大一高數(shù)知識點重難點

1、第一章基礎(chǔ)知識部分&1.1初等函數(shù)一、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義函數(shù)是從量的角度對運動變化的抽象表述，是一種刻畫運動變化中變化量相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。設(shè)有兩個變量x與y，如果對于變量x在實數(shù)集合D內(nèi)的每一個值，變量y按照一定的法則都有唯一的值與之對應(yīng)，那么就稱x是自變量，y是x的函數(shù)，記作y=f（x）,其中自變量x取值的集合D叫函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。2、函數(shù)的表示方法（1）解析法即用解析式（或稱數(shù)學(xué)式）表示函數(shù)。女口y=2x+1,y=|x|，y=lg（x+1）,y=sin3x等。便于對函數(shù)進行精確地計算和深入分析。（2）列表法即用表格形式給出兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。

2、便于差的某一處的函數(shù)值3)圖像法即用圖像來表示函數(shù)關(guān)系的方法非常形象直觀，能從圖像上看出函數(shù)的某些特性。分段函數(shù)即當(dāng)自變量取不同值時，函數(shù)的表達式不一樣，如隱函數(shù)相對于顯函數(shù)而言的一種函數(shù)形式。所謂顯函數(shù)，即直接用含自變量的式子表示的函數(shù)，如y=x2+2x+3，這是常見的函數(shù)形式。而隱函數(shù)是指變量x、y之間的函數(shù)關(guān)系式是由一個含x，y的方程F(x,y)=O給出的，女口2x+y-3=0，exyxy0等。而由2x+y-3=0可得y=3-2x，即該隱函數(shù)可化為顯函數(shù)。xt，參數(shù)式函數(shù)若變量x,y之間的函數(shù)關(guān)系是通過參數(shù)式方程xt，tT給出yt的，這樣的函數(shù)稱為由參數(shù)方程確定的函數(shù)，簡稱參數(shù)式方程，t

3、稱為參數(shù)。反函數(shù)如果在已給的函數(shù)y=f(x)中，把y看作自變量，x也是y的函數(shù)，則所確定的函數(shù)x二少(y)叫做y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f_1(y)或y=f一1(x)(以x表示自變量).二、函數(shù)常見的性質(zhì)1、單調(diào)性(單調(diào)增加、單調(diào)減少)2、奇偶性(偶:關(guān)于原點對稱，f(-x)=f(x);奇：關(guān)于y軸對稱，f(-x)=-f(x).)3、周期性(T為不為零的常數(shù)，f(x+T)=f(x),T為周期)4、有界性(設(shè)存在常數(shù)M>0,對任意xD,有fI(x)l<M,則稱f(x)在D上有界，如果不存在這樣的常數(shù)M則稱f(x)在D上無界。5、極大值、極小值6、最大值、最小值三、初等函數(shù)1、基本

4、初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)共六大類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。(圖像、性質(zhì)詳見P10)2、復(fù)合函數(shù)如果y是u的函數(shù)y=f(u),而u又是x的函數(shù)u=/(x)，且/(x)的值域與f(x)的定義域的交非空，那么y也是x的函數(shù)，稱為由y=f(u)與u=/(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(/(x)。3、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合構(gòu)成的，并且能用一個數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。四、函數(shù)關(guān)系舉例與經(jīng)濟函數(shù)關(guān)系式1、函數(shù)關(guān)系舉例2、經(jīng)濟函數(shù)關(guān)系式(1)總成本函數(shù)總成本二固定成本+變動成本平均單位成本二總成本/產(chǎn)量(2) 總收益函數(shù)一一銷售總收

5、益二銷售價格X產(chǎn)量(3) 總利潤函數(shù)總利潤=銷售總收益-總成本(4) 需求函數(shù)一一若其他因素不變，需求量Q=f(P)(P為產(chǎn)品銷售價格)&1.2函數(shù)的極限一、數(shù)列的極限對于無窮數(shù)列an，當(dāng)項數(shù)n無限增大時，如果an無限接近于一個確定的常數(shù)A,lim則稱A為數(shù)列an的極限，記為iman=A，或當(dāng)nx時，anA。n乂若數(shù)列an存在極限，也稱數(shù)列an收斂，例如lim丄0,limCC(C為常nnn數(shù)),nxqn=0(q1)。若數(shù)列an沒有極限，則稱數(shù)列an發(fā)散。數(shù)列極限不存在的兩種情況：(1)數(shù)列有界，但當(dāng)nx時，數(shù)列通項不與任何常數(shù)無限接近，如：1n1；(2)數(shù)列無界，如數(shù)列n2二、當(dāng)x10

6、時，函數(shù)f(x)的極限如果當(dāng)X的絕對值無限增大(記作xTX)時，函數(shù)f(x)無限地接近一個確定的常數(shù)A,那稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)XTX時的極限，記作limfxA，或當(dāng)xTX時，xf(x)TA。單向極限定義如果當(dāng)x或x時，函數(shù)f(x)無限接近一個確定的長壽湖A，那么稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x或x時得極限，記作limlimfxAfxA。xn三、當(dāng)XtXo時，函數(shù)f(x)的極限1、當(dāng)XXo時，函數(shù)f(x)的極限定義如果當(dāng)x無限接近Xo(記作XtXo)時，函數(shù)f(x)無限接近于一個確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)XXo時的極限，記作limfxA，或當(dāng)XXo時，f(x)tnA。2、當(dāng)XtXo時，函數(shù)f(x

7、)的左極限和右極限如果當(dāng)XtXo"(或xxo)時，函數(shù)f(x)無限接近一個確定的常數(shù)A，則稱函數(shù)f(x)當(dāng)XtXo時的左極限(右極限)為A，記作limfxAlimfxA。xx0xx0四、無窮大與無窮小1、無窮大與無窮小的定義如果當(dāng)XiXo時，f(x)T0,就稱f(x)當(dāng)XiXo時的無窮小，記作limfx0;xXo如果當(dāng)XiXo時，f(x)的絕對值無限增大，就稱函數(shù)f(x)當(dāng)XiXo時為無窮大，記作limfx。其中，如果當(dāng)XiXo時，f(x)向正的方向無限增大，就稱函數(shù)xXof(x)當(dāng)XiXo時為正無窮大，記作limfx;如果當(dāng)XiXo時，f(x)向負的xXo方向無限增大，就稱函數(shù)f(

8、x)當(dāng)XiXo時為負無窮大，記作limxxo2、無窮小與無窮大的關(guān)系在自變量的同一變化中，如果f(x)為無窮大，那么丄為無窮??；反之，如果f(x)f(x)為無窮小，那么為無窮大。f(x)根據(jù)這個性質(zhì)，無窮大的問題可以轉(zhuǎn)化為無窮小的問題。3、無窮小的性質(zhì)性質(zhì)1:有限個無窮小的代數(shù)和為無窮?。恍再|(zhì)2:有限個無窮小的乘積為無窮小；性質(zhì)3:有界函數(shù)與無窮小的乘積為無窮小。4、無窮小的比較設(shè)a與b是自變量同一變化中的兩個無窮小，記作a=o(b);(1) 如果lima=0,則稱a是比b低階的無窮小；b如果lima=x,則稱a是比b高階的無窮??；b如果lima=c(c為非零的常數(shù)),則稱a是比b同階的無窮小

9、。b特別的，當(dāng)c=1,即lim-=1時，稱a與b是等階無窮小，記作abb&1.3極限運算法則法則一若limu=A，limv=B，則lim(u±v)=limu±limv=A±B;法則二若limu=A，limv=B，貝Ulim(uv)=limulimv=AB;法則三若limu=A，limv=B，且Bm0,則limU=皿二AvlimvB推論若limu=A，C為常數(shù)，kN,則(1) limCu=C-limu=CA;limuk=(limu)k=Ak注運用這一法則的前提條件是u與v的極限存在(在商的情況下還要求分母的極限不為零)。&1.4兩個重要極限limsi

10、nx=x0xlim11X=exx&1.5函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)連續(xù)性的概念1. 函數(shù)在某點的連續(xù)性若函數(shù)f(x)在點Xo及其左右有定義，且limf(x)=f(Xo)，貝y稱函數(shù)f(x)在點XXoX。處連續(xù)，X。為函數(shù)f(x)的連續(xù)點。理解這個定義要把握三個要點:(1)f(x)要在點X。及其左右有定義;(3)limf(x)要存在xXolimf(x)=f(Xo)。xXo增量x=x-x0y=f(x)-f(x0)設(shè)函數(shù)f(x)在點Xo及其左右有定義，如果當(dāng)自變量X在點X0處的增量厶X趨近于零時，相應(yīng)的函數(shù)增量y也趨近于零，即limy0，則稱函數(shù)f(x)在點XoX0處連續(xù)，Xo為f(X)的連續(xù)點。2

11、. 函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性、連續(xù)函數(shù)如果函數(shù)f(X)在區(qū)間(a，b)上每一點上連續(xù)，則稱函數(shù)f(X)在區(qū)間(a，b)上連續(xù)。如果函數(shù)f(X)在某個區(qū)間上連續(xù)，就稱f(X)是這個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。二、連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)函數(shù)的運算如果兩個函數(shù)在某一點連續(xù)，那么它們的和、差、積、商(分母不為零)在這一點也連續(xù)。設(shè)函數(shù)u在點Xo處連續(xù)，且uoX。，函數(shù)y=f(u)點uo處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)yf(Xo)在點Xo處也連續(xù)。2. 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的第二章微分與導(dǎo)數(shù)&2.1導(dǎo)數(shù)的概念XTo時，若X并稱此極限值為函數(shù)y=f(x)點Xo處的導(dǎo)設(shè)函數(shù)y=f(x

12、)在點X。處及其左右兩側(cè)的小范圍內(nèi)有定義，當(dāng)?shù)脴O限存在,則稱y=f(x)在點xo處可導(dǎo)，數(shù),記作flimyx0xlimxfXox0fXoX還可記作y'lXXo或dx1Xo函數(shù)f(x)在點Xo可導(dǎo)且f'(Xo)=A等價于f(Xo)和f(Xo)都存在且等于A,即fXoAxoxoAo根據(jù)這個定理，函數(shù)在某點的左、右導(dǎo)數(shù)只要有一個不存在，或者雖然都存在但不相等，該點的導(dǎo)數(shù)就不存在。&2.2導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和基本公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則設(shè)函數(shù)u=u(x)，v=v(x)都可導(dǎo)，則(2) (u?v)二Uv+u，特別的，(ku)'=ku',其中k為常數(shù)(3)若v0，則

13、uv，特別的,雪，其中k是常數(shù)v推論若函數(shù)UiUix,U2U2x,.,UmUmx都可導(dǎo)，則(1)UiU2UmUiU2Um；(2)UiU2UmUiU2UmUiU2UmUiU2Um若函數(shù)y=f(x)在幵區(qū)間I內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且f'(x)工0,則反函數(shù)xf-iy在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且f-iy亡，或yxxy1、導(dǎo)數(shù)的基本公式(1)c0，c為任意常數(shù)；(2)xx1,為任意非零實數(shù);xaaxlna,a>0且a1;xx(4)ee;lOgax11-，a>0且az1;(6)lnx-xlnaxsinxcosx;(8)cosxsinx;(9)tanx2secx；(10)cotx2.cscx;_1_；

14、1x2'_1_1x2(11)arcsinx(12)arccosx(13)arctanx2；(14)arccotx1x11x2&2.3復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)y=f(u)在u處可導(dǎo)，u=(x)在x處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(u(x)在x處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為dy或yfuUUx。dxdudx可見，復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。具體求導(dǎo)步驟如下：(1)引進中間變量u，將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=u(x)(2) 計算fuu,在將u=u(x)代入，表示成關(guān)于x的表達式fuux。(3) 計算u'(

15、x),若u(x)是基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)，直接求出u'(x)。若u=u(x)仍然是復(fù)合函數(shù)，則繼續(xù)分解，重復(fù)上述步驟，直至求出u'(x)。最后作乘積fuxux即求得y'。二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則若需求因隱函數(shù)y在點X。處的導(dǎo)數(shù)值yIxxo，具體求法是：(1) 先由方程F(x，y)=0求出對應(yīng)于xxo的函數(shù)值y=yo;(2) 再求出y,然后將xxo，y=yo代入，所得數(shù)值即為yIxx°。&2.4高階導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)fn-1x的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù)，記作yn或dnfdxnndyn，dxx二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)地，

16、函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)fx稱為一階導(dǎo)數(shù)。求高階導(dǎo)數(shù)只需反復(fù)進行一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)運算即可。&2.5函數(shù)的微分設(shè)函數(shù)y=f(x)在點Xo處及其左右兩側(cè)的小范圍內(nèi)有定義，自變量x在點Xo處有改變量x0，相應(yīng)的函數(shù)該變量為y。若存在常數(shù)A,使得當(dāng)x0時，yAx是比x高階的無窮小，即lim二亠0，貝V稱函數(shù)y=f(x)在點xo處x0x可微，并稱Ax為函數(shù)y=f(x)在點X。處的微分，記作dyIxx0Ax。函數(shù)y=f(x)在點X。處可微與在點X。處可導(dǎo)等階，且dyIxx0fX。x。若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上沒一點都可微，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上可微。函數(shù)的微分可以寫成dyfxdx。根據(jù)函數(shù)y

17、=f(x)的微分表達式、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及運算法則，可得以下微分運算公式及法則：(1) d(c)=0(c為常數(shù))(2) d(u(x)+c)=d(u(x)(c為常數(shù))(3) d(ku(x)=kd(u(x)(k為常數(shù))(4) d(u(x)±v(x)=d(u(x)±d(v(x)(6)duvvduudv2V(7)dfuxfuxuxdx如果函數(shù)y=f(u)對u可微，u=u(x)對x可微，則dyfudu。我們把這個定理稱為微分形式不變性。&2.6函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值一、函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)f(x)在幵區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)：(1) 如果fX0，那么函數(shù)f(x)在I內(nèi)單調(diào)增加；(2

18、) 如果fx0，那么函數(shù)f(x)在I內(nèi)單調(diào)減少。如果函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)fx在幵區(qū)間I內(nèi)恒非負(恒非正)，且使得fx=0的點只是一些孤立的點，那幵區(qū)間I為函數(shù)f(x)的單調(diào)增加區(qū)間(單調(diào)減少區(qū)間)。二、函數(shù)的極值若函數(shù)f(x)在點xo處的一階導(dǎo)數(shù)值fX。0,則稱點xo為函數(shù)f(x)的駐點。若函數(shù)f(x)在點xo處可導(dǎo)，且xo是f(x)的極值點，貝yxo必是函數(shù)f(x)的駐點Xo極值存在的第一充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)只可能在有限的幾個點處不可導(dǎo)，點為f(x)的駐點或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點，當(dāng)x從點xo的左側(cè)變化到右側(cè)時:x01)如果一階導(dǎo)數(shù)fx變號，且從正號(負號)變化到負號(正號)，則點為函數(shù)f(x)的極大值點(極小值點)；(2)如果一階導(dǎo)數(shù)fx不變號，則點X。不是函數(shù)f(x)的極值點。極值存在的第二充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在其駐點X。處二階可導(dǎo)。(1) 若fX0，則X。是函數(shù)f(x)的極大值點；(2) 若fx0，則xo是函數(shù)f(x)的極小值點。三、函數(shù)的最值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值。最值可在區(qū)間內(nèi)部取得，也可在區(qū)間端點取得。結(jié)合最值與極值的關(guān)系，求函數(shù)f(x)在a，b上的最值的步驟如下：(1) 求出函數(shù)在幵區(qū)間(a，b)內(nèi)所有可能的極值點的函數(shù)值(包括駐點、間斷點及導(dǎo)數(shù)不存在的點的函數(shù)值)；(2) 求出區(qū)間點的函數(shù)值f(