數(shù)值分析第二次程序題

1、數(shù)值分析第二次程序題一一插值法11.對(duì)Runge函數(shù)R(x)=2在區(qū)間-1,1作下列插值逼近，并和R(x)的圖像進(jìn)行比較,125x并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。以X=-1+ih,h=0.1,0WiW20為節(jié)點(diǎn)，Newton插值由上圖可以看出，在區(qū)間-0.7,0.7上，插值多項(xiàng)式可以比較好地逼近被插值函數(shù)。當(dāng)區(qū)間改為-1,1時(shí)，邊界附近插值多項(xiàng)式與被插值函數(shù)的差別很大。即出現(xiàn)了Runge現(xiàn)象。由于邊界接近60的誤差，圖像中間部分的變化幾乎不可見。主要原因是被插值函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)不能達(dá)到一致有界。其插值余項(xiàng)R(x)=f(n1)(n1)!ni(X)不趨近零。插值多項(xiàng)式不能收斂到被插值函數(shù)。牛頓差值函數(shù)funct

2、ionf=niudun(z,N,n)f=N(1,1);x=-1:0.1:1;fork=2:na=1;forr=1:(k-1)a=a*(z-x(r);endf=f+N(k,k)*a;end主程序x=-1:0.1:1;n=length(x);fori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endN=zeros(n,n);N(:,1)=y'forj=2:nfork=j:nN(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1);endendfort=1:nc(t)=N(t,t);endz=-1:0.001:1;m=size(z,2);fori=1:m

3、Runge(i)=1/(1+25*z(i)*z(i)f(i)=niudun(z(i),N,n);endplot(z,Runge,'k',z,f,'r')如圖所示，使用Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)構(gòu)造的Lagrange插值多項(xiàng)式比較接近原函數(shù)，沒有出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，圖4為第一小問中的等距節(jié)點(diǎn)插值，可以明顯的看出以Chebyshevf(n1)多項(xiàng)式零點(diǎn)為插值點(diǎn)的優(yōu)勢(shì)。主要原因是其多項(xiàng)式誤差為f(x)-Ln(x)1<2n(n1)!在區(qū)間內(nèi)一致收斂。Lagrange函數(shù)functionlag=lagrange(z,x,y)fori=1:21l(i)=1;forj

4、=1:21ifj=il(i)=l(i)*(z-x(j)/(x(i)-x(j);endendendl=l'lag=y*l;主程序fori=1:21x(22-i)=cos(2*i-1)*pi/42)endfori=1:21y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endz=-1:0.001:1;m=length(z);fori=1:mf(i)=1/(1+25*z(i)*z(i);lag(i)=lagrange(z(i),x,y);endplot(z,f,'k',z,lag,'r')以xi=-1+ih,h=0.1,0<iM20為節(jié)點(diǎn)，分段線性插值如下

5、圖所示，分段線性插值多項(xiàng)式比較接近原函數(shù)，沒有出現(xiàn)Runge現(xiàn)象。但是可以明顯地看到在區(qū)間上0.1,0.1中，線性插值的擬合度較低，因?yàn)檫@一部分的函數(shù)的曲率較大，、一一一4，h2«一”、，也就是二階導(dǎo)數(shù)較大。由誤差估計(jì)公式Rn(x)<maxf"可知這一部分的誤差較大。8（4）以xi=-1+ih,h=0.1,0<iM20為節(jié)點(diǎn)，三次自然樣條插值圖6三次自然樣條插值函數(shù)圖像由上圖可以看出，三次樣條插值函數(shù)的曲線及其光滑，圖中并沒有將插值函數(shù)連起來,否則基本無法分辨出原函數(shù)和插值函數(shù)的圖像，說明得到的函數(shù)十分接近被插值函數(shù)。另外,題目要求自然樣條插值，也就是再兩端的二

6、階導(dǎo)數(shù)為0,需在變成過程中加以注意。x=-1:0.1:1;n=length(x);fori=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i);endfori=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfori=1:n-2u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i);r(i)=1-u(i);endG=zeros(n-2,n-2);fori=1:n-2G(i,i)=2;endfori=2:n-2G(i,i-1)=u(i-1);G(i,i+1)=r(i-1);endd=zeros(1,n-2);fori=1:n-2d(i)=6*(y(i+2)-y(i+1)/h(i+1)-(y(i+1)-y

7、(i)/h(i)/(h(i+1)+h(i);endd=d'M=Gd;M=0;M;0;fori=1:n-1z=x(i):0.01:x(i+1);m=length(z);forj=1:ms(j)=M(i)*(x(i+1)-z(j)A3/0.6+M(i+1)*(z(j)-x(i)A3/0.6+(y(i)-M(i)*0.01/6)*(x(i+1)-z(j)/0.1+(y(i+1)-M(i+1)*0.01/6)*(z(j)-x(i)/0.1;endplot(z,s,'*r','MarkerSize',3)holdonendholdonz=-1:0.01:1;for

8、i=1:201f(i)=1/(1+25*z(i)*z(i);endplot(z,f,'b')2.對(duì)函數(shù):(sirurx1<rr<0,cosix0<<1./2,01/2<a:<1在區(qū)間-1,1作下列插值逼近，并和被插值函數(shù)的圖像進(jìn)行比較，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。(1)以x=-1+ih,h=0.1,0Mi<20為節(jié)點(diǎn)，Newton插值首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，函數(shù)f(x)是分段函數(shù)，并且在x=0處不連續(xù)，對(duì)于插值計(jì)算，只需要函數(shù)值，所以除了函數(shù)作圖和計(jì)算函數(shù)值有所不同以外，程序的主體部分沒有明顯改動(dòng)，所以將本題程序統(tǒng)一放在最后。本小題中20DD*1

9、卸口口-1QII,1300由上圖可以看出，在區(qū)間卜0.7,0.7上，插值多項(xiàng)式可以已經(jīng)無法較好地逼近被插值函即出現(xiàn)數(shù)了，而當(dāng)區(qū)間改為-1,1時(shí)，邊界附近插值多項(xiàng)式與被插值函數(shù)的差別迅速擴(kuò)大。了Runge現(xiàn)象。由于邊界接近1000的誤差，圖像中間部分的變化幾乎不可見。相比于第題Runge現(xiàn)象更為明顯。主要原因是被插值函數(shù)不連續(xù)，導(dǎo)致其插值余項(xiàng)Rn(x)=(n1)!n書(x)可能無窮大。插值多項(xiàng)式不能收斂到被插值函數(shù)。.,2i1、(2)以xi=cos(nr(1=0,1,2,',20)為下點(diǎn)Lagrange插值42圖9以Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)為插值點(diǎn)如圖所示，使用Chebyshev多項(xiàng)

10、式零點(diǎn)構(gòu)造的Lagrange插值多項(xiàng)式比較接近原函數(shù)，沒有出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，并且可以看出，在不連續(xù)點(diǎn)位置插值效果一般，但是在函數(shù)兩端的擬合效果明顯要好，說明使用Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)構(gòu)造的Lagrange插值多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)上的應(yīng)用效果更佳。以Xi=-1+ih,h=0.1,0wiM20為節(jié)點(diǎn)，分段線性插值圖1021個(gè)插值點(diǎn)線性插值圖11201個(gè)插值點(diǎn)線性插值如下圖所示，分段線性插值多項(xiàng)式比較接近原函數(shù)，沒有出現(xiàn)Runge現(xiàn)象。此例中我們看到了線性插值的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)，當(dāng)原函數(shù)較為光滑，曲率較小，即使是分段函數(shù)對(duì)線性插值的影響也極為有限，當(dāng)插值點(diǎn)個(gè)數(shù)擴(kuò)大10倍達(dá)到201個(gè)時(shí)，可以明顯的看出線性

11、插值的優(yōu)勢(shì)所在。（4）以xi=-1+ih,h=0.1,0Ei£20為節(jié)點(diǎn)，三次自然樣條插值圖12三次自然樣條插值函數(shù)圖像由上圖可以看出，三次樣條插值函數(shù)的曲線及其光滑，但是與其他多項(xiàng)式擬合一樣在不連續(xù)點(diǎn)處存在較大的誤差，但是與第一二小問中的Lagrange插值多項(xiàng)式相比，三次樣條插值可以更快的脫離不連續(xù)點(diǎn)的影響，并在其他位置上表現(xiàn)出很好的擬合效果。綜合以上2題我們可以初步得出這樣的結(jié)論：當(dāng)函數(shù)連續(xù)光滑，使用Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)構(gòu)造的Lagrange插值多項(xiàng)式可以有效地避免Runge現(xiàn)象，但三次樣條插值函數(shù)的曲線更為優(yōu)秀。但是當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)不連續(xù)點(diǎn)時(shí)，分段線性插值的優(yōu)勢(shì)明顯，可以在

12、不連續(xù)段處達(dá)到很好的擬合效果，并且可以迅速脫離不連續(xù)點(diǎn)的影響，所以在做函數(shù)插值時(shí)在斜率很大的部分可以考慮使用分段線性插值，其他部分采用三次樣條效果最好。牛頓插值forj=2:nv=linspace(-1,0,100);x=-1:0.1:1;fork=j:nu=sin(pi*v);n=length(x);plot(v,u,'k')fori=1:10N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1)/(x(k)-x(holdony(i)=sin(pi*x(i);k-j+1);v=linspace(0,0.5,50);endendu=cos(pi*v);fori=11:15end

13、plot(v,u,'k')y(i)=cos(pi*x(i);fort=1:nholdonendc(t)=N(t,t);v=linspace(0.5,1,50);fori=15:nendu=0;y(i)=0;z=-0.1:0.01:0.1;plot(v,u,'k')endm=length(z);holdonfori=1:mN=zeros(n,n);nd(i)=niudun(z(i),N,n);plot(z,nd,'r')N(:,1)=y'end以Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)為插y(i)=cos(pi*x(i);plot(v,u,'k

14、')值點(diǎn)endholdonfori=1:21endv=linspace(0,0.5,50);x(22-i)=cos(2*i-1)*pi/42);u=cos(pi*v);endz=-1:0.001:1;plot(v,u,'k')fori=1:21m=length(z);holdonifx(i)<0fori=1:mv=linspace(0.5,1,50);y(i)=sin(pi*x(i);lag(i)=lagrange(z(i),x,y);u=0;elseifx(i)>0.5endplot(v,u,'k')y(i)=0;v=linspace(-1

15、,0,100);holdonelseu=sin(pi*v);plot(z,lag,'r')線性插值elseifx(i)>0.5endx=-1:0.01:1;y(i)=0;z=-1:0.001:1;fori=1:201elsen=length(z);ifx(i)<0y(i)=cos(pi*x(i);m=floor(z+1)/0.01)+1y(i)=sin(pi*x(i);endfori=1:n-1l(i)=y(m(i)+(y(m(i)+1)-y(m(i)/(x(u=sin(pi*v);holdonm(i)+1)-x(m(i)*(z(i)-x(m(i);plot(v,u

16、,'k')v=linspace(0.5,1,50);endholdonu=0;l(2001)=y(201);v=linspace(0,0.5,50);plot(v,u,'k')f(2001)=y(201);u=cos(pi*v);holdonv=linspace(-1,0,100);plot(v,u,'k')plot(z,l,'r')三次樣條插值fori=1:n-21)*(z(j)-x(i)A3/0.6+(y(i)-M(i)*0.01x=-1:0.1:1;G(i,i)=2;/6)*(x(i+1)-z(j)/0.1+(y(i+1)-

17、M(i+1n=length(x);end)*0.01/6)*(z(j)-x(i)/0.1;fori=1:21fori=2:n-2endifx(i)<0G(i,i-1)=u(i-1);plot(z,s,'*r','MarkerSize',3)y(i)=sin(pi*x(i);G(i,i+1)=r(i-1);holdonelseifx(i)>0.5endendy(i)=0;d=zeros(1,n-2);v=linspace(-1,0,100);elsefori=1:n-2u=sin(pi*v);y(i)=cos(pi*x(i);plot(v,u,'k')endd(i)=6*(y(i+2)-y(i+1)/h(i+1)-(y(i+holdonend1)-y(i)/h(i)/(h(i+1)+h(i);v=linspace(0,0.5,50);endu=cos(pi*v);for