材料力學(xué) 第五版 附錄I 截面的幾何性質(zhì)+習(xí)習(xí)題答案_第1頁
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文檔簡介

1、 附錄I 截面的幾何性質(zhì) 習(xí)題解習(xí)題I-1 試求圖示各截面的陰影線面積對(duì)軸的靜積。(a)解:(b)解:(c)解:(d)解:習(xí)題I-2 試積分方法求圖示半圓形截面對(duì)軸的靜矩,并確定其形心的坐標(biāo)。解:用兩條半徑線和兩個(gè)同心圓截出一微分面積如圖所示。;微分面積的縱坐標(biāo):;微分面積對(duì)軸的靜矩為:半圓對(duì)軸的靜矩為:因?yàn)?,所?習(xí)題I-3 試確定圖示各圖形的形心位置。(a)解:習(xí)題I-3(a): 求門形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYc離頂邊上4002080001601280000左15020300075225000右15020300075225000140001730000 Ai=Li*

2、BiYc=AiYci/Ai(b)解:習(xí)題I-3(b): 求L形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXciXc下1601016005800080128000左901090055495005450025005750023 13250053Ai=Li*BiYc=AiYci/AiXc=AiXci/Ai(c)解:習(xí)題I-3(c): 求槽形與L形組合截面的形心位置型鋼號(hào)Ai(cm2)Yci(cm)AiYci(cm3)Yc(cm)Xci(cm)AiXci(cm3)Xc(cm)槽鋼2010等邊角鋼80*10 Yc=AiYci/AiXc=AiXci/Ai習(xí)題I-4 試求圖示四分之一圓形截

3、面對(duì)于軸和軸的慣性矩、和慣性積。解:用兩條半徑線和兩個(gè)同心圓截出一微分面積如圖所示。;微分面積的縱坐標(biāo):;微分面積對(duì)軸的慣性矩為:四分之一圓對(duì)軸的慣性矩為: 由圓的對(duì)稱性可知,四分之一圓對(duì)軸的慣性矩為:微分面積對(duì)軸、軸的慣性積為:習(xí)題I-5 圖示直徑為的圓形截面,在其上、下對(duì)稱地切去兩個(gè)高為的弓形,試用積分法求余下陰影部分對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩。解:圓的方程為:如圖,作兩條平行軸的、相距為線段,截圓構(gòu)成微分面積,微分面積為:切去之后,剩下部分對(duì)軸的慣性矩為: 習(xí)題I-6 試求圖示正方形對(duì)其對(duì)角線的慣性矩。解:正方形四條邊的直線方程如圖所示(設(shè)水平坐標(biāo)軸為,豎坐標(biāo)軸為)。=故正方形對(duì)其的對(duì)角線的慣性

4、矩為:。習(xí)題I-7 試分別求圖示環(huán)形和箱形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩。 (a)解:(b)習(xí)題I-8 試求圖示三角形截面對(duì)通過頂點(diǎn)A并平行于底邊BC的 軸的慣性矩。解:已知三角形截面對(duì)以BC邊為軸的慣性矩是 ,利用平行軸定理,可求得截面對(duì)形心軸 的慣性矩              所以               再次應(yīng)用平行軸定理,得 

5、60;            習(xí)題I-9 試求圖示 的半圓形截面對(duì)于軸 的慣性矩,其中軸 與半圓形的底邊平行,相距1 m。 解:已知半圓形截面對(duì)其底邊的慣性矩是 ,用平行軸定理得截面對(duì)形心軸 的慣性矩                  再用平行軸定理,得截面對(duì)軸 的慣性矩    

6、                               習(xí)題I-10 試求圖示組合截面對(duì)于形心軸的慣性矩。解:由于三圓直徑相等,并兩兩相切。它們的圓心構(gòu)成一個(gè)邊長為 的等邊三角形。該等邊三角形的形心就是組合截面的形心,因此下面兩個(gè)圓的圓心,到形心軸 的距離是    

7、;          上面一個(gè)圓的圓心到 軸的距離是。    利用平行軸定理,得組合截面對(duì) 軸的慣性矩如下:習(xí)題I-11 試求圖示各組合截面對(duì)其對(duì)稱軸 的慣性矩。解:(a)22a號(hào)工字鋼對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩是 。利用平行軸定理得組合截面對(duì)軸 的慣性矩 (b)等邊角鋼 的截面積是 ,其形心距外邊緣的距離是 mm,求得組合截面對(duì)軸 的慣性矩如下:習(xí)題I-11(b)圖圖形bhIxcaAIx中間矩形106000060000 上矩形2501020833 30525003 下矩形25010

8、20833 30525003 左上L形179510019265 右上L形179510019265 左下L形179510019265 右下L形179510019265 45 習(xí)題I-12 試求習(xí)題I-3a圖所示截面對(duì)其水平形心軸 的慣性矩。關(guān)于形心位置,可利用該題的結(jié)果。解:形心軸 位置及幾何尺寸如圖所示。慣性矩 計(jì)算如下:       習(xí)題I-12 試求圖示各截面對(duì)其形心軸的慣性矩。 習(xí)題I-13(a)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上矩形1000100100000650225 33下矩形300600180

9、00030012500 00全圖2800000425習(xí)題I-13( b)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上圖(3)2515037502751031250148 7031250 中圖(2)2001503000012537500002 下圖(1)10050500025125000102 1041667 全圖387504906250127 0 習(xí)題I-13(c)圖形bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形214011502461000 57500 8333 159 8275 半圓790-980333 335-7 791 399 全圖1480

10、667 33 734 半圓:半圓:習(xí)題I-13(d)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxciIx(mm4)從下往上220163520828160 374 75093 3 1801425202357960 359 41160 0 16674107843673957728 0 9 9 2201430807112189880 329 50307 7 445940052893613 341 27034 5 239099127341 382 14 習(xí)題I-14 在直徑圓截面中,開了一個(gè)的矩形孔,如圖所示。試求截面對(duì)其水平形心軸和豎直軸形心的慣性矩和。解:先求形心主軸 的位置 截面圖形對(duì)形心軸的靜

11、矩(面積矩)等于零:    (y軸向下為正)  (組合圖形對(duì)過圓心軸x1的慣性矩)               (組合圖形對(duì)形心軸x的慣性矩)習(xí)題I-14b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)矩形42 1-8 圓4 00 -8        習(xí)題I-15 正方形截面中開了一個(gè)直徑為的半圓形孔,如圖所示。試確定截面的形

12、心位置,并計(jì)算對(duì)水平形心軸和豎直形心軸的慣性矩。解:習(xí)題I-15圖形bi hirAiYciAiYciYcIxciaiIx正方形20020040000100 4000000 3 2 1 半圓50-3927 79 -309365 685977 24 2860346 全圖36073 3690635 102 5 形心位置:X(0,102)。對(duì)水平形心軸的慣性矩:。對(duì)豎直形心軸的慣性矩: 習(xí)題I-15圖形arIy(mm4)正方形200半圓502454367 全圖6 習(xí)題I-16 圖示由兩個(gè)號(hào)槽鋼組成的組合截面,若欲使截面對(duì)兩對(duì)稱軸的慣性矩和相等,則兩槽鋼的間距應(yīng)為多少解:20a號(hào)槽鋼截面對(duì)其自身的形心軸

13、 、 的慣性矩是 , ;橫截面積為 ;槽鋼背到其形心軸 的距離是 。    根據(jù)慣性矩定義 和平行軸定理,組合截面對(duì) , 軸的慣性矩分別是              ; 若           即    等式兩邊同除以2,然后代入數(shù)據(jù),得      

14、        于是       所以,兩槽鋼相距              習(xí)題I-17 試求圖示截面的慣性積解:設(shè)矩形的寬為b高為h,形心主慣性軸為,則由平行移軸公式得:故,矩形截面對(duì)其底邊與左邊所構(gòu)成的坐標(biāo)系的慣性積為: 習(xí)題I-17 圖形bhIxy左矩形10100250000下矩形:10010250000重復(fù)加的矩形1010250

15、0全圖上圖+下圖-重復(fù)圖=497500習(xí)題I-18 圖示截面由兩個(gè)的等邊角鋼及綴板(圖中虛線)組合而成。試求該截面的最大慣性矩和最小慣性矩。解:從圖中可知,該截面的形心C位于兩綴板共同的形心上。過C點(diǎn)作水平線,向右為軸正向;過C點(diǎn),垂直于軸的直線為軸向上為正。把坐標(biāo)繞C點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)后所得到的坐標(biāo)系是截面的的兩條對(duì)稱軸,也就是該截面的形心主慣性軸。主慣性矩,查型鋼表得:號(hào)等邊角鋼的參數(shù)如下: ,角鋼形心主慣性軸與截面形心主慣性軸之間的距離:(注:綴板用虛線畫出,表示其面積可忽略不計(jì))習(xí)題I-19 試求圖示正方形截面的慣性積和慣性矩,并作出比較。解: (為形心主慣性軸)結(jié)論:1、過正方形形心的一對(duì)相

16、互垂直的軸,它們的慣性矩相等,它們的慣性積為零;2、過正方形形心的一對(duì)相互垂直的軸,繞形心轉(zhuǎn)動(dòng)之后,慣性矩、慣性積保持不變。習(xí)題I-20 確定圖示截面的形心主慣性軸的位置,并求形心主慣性矩。(a)解: 截面的形心主慣性軸與豎直矩形的形心主慣性軸重合。 IxIyIxy-0Ix0=7 -0Iy0= (b)解:以20號(hào)槽鋼(圖I)的下邊緣為x軸,左邊緣為y軸,建立坐標(biāo)系。8號(hào)槽鋼編號(hào)為圖II。則組合截面的形心計(jì)算如下:習(xí)題I-20(b) 長度單位:cm圖形AiXciYciAiXciAiYciXcYcI1064II16-15全圖習(xí)題I-20(b)圖形AiIxci'Iyci'IxciIyciIxciyci'Ixciycitan2a0a0Ix0Iy0I19811650II0全圖22962490 習(xí)題21 試用近似法求習(xí)題I-4所示截面的,并與該題得出的精確值相比較。已矩該截面的半徑。解:圓的方程為:把y軸的半徑10等分,即。過等分點(diǎn),作x軸的平行線。從下往上,每個(gè)分塊 的中點(diǎn)的y坐標(biāo)與x坐標(biāo)如

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