nr=1,3,5,7,9Nd=4,Nr=4Nd=5,Nr=5Nd=6,Nr=8Examplesrbio3.1,rbio5.5OrthogonalnoBiorthogonalyesCompactsup

22、portyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwidth2Nd+1forrec.,2Nr+1fordec.Filterslengthmax(2Nd,2Nr)+2butessentiallyrbioNd.NrlrldeffectivelengtheffectivelengthofHi_DofLo_Drbio1.122rbio1.362rbio1.5102rbio2.253rbio2.493rbio2.6133rbio2.8173rbio3.144rbio3.384rbio3.5124rbio3.7164rbio3.9204rbio4.497rbio5.511rbio6.

23、81711Regularityforpsirec.Nd-1andNd-2attheknotsyesSymmetryNumberofvanishingmomentsforpsidec.NdRemark:rbio4.4,5.5and6.8aresuchthatreconstructionanddecompositionfunctionsandfiltersarecloseinvalue.7、Meyer小波Meyer小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)都是在頻率域中進行定義的,它不是緊支撐的,但它的收斂速度很快.在Matlab中輸入命令waveinfo(meyr)可得到如下信息：Generalcharacter

24、istics:Infinitelyregularorthogonalwavelet.MeyerFamilyShortnamemeyrBiorthogonalyesCompactsupportnoDWTpossiblebutwithoutFWTFIRbasedapproximationprovidesFWTCWTpossibleSupportwidthinfiniteEffectivesupport-88RegularityindefinitelyderivableSymmetryyes8、Dmeyer小波Dmeyer即離散的Meyer小波,它是Meyer小波基于FIR的近似,用于快速離散小波變

25、換的計算.在Matlab中輸入命令waveinfo(dmey)可得到如下信息：Definition:FIRbasedapproximationoftheMeyerWavelet.FamilyDMeyerShortnamedmeyOrthogonalyesDWTpossibleCWTpossible9、Gaussian小波Gaussian小波是高斯密度函數(shù)的微分形式,它是一種非正交與非雙正交的小波,沒有尺度函數(shù).在Matlab中輸入命令waveinfo(gaus)可得到如下信息：Definition:derivativesoftheGaussianprobabilitydensityfuncti

26、on.gaus(x,n)=Cn*diff(exp(-xA2),n)wherediffdenotesthesymbolicderivativeandwhereCnissuchthatthe2-normofgaus(x,n)=1.FamilyGaussianShortnamegausWaveletnamegausnOrthogonalnoDWTnoCWTpossibleSupportwidthinfiniteEffectivesupport-55Symmetryyesneven=Symmetrynodd=Anti-Symmetry10、MexicanHat(mexh)小波MexicanHat函數(shù)為

27、Gauss函數(shù)的二階導數(shù).因數(shù)它的形狀像墨西哥帽的截面,所以我們稱這個函數(shù)為墨西哥草帽函數(shù).它在時域和頻率都有很好的局部化,但不存在尺度函數(shù),所以此小波函數(shù)不具有正交性.在Matlab中輸入命令waveinfo(mexh)可得到如下信息：Definition:secondderivativeoftheGaussianprobabilitydensityfunctionmexh(x)=c*exp(-xA2/2)*(1-xA2)wherec=2/(sqrt(3)*piA1/4)FamilyMexicanhatShortnamemexhOrthogonalnoBiorthogonalnoCompac

28、tsupportnoDWTnoCWTpossibleSupportwidthinfiniteEffectivesupport-55Symmetryyes11、Morlet小波Morlet小波是高斯包絡下的單頻率正弦函數(shù),沒有尺度函數(shù),是非正交分解.在Matlab中輸入命令waveinfo(morl)可得到如下信息：Definition:morl(x)=exp(-xA2/2)*cos(5x)FamilyMorletOrthogonalnoBiorthogonalnoCompactsupportnoDWTnoCWTpossibleSupportwidthinfiniteEffectivesuppo

29、rt卜44Symmetryyes12、ComplexGaussian/卜波屬于一類復小波,沒有尺度函數(shù).在Matlab中輸入命令waveinfo(cgau)可得到如下信息:Definition:derivativesofthecomplexGaussianfunctioncgau(x)=Cn*diff(exp(-i*x)*exp(-xA2),n)wherediffdenotesthesymbolicderivativeandwhereCnisaconstantFamilyComplexGaussianWaveletnamecgaunOrthogonalnoBiorthogonalnoCompa

30、ctsupportnoDWTnoComplexCWTpossibleSupportwidthinfiniteSymmetryyesneven=Symmetrynodd=Anti-Symmetry13、ComplexShannonWaveletsshan在Matlab中輸入命令waveinfo(shan)可得到如下信息：Definition:acomplexShannonwaveletisshan(x)=FbA0.5*sinc(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)dependingontwoparameters:FbisabandwidthparameterFcisawaveletcenterfrequencyTheconditionFcFb/2issufficienttoensurethatzeroisnotinthefrequencysupportinterval.FamilyComplexShannonShortnameshanWaveletnameshanFb-FcOrthogonalnoBiorthogon