曲線擬合試驗(yàn)報告

1、數(shù)值分析課程設(shè)計報告學(xué)生姓名學(xué)生學(xué)號所在班級指導(dǎo)教師成績評定一、課程設(shè)計名稱函數(shù)逼近與曲線擬合二、課程設(shè)計目的及要求實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簩W(xué)會用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式，并應(yīng)用算法于實(shí)際問題。學(xué)會基本的矩陣運(yùn)算，注意點(diǎn)乘和叉乘的區(qū)別。實(shí)驗(yàn)要求：編寫程序用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式，并求平方誤差，做出離散函數(shù)(？私?？和擬合函數(shù)的圖形；用MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)polyfit求解上面最小二乘法曲線擬合多項式的系數(shù)及平方誤差，并用MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)plot作出其圖形，并與(1)結(jié)果進(jìn)行比較。三、課程設(shè)計中的算法描述用最小二乘法多項式曲線擬合，根據(jù)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并不要求這條曲線精確的經(jīng)過這些點(diǎn)，而是擬合

2、曲線無限逼近離散點(diǎn)所形成的數(shù)據(jù)曲線。思路分析：從整體上考慮近似函數(shù)p(x)同所給數(shù)據(jù)點(diǎn)(。丫)誤差h=p(x)-%的大小，常用的方法有三種：一是誤差=p(x)-%絕對值的最大m值max，,即誤差向量的無窮范數(shù)；二是誤差絕對值的和z|ri|,即誤差向量的im范數(shù)；三是誤差平方和r：的算術(shù)平方根，即類似于誤差向量的2范數(shù)。前兩i=0種方法簡單、自然，但不便于微分運(yùn)算，后一種方法相當(dāng)于考慮2范數(shù)的平方，此次采用第三種誤差分析方案。算法的具體推導(dǎo)過程：1 .設(shè)擬合多項式為：y=?0+?+?+?+?yjfy，F(xiàn)fBB2 .給點(diǎn)到這條曲線的距離之和，即偏差平方和：?=?-?)+?+?+?2?13 .為了求

3、得到符合條件的a的值，對等式右邊求？刖導(dǎo)數(shù)，因而我們得到了:?-2?-?2+?+?+?=0?1?-2?-?)+?+?+?=0?1?-2?-?/0+?+?+?=0?14 .將等式左邊進(jìn)行一次簡化，然后應(yīng)該可以得到下面的等式?+?+?+?青?1?1?+?+?+?笊?1?1?1?+?+1+?+?1?1?15 .把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣：nnxn.z-nEVIi1a0日nnnk書XnZxEX2.zazyii=1ai=1a+iT*.i=1ankkXint-k書.ZXin.z2kXA1nzV-Ii=1i=1一1i=16 .將這個范德蒙得矩陣化簡后得到1X11X2m-Jxnk7 .因

4、為X*A=Y,那么A=Y/X，計算得到系數(shù)矩陣，同時就得到了擬合曲線四、課程設(shè)計內(nèi)容實(shí)驗(yàn)環(huán)境：MATLAB2010實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)（？/?磷?00.50.60.70.80.91.0?11.751.962.192.442.713.001）用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項式；2）用MATLA的部函數(shù)polyfit函數(shù)進(jìn)行擬合。實(shí)驗(yàn)步驟1）首先根據(jù)表格中給定的數(shù)據(jù)，用MATLA歆件畫出數(shù)據(jù)白散點(diǎn)圖（圖1）。2）觀察散點(diǎn)圖的變化趨勢，近似于二次函數(shù)。則用二次多項式進(jìn)行擬合，取一組基函數(shù)？?,？?,？?,并令f（x）=?+?+?,其中？?是待定系數(shù)（k=1,2,3）o3）用MATLABi序作線性最小二

5、乘法的多項式擬合，求待定系數(shù)。算法實(shí)現(xiàn)代碼如下：x=00.50.60.70.80.91.0;y=11.751.962.192.442.713.00;R=（xA2）xones（7,1）;A=Ry4）用MATLAB5序計算平均誤差。算法實(shí)現(xiàn)代碼如下：y1=11.751.962.192.442.713.00;x=00.50.60.70.80.91.0;y=x.A2+x+1;z=（y-y1）A2;sum（z）5）作出擬合曲線和數(shù)據(jù)圖形（圖2）o6）用MATLA的內(nèi)部函數(shù)polyfit求解上面最小二乘法曲線擬合多項式的系數(shù)及平方誤差。算法實(shí)現(xiàn)代碼如下：x=00.50.60.70.80.91.0;y=11

6、.751.962.192.442.713.00;A=polyfit(x,y,2);%二次多形式擬合%z=polyval(A,x);Ad=sum(z-y).A2)7)繪制使用polyfit函數(shù)實(shí)現(xiàn)的擬合圖形。(圖3)五、程序流程圖圖5-1用最小二乘法求多項式擬合曲線流程圖圖5-2用polyfit函數(shù)求多項式擬合曲線流程圖六、實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)豹據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)點(diǎn)(xiyi)21816141201020304060.607OS09圖6-1表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)克的觸點(diǎn)圖及姒合曲線0.10.20.30.40.50.6070.80.9圖6-2.最小二乘法實(shí)現(xiàn)的擬合曲線第1問系數(shù)為A=1.00001.000

7、01.0000則多項式的方程為y=?+?1平方誤差和為第2問系數(shù)為A=1.00001.00001.0000則多項式的方程為y=?+?+1平方誤差和為ans=1.9722e-031七、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析編寫程序用最小二乘法求擬合曲線的多項式的過程中，求出的數(shù)據(jù)和擬合函數(shù)的平方誤差很小，達(dá)到了很高的精度要求，以及通過散點(diǎn)求得的擬合曲線比較光滑。而用MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)求polyfit求解的曲線擬合多項式和平方誤差與程序求得的相同，還有就是雖然求解過程簡單了，但用MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)做出的圖形由明顯的尖點(diǎn)，不夠光滑。此次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，而且數(shù)據(jù)基本都是可靠數(shù)據(jù)。但是在應(yīng)用實(shí)際問題中，數(shù)據(jù)會很龐雜，此時對

8、于最小為乘法的算法就需要進(jìn)一步的細(xì)化。例如在進(jìn)行數(shù)據(jù)采集時，由于數(shù)據(jù)采集器（各種傳感器）或機(jī)器自身的原因及其外部各種因素的制約，導(dǎo)致數(shù)據(jù)偶爾會有大幅度的波動，及產(chǎn)生一些偏差極大的數(shù)據(jù)，不能真實(shí)反映數(shù)據(jù)的可靠性，所以會對數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選或修正。而此時就可應(yīng)用曲線擬合的最小二乘法的進(jìn)行處理。八、實(shí)驗(yàn)心得體會在日常的學(xué)習(xí)和生活中，我們可能會遇到各種方面的跟數(shù)據(jù)有關(guān)的問題，并不是所有的數(shù)據(jù)都是有用，必須對數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，然后找出?shù)據(jù)之間的關(guān)系，然后進(jìn)行分析得出結(jié)果。此次實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本沒有大的區(qū)別，可是MATLA提供給我們一個特別簡潔的辦法，應(yīng)用一個函數(shù)即可實(shí)現(xiàn)相同的結(jié)果。雖然很方便，但是對于初學(xué)者來說，

9、我覺得打好基礎(chǔ)才是關(guān)鍵，對于一個知識點(diǎn)，應(yīng)該掌握其最基本的原理，然后在將它應(yīng)用于實(shí)際。通過這個實(shí)驗(yàn)我也理解到了，數(shù)值分析是一個工具學(xué)科，它教給了我們分析和解決數(shù)值計算問題得方法，使我從中得到很多關(guān)于算法的思想，從中受益匪淺附錄：源代碼散點(diǎn)圖：x=00.50.60.70.80.91.0;y=11.751.962.192.442.713.00;plot(x,y,r*)title(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖);legend(數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi);xlable(x);ylable(y);最小二乘擬合：x=00.50.60.70.80.91.0;y=11.751.962.192.442.713.00;R=(x.A2)xones(7,1);A=Ryx1=00.50.60.70.80.91.0;y1=11.751.962.192.442.713.00;x=00.50.60.70.80.91.0;y=x-2+x+1;plot(x1,y1,k+,x,y,r)title(實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖及擬合曲線);z=(y-y1)A2;sum(z)Polyfit函數(shù)擬合：x=00.5