誤差分析隨機(jī)過(guò)程教程學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1誤差分析隨機(jī)誤差分析隨機(jī)(su j)過(guò)程教程過(guò)程教程第一頁(yè)，共42頁(yè)。第2頁(yè)/共42頁(yè)第二頁(yè)，共42頁(yè)。第3頁(yè)/共42頁(yè)第三頁(yè)，共42頁(yè)。（2）測(cè)量環(huán)境方面的因素 ：放置測(cè)量主機(jī)和被測(cè)試樣的隔震臺(tái)不能很好消除外界的低頻震動(dòng) ，儀器所在實(shí)驗(yàn)室氣流和溫度的波動(dòng) ，空氣塵埃的漂浮、穩(wěn)壓電源供電(n din)電壓的微小波動(dòng)。（3）操作人員方面的因素：操作人員的裝夾調(diào)整不當(dāng)引起被采集的測(cè)量干涉圖像質(zhì)量(zhling)低、條紋疏密不當(dāng) ，采集干涉圖像的攝像頭變焦倍數(shù)過(guò)小造成較大的離散化采樣誤差。 第4頁(yè)/共42頁(yè)第四頁(yè)，共42頁(yè)。第5頁(yè)/共42頁(yè)第五頁(yè)，共42頁(yè)。if0.1140.1160.118

2、0.120.1220.1240.1260.12801020304050 經(jīng)過(guò)分析，由于上述誤差源多而又不能斷定哪個(gè)誤差源的影響占主要地位，因此造成該統(tǒng)計(jì)直方圖大致呈現(xiàn)正態(tài)分布的特征(tzhng)。如果其中有個(gè)別非正態(tài)的隨機(jī)誤差因素明顯占優(yōu)，則該統(tǒng)計(jì)直方圖就會(huì)呈現(xiàn)其他分布的特征(tzhng)。ix第6頁(yè)/共42頁(yè)第六頁(yè)，共42頁(yè)。ixNoImage0 xi0 xxii第7頁(yè)/共42頁(yè)第七頁(yè)，共42頁(yè)。當(dāng)測(cè)量(cling)次數(shù)n充分大時(shí)，有10nii10nijij 以及(yj)抵償性是各種隨機(jī)誤差所共有的本質(zhì)特征。 第8頁(yè)/共42頁(yè)第八頁(yè)，共42頁(yè)。k第9頁(yè)/共42頁(yè)第九頁(yè)，共42頁(yè)。第10頁(yè)/共

3、42頁(yè)第十頁(yè)，共42頁(yè)。第11頁(yè)/共42頁(yè)第十一頁(yè)，共42頁(yè)。 221exp22xf x 為測(cè)量總體的數(shù)學(xué)(shxu)期望，如不計(jì)系統(tǒng)誤差，則 即為隨機(jī)誤差 。x 為測(cè)量總體的標(biāo)準(zhǔn)差，是評(píng)價(jià)隨機(jī)誤差的基本指標(biāo)，它的數(shù)值決定于標(biāo)準(zhǔn)器、儀器儀表、測(cè)量環(huán)境、測(cè)量人員和被測(cè)對(duì)象等各項(xiàng)因素(yn s)。對(duì)同一被測(cè)對(duì)象，測(cè)量系統(tǒng)確定后，標(biāo)準(zhǔn)偏差 的數(shù)值也就隨之確定。不同測(cè)量系統(tǒng)則 取值也不同。第12頁(yè)/共42頁(yè)第十二頁(yè)，共42頁(yè)。（1）單峰性：小誤差出現(xiàn)的概率比大誤差出現(xiàn) 的概率大。（2）對(duì)稱性：正誤差出現(xiàn)的概率與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等(xingdng)。（3）有界性：在一定條件下絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定界限。（

4、4）抵償性：隨測(cè)量次數(shù)增加，隨機(jī)誤差算術(shù)平均值趨于零。第13頁(yè)/共42頁(yè)第十三頁(yè)，共42頁(yè)。分布是隨機(jī)誤差的主要概率分布。第14頁(yè)/共42頁(yè)第十四頁(yè)，共42頁(yè)。2第15頁(yè)/共42頁(yè)第十五頁(yè)，共42頁(yè)。NoImagenxxx.,2111niixxn作為被測(cè)量(cling)真值的最佳估計(jì)。3.1 算術(shù)(sunsh)平均值第16頁(yè)/共42頁(yè)第十六頁(yè)，共42頁(yè)。011nniiiixnx因?yàn)?yn wi) 根據(jù)(gnj)隨機(jī)誤差的抵償性，當(dāng)n充分大時(shí)，有 011niixxxn 簡(jiǎn)單地說(shuō)，大數(shù)定理就是“當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，事件發(fā)生的頻率無(wú)窮接近于該事件發(fā)生的概率” 第17頁(yè)/共42頁(yè)第十七頁(yè)，共42頁(yè)。

5、若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳(zu ji)的估計(jì)量 ，即滿足無(wú)偏性、有效性、一致性。 滿足最小二乘原理：該所有測(cè)量(cling)值對(duì)其算術(shù)平均值之差的平方和達(dá)到最小。 在正態(tài)分布條件下，滿足最大似然原理(yunl)即該測(cè)量事件發(fā)生的概率最大 。第18頁(yè)/共42頁(yè)第十八頁(yè)，共42頁(yè)。221( )11xiiD xDxnnn單次測(cè)量(cling)標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)(sunsh)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差 根據(jù)概率論中關(guān)于方差的性質(zhì)，可得到該算數(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差與單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差有如下關(guān)系： 上式表明，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n愈大，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差愈小，即愈接近真值?？梢?jiàn)，增加測(cè)量次數(shù)取其算術(shù)平均

6、值表示測(cè)量結(jié)果，是減小隨機(jī)誤差的一種途徑。第19頁(yè)/共42頁(yè)第十九頁(yè)，共42頁(yè)。122110 如右圖所示，10次測(cè)量的算術(shù)平均值與單次測(cè)量的總體分布關(guān)系，可以更全面而形象的說(shuō)明這樣一個(gè)事實(shí)，即兩個(gè)的分布類型(lixng)和峰值位置未發(fā)生變化，只是分散性不同。第20頁(yè)/共42頁(yè)第二十頁(yè)，共42頁(yè)。 當(dāng) 一定(ydng)時(shí)，n 10 以后， 已減小得較緩慢。x 測(cè)量次數(shù)愈大時(shí)，也愈難保證測(cè)量條件的不變，從而帶來(lái)新的誤差。另外，增加(zngji)測(cè)量次數(shù)，必然會(huì)增加(zngji)測(cè)量的工作量及其成051 01 52 0n0 .20 .40 .60 .81 .0 x 本。因此(ync)一般情況下，取1

7、0n15 以內(nèi)較為適宜?？傊岣邷y(cè)量準(zhǔn)確度，應(yīng)選用適當(dāng)準(zhǔn)確度的測(cè)量?jī)x器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。第21頁(yè)/共42頁(yè)第二十一頁(yè)，共42頁(yè)。定義(dngy)：對(duì)于一組測(cè)量數(shù)據(jù)，我們往往用其標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表述這組數(shù)據(jù)的分散性。如果這組數(shù)據(jù)是來(lái)自于某測(cè)量總體的一個(gè)樣本，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是對(duì)該測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)估計(jì)，稱其為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，又稱為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)偏差的基本方法：貝塞爾公式、極差法、最大誤差法。第22頁(yè)/共42頁(yè)第二十二頁(yè)，共42頁(yè)。2111niisxxn2s計(jì)算公式 是方差的無(wú)偏估計(jì)，但s并不是標(biāo)準(zhǔn)差 的無(wú)偏估計(jì)，因此還可以得到一個(gè)經(jīng)過(guò)無(wú)偏修正(xizhng)的貝塞爾公式，在后面可以看到。2 為

8、殘余誤差(wch)，簡(jiǎn)稱殘差。iivxx總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)(實(shí)驗(yàn)樣本標(biāo)準(zhǔn)差)第23頁(yè)/共42頁(yè)第二十三頁(yè)，共42頁(yè)。修正修正(xizhng)貝塞爾公式貝塞爾公式貝塞爾公式(gngsh)的修正因子n1nM34567891015201.251.13 1.091.06 1.05 1.041.041.03 1.031.02 1.01 值隨 減少(jinsho)明顯偏離系數(shù)1 在樣本數(shù)較小的情形（如），為了提高對(duì)s估計(jì)的相對(duì)誤差，最好用無(wú)偏修正的貝塞爾公式。1nMn6n 21111niinnssxxMMn 第24頁(yè)/共42頁(yè)第二十四頁(yè)，共42頁(yè)。在n次測(cè)量服從正態(tài)分布且獨(dú)立的條件(tiojin)下，可以導(dǎo)

9、出如下兩個(gè)關(guān)系式： ( )12(1)ssn2( )1nnsMs2( )1nsMs 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差，用百分?jǐn)?shù)表示，該百分?jǐn)?shù)愈小，表示估計(jì)的信賴(xnli)程度愈高。適用的估計(jì)(gj)貝塞爾公式的相對(duì)誤差的公式 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差第25頁(yè)/共42頁(yè)第二十五頁(yè)，共42頁(yè)。幾種幾種(j zhn)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差n貝塞爾公式(gngsh)0.80修正(xizhng)貝塞爾公式0.60極差法0.76最大誤差法0.750.511230.570.460.520.450.470.390.430.400.400.340.370.360.360.310.340.330.320.280

10、.310.310.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23當(dāng)樣本數(shù)較小的情形用貝塞爾公式估計(jì)的信賴程度已經(jīng)開(kāi)始低于極差法和最大誤差法，應(yīng)當(dāng)改用修正的貝塞爾公式來(lái)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差。第26頁(yè)/共42頁(yè)第二十六頁(yè)，共42頁(yè)。nnsd( )nsCs對(duì)多次獨(dú)立測(cè)得的數(shù)據(jù) ， 最大值， 最小值，計(jì)算(j sun)它們的差值稱為極差即：12,nx xx當(dāng)測(cè)量誤差服從(fcng)正態(tài)分布時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式 估算( sun)時(shí)的相對(duì)誤差 maxxminx極差s也是測(cè)量總體標(biāo)準(zhǔn)差 的無(wú)偏估計(jì)，由它估算minmaxxxnmin

11、maxxxn第27頁(yè)/共42頁(yè)第二十七頁(yè)，共42頁(yè)。極差法系數(shù)極差法系數(shù)(xsh)nnnndndndnCnCnC1.130.7692.970.27163.530.2131.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.740.2072.700.31143.410.2282.850.29153.470.22第28頁(yè)/共42頁(yè)第二十八頁(yè)，共42頁(yè)。 公式中 和 的值可見(jiàn)如上表，與貝塞爾公式的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較，可見(jiàn)在n10時(shí)，其相對(duì)

12、誤差比未修正的貝塞爾公式略小，而且計(jì)算方便，但僅適用于正態(tài)分布總體，故在一些測(cè)量領(lǐng)域(ln y)中也采用它。ndnC第29頁(yè)/共42頁(yè)第二十九頁(yè)，共42頁(yè)。max1insk( )nnrssk估算( sun)時(shí)的相對(duì)誤差 在已知被測(cè)量的真值的情形，多次獨(dú)立測(cè)得的數(shù)據(jù)(shj) ，計(jì)算它們的真誤差 ，從中找出絕對(duì)值最大的 ，測(cè)量誤差服從正態(tài)分布時(shí)，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式 12,nxxx12,nmaxi第30頁(yè)/共42頁(yè)第三十頁(yè)，共42頁(yè)。max1insk 在一般情況下，被測(cè)量(cling)的真值難以知道，無(wú)法應(yīng)用最大誤差法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差，可以用最大殘余誤差 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差 maxi第31頁(yè)/共42頁(yè)第三十一

13、頁(yè)，共42頁(yè)。n0.880.511.771230.750.451.020.680.400.830.640.360.740.610.330.680.580.310.640.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251nknnrk1nk 1.250.75最大誤差最大誤差(wch)法系數(shù)法系數(shù)第32頁(yè)/共42頁(yè)第三十二頁(yè)，共42頁(yè)。對(duì)某量測(cè)得數(shù)據(jù)有7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，試分別用貝塞爾公式、修正(xizhng)貝塞爾公式、極差法、最大誤差法估計(jì)其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差及其標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差。( 1 ) 用 貝 塞

14、爾 公 式(gngsh)估算17.72ixxn2210.1361isxxn0.1360.37s ( )10.232(1)ssn查表，并插值計(jì)算(j sun) ( )10.26(0.260.17)0.2510ss第33頁(yè)/共42頁(yè)第三十三頁(yè)，共42頁(yè)。(2) 用修正(xizhng)貝塞爾公式估算1.03 0.370.38nssM 查表，并插值計(jì)算(j sun) ( )10.23(0.230.16)0.2310ss(3) 用極差法估算( sun)maxmin117.9,7.5,11,7.97.50.4xxn113.17d110.25c 11110.40.133.17sd11( )0.25scs查表

15、，得故第34頁(yè)/共42頁(yè)第三十四頁(yè)，共42頁(yè)。（4）用最大誤差(wch)法估算3max 0.22i( )10.27(0.270.23)0.26610ss真值未知，計(jì)算(j sun)最大殘差 查表，插值計(jì)算(j sun)得 11110.57(0.570.51)0.565k 故max1110.56 0.220.13isk0 x第35頁(yè)/共42頁(yè)第三十五頁(yè)，共42頁(yè)。 比較上述四種方法對(duì)s的估計(jì)，貝塞爾公式和修正貝塞爾公式十分接近，而極差法和最大誤差法明顯估計(jì)偏小。從估計(jì)相對(duì)誤差上看，貝塞爾公式和修正貝塞爾公式較好，因?yàn)闃颖緮?shù)大于10，用貝塞爾公式估算并沒(méi)有顯著改善。 從估算簡(jiǎn)易程度上看，極差法和最

16、大誤差法公式簡(jiǎn)單，但需要查表計(jì)算。另外(ln wi)，極差法和最大誤差發(fā)的公式中所用的系數(shù)都是在假設(shè)為正態(tài)分布的條件下計(jì)算出來(lái)的。如果偏離正態(tài)分布比較大的情形，也照搬這些公式及其系數(shù)，則會(huì)影響估計(jì)得信賴程度。第36頁(yè)/共42頁(yè)第三十六頁(yè)，共42頁(yè)。第四節(jié) 極限(jxin)誤差4.1 極限誤差的定義 測(cè)量的目的在于掌握被測(cè)對(duì)象的客觀(kgun)實(shí)際狀態(tài)（真值），但是測(cè)量的結(jié)果總是含有誤差，在數(shù)據(jù)上不等于被測(cè)的真值。測(cè)量結(jié)果與被測(cè)的差異是由兩部分組成的：一部分是由隨機(jī)誤差的存在而引起的；另一部分是由于不能完全消除的系統(tǒng)誤差的存在而引起的。對(duì)于隨機(jī)誤差造成的那部分差異的確定，通常用估計(jì)隨機(jī)誤差界限，

17、即確定隨機(jī)極限誤差的辦法來(lái)解決。NoImage第37頁(yè)/共42頁(yè)第三十七頁(yè)，共42頁(yè)。 極限誤差時(shí)指極端誤差，是誤差不應(yīng)超過(guò)的界限，此時(shí)對(duì)被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果（單次測(cè)量或測(cè)量的算術(shù)平均值）的誤差，不超過(guò)極端誤差的置信概率 ，并使差值 可以忽略。此極端誤差稱為(chn wi)測(cè)量的極限誤差并用表示。ksp p1 極限誤差 的值可依據(jù)測(cè)量(cling)標(biāo)準(zhǔn)差，誤差分布及要求的置信概率確定：)(xksk或 稱為置信因子，是誤差分布(fnb)、自由度和置信概率的函數(shù)，通常有表可查。第38頁(yè)/共42頁(yè)第三十八頁(yè)，共42頁(yè)。4.2 單次測(cè)量(cling)的極限誤差x,abxx,abxx 在一組測(cè)量值中，大小 為的測(cè)量值落入指定(zhdng)區(qū)間 內(nèi)的概率稱為置信概率，而該指定(zhdng)區(qū)間 稱為置信區(qū)間。()sT 顯然置信區(qū)間取得寬，置信概率就大，反之則小。 一般(ybn)，當(dāng)置信區(qū)間寬為 時(shí)，測(cè)量值落入?yún)^(qū)間 內(nèi)的概率為68.3%，也就是說(shuō)，進(jìn)行100次測(cè)量，大約有68次的值是落在 的范圍的。當(dāng)置信區(qū)間寬為 時(shí)，對(duì)應(yīng)概率為95.4%2當(dāng)置信區(qū)間寬為 時(shí)，對(duì)應(yīng)概率為99.7%3第39頁(yè)/共42頁(yè)第三十九頁(yè)，共42頁(yè)。3NoImage 把置信區(qū)間 作