6個(gè)教學(xué)案例————讓數(shù)學(xué)課如此自然

1、讓數(shù)學(xué)課如此自然從建構(gòu)主義的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自己建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的活動(dòng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生與教材及教師產(chǎn)生交互作用，形成數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和能力，發(fā)展了情感態(tài)度和思維品質(zhì)。我們應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)到，是學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)成為主動(dòng)探索知識(shí)的建構(gòu)者，決不是模仿者。離開(kāi)學(xué)生積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)，教師講再好也會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)“教師講完了，而學(xué)生仍不會(huì)”的現(xiàn)象，這正好從一個(gè)側(cè)面說(shuō)明在學(xué)生學(xué)習(xí)的情景中，教師對(duì)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)當(dāng)具有重要的引導(dǎo)和指導(dǎo)作用，讓數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)得自然。新課程中的數(shù)學(xué)活動(dòng)，要使學(xué)生真正成為主人，讓他們積極的參與每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，切身感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)，品嘗成功的喜悅。不同的學(xué)生可以得到不同的發(fā)展，從

2、而滿足了他們的求知、參與、成功、交流和自尊的需要。這正是皮亞杰強(qiáng)調(diào)的“教師的工作不是教給學(xué)生什么，而是努力構(gòu)建學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并有種種方式來(lái)刺激學(xué)生的欲望。這樣，學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，就是一個(gè)主動(dòng)參與的過(guò)程了”。本文筆者想通過(guò)審視我們平時(shí)的教學(xué)行為，做一番反思，目的是改進(jìn)教學(xué)，讓教學(xué)來(lái)的更自然些，更合理些。讓數(shù)學(xué)課自然，讓學(xué)生真正學(xué)得自然而不深?yuàn)W，快樂(lè)而不枯燥。一、自然引入高爾基說(shuō)寫(xiě)文章“最難是開(kāi)頭，也就是第一句”。上一堂課猶如寫(xiě)文章，要整體的構(gòu)思本節(jié)課的開(kāi)頭，引言的好壞往往直接影響著整堂課的效果，自然引入可以集中學(xué)生的注意力，啟發(fā)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使學(xué)生聽(tīng)課能抓住重點(diǎn)，產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望。案例1:異

3、面直線所成的角問(wèn)題1、正方體ABCA1B1GD中，E為BC的中點(diǎn)，判斷直線AQ、BG、CE、CC與直線AB的位置關(guān)系。意圖：從位置關(guān)系一看，同為異面直線，但它們的相對(duì)位置卻是不同的，說(shuō)明僅用“異面”與考慮異面直線間的相對(duì)位置是不夠的。問(wèn)題2、用什么來(lái)刻畫(huà)兩條異面直線的相對(duì)位置呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)手中的兩支筆，演示兩條異面直線，分別體現(xiàn)出用“距離”和“角”來(lái)刻畫(huà)兩相交直線間的相對(duì)位置。問(wèn)題3、在一張紙中畫(huà)有兩條能相交的直線、（但交點(diǎn)在紙外），現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長(zhǎng)紙上的線段。問(wèn)如何量出所成角的大小？其理論依據(jù)是什么?問(wèn)題4:能否將上述方法推廣到空間兩直線？點(diǎn)評(píng)：

4、本節(jié)課的難點(diǎn)在于如何引導(dǎo)學(xué)生利用平移法來(lái)求異面直線所成的角，在問(wèn)題三中，通過(guò)讓學(xué)生利用在平面中平移使得兩條直線相交來(lái)引入，自然過(guò)渡到空間的兩條直線也可以通過(guò)平移法來(lái)求其夾角。把這種平面上的平移很自然推廣到空間中，那么本節(jié)課的重點(diǎn)，通過(guò)平移法，求異面直線所成的角也就很自然被學(xué)生解決了。案例2:根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕根式的出現(xiàn)實(shí)際上是數(shù)系擴(kuò)充的必然結(jié)果，下面簡(jiǎn)要介紹數(shù)系的擴(kuò)充：我們開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)時(shí)，便是從0、1、2、3、4、等認(rèn)識(shí)起的，并把它們稱作自然數(shù)，初步有了“加”的運(yùn)算：兩個(gè)自然數(shù)相加，仍為自然數(shù)。但是，兩個(gè)自然數(shù)相減呢？隨著社會(huì)的發(fā)展，人們又發(fā)現(xiàn)了很多數(shù)量具有相反的意義，比如增加和減少、前進(jìn)和后退

5、、上升和下降、向東和向西，為了表示這樣的量，又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零，統(tǒng)稱整數(shù)。一個(gè)數(shù)連加幾次，如5+5+5+5+5+5，每次書(shū)寫(xiě)都挺麻煩的，于是便引入了另一種運(yùn)算“乘“，連加即為乘，“x”也只是一種記號(hào)，其初始含義是連加的意思(na=a+a+a)。類似地，連乘記為乘方，即anaa-a。兩個(gè)整數(shù)相乘后仍為整數(shù)，自然地我們考慮其逆運(yùn)算“除”，如2十3,它卻不是整數(shù)，于是又引入了分?jǐn)?shù)，-它仍是一個(gè)記號(hào)：m把n分成m等分。進(jìn)一步我們自然地會(huì)追問(wèn)：如x2=4,由于(2)24，所以x2，那么當(dāng)x2=2時(shí)，x等于多少？我們知道存在實(shí)數(shù)x，它的平方等于2，但我們沒(méi)有辦法用有理數(shù)表示它，從而便有了根式

6、的概念：用表示，“.2”是什么呢？它是一個(gè)數(shù)，它的平方等于2!更一般的情況，“n、a”是什么呢？也是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的n次方等于a,即(n_a)na!點(diǎn)評(píng)：這里只展示了課堂教學(xué)的片斷，對(duì)根式的教學(xué)提出自己的設(shè)想，目的是講清知識(shí)發(fā)生、形成的過(guò)程及引入根式的符號(hào)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為什么要引入根式？又為什么要學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕？教材中并沒(méi)有詳細(xì)說(shuō)明，只是用“數(shù)學(xué)上的規(guī)定”來(lái)闡述。若我們不能及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生追問(wèn)“為什么”，則只能是用條條框框的割裂方式肢解知識(shí)的結(jié)果，把孩子活生生的思考也肢解了。幾經(jīng)如此，學(xué)生寶貴的思維火花便將熄滅，而走上這樣一條路：不再思考，刻板記憶，不求甚解，漸漸地，思維的心靈變得麻木了。因

7、此，在教學(xué)過(guò)程中，對(duì)任何細(xì)節(jié)，都應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生追根溯源，凡事都去問(wèn)為什么，尋找它與其他事物之間的聯(lián)系，使它逐漸成為學(xué)生的一種根深蒂固的習(xí)慣。這些知識(shí)本身或許并不重要，但形成一種有如“水銀瀉地?zé)o孔不入”的思想方法，卻是智力素質(zhì)提高的一個(gè)方面。二、自然拓展依據(jù)新課程理念，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要不斷拓展課程資源，并以情景化方式實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的支撐。數(shù)學(xué)教學(xué)以問(wèn)題為核心，而問(wèn)題的設(shè)計(jì)又需要廣泛資源下的情景支持。如：筆者在等差數(shù)列第一課時(shí)，在課堂上有學(xué)生很自然提出一個(gè)疑問(wèn)：老師，那有沒(méi)有等和數(shù)列、等積數(shù)列和等比數(shù)列呢？那它們的通項(xiàng)公式又是什么？多自然的一個(gè)想法?。∫蚨枪?jié)課我們馬上轉(zhuǎn)變成了：討論等和數(shù)列、等積數(shù)

8、列和等比數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式。打亂了原先的課時(shí)安排，變成把等差，等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式放在第一課時(shí)，從開(kāi)始就把兩個(gè)數(shù)列結(jié)合在一起講，這樣有利于學(xué)生更加熟練兩種數(shù)列的綜合。課后發(fā)現(xiàn)，這樣上效果也不錯(cuò)，學(xué)生更自然的接受，記憶更深刻，更有興趣。在如下案例中，利用課程資源，自然拓展。案例3:直線與圓的位置關(guān)系在初中學(xué)生已經(jīng)初步了解直線與圓的三種位置關(guān)系，而在本節(jié)課中則進(jìn)一步用方程量化。本節(jié)課教科書(shū)中只有兩個(gè)例題，例1為判斷直線與圓的位置關(guān)系，例2則是已知弦長(zhǎng)求直線的方程。而直線與圓的位置關(guān)系的內(nèi)容在高考中是非常豐富的，在這邊僅用兩個(gè)例題是不夠的，于是我們決定對(duì)教材進(jìn)行拓展，三種位置關(guān)系對(duì)應(yīng)拓展出三

9、種題型。(一) 直線與圓相交一一求相交弦的長(zhǎng)：|AB|2.r2d2。例1：已知過(guò)點(diǎn)M(-3,-3)的直線I被圓x2y24y210所截得的弦長(zhǎng)為45，求直線I的方程。(二) 直線與圓相切一一求切線方程例2、已知圓O：x2y24，分別求過(guò)點(diǎn)A(1,3),B(2,3)的切線方程。(三) 直線與圓相離一一求圓上點(diǎn)到直線距離的最值例3：設(shè)P為圓X2y21上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線3X-4y-10=0的距離的最小值為，最大值為。點(diǎn)評(píng)：本節(jié)課中，利用已有的知識(shí)，自然拓展出相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，這樣的知識(shí)來(lái)得自然，易接受，同時(shí)促使更多的學(xué)生積極參與課堂活動(dòng)，思考并解決問(wèn)題。三、自然發(fā)現(xiàn)有人說(shuō)“數(shù)學(xué)家的工作是發(fā)現(xiàn)，而詩(shī)人的

10、工作是創(chuàng)造”。我自然不是數(shù)學(xué)家，但我的學(xué)生可能是數(shù)學(xué)家?，F(xiàn)在培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)，說(shuō)不定將來(lái)真的有所發(fā)現(xiàn)，看來(lái)，我們的工作多么有意義。筆者在教學(xué)實(shí)踐中也曾有過(guò)些許發(fā)現(xiàn)，雖然發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題不夠“大”，但自己得到的東西每每欣喜若狂，因而在課堂上，我們也要啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生很自然的去發(fā)現(xiàn)，如下案例中：案例4:等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教科書(shū)上對(duì)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和這節(jié)課中直接指出“我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比q乘該式的兩邊，可得Sna1a1qa"a1qn1兇衛(wèi)（q1）”然而，在這邊要發(fā)現(xiàn)乘以q1一個(gè)公比的話，難度很大，就算是優(yōu)生也很難發(fā)現(xiàn)。為了讓課堂更順利，學(xué)生的思維更自然，這里，我設(shè)計(jì)了幾個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：求和：Sn2&#

11、176;21222n1。引導(dǎo)學(xué)生先求出S11,S23,S37,，再猜想Sn2n1。問(wèn)題2：求和：Sn3°31323n1。要猜想Sn的值并不容易，教師要引導(dǎo)學(xué)生類比問(wèn)題1中的猜想，將真實(shí)值和猜想值進(jìn)行對(duì)比，得出Sn3n12問(wèn)題3：求和：Sn4°41424n1在這里學(xué)生就很自然地猜想出Sn問(wèn)題4：求和：Sn1qq2qn1將前面三個(gè)問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，更一般化，學(xué)生已經(jīng)可以很快地猜想出Sn(qn1)。生：這不就是一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎？只要在乘以一個(gè)首項(xiàng)，就是一個(gè)一般的等比數(shù)列了。多好的一個(gè)發(fā)現(xiàn)啊，我們?cè)诓孪胫袇s發(fā)現(xiàn)了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式這讓整個(gè)課堂進(jìn)入一個(gè)高潮。接下來(lái)的工作就剩下

12、證明猜想。在證明Sn1qq2q3qn2qn1qn1q1的過(guò)程中:證：左邊（1q）1qq2q3qn2qn123n2n1511qqqqqS23n2n1nq1qqq-qq在這馬上很自然引出乘比錯(cuò)位相減法，并簡(jiǎn)要說(shuō)明其結(jié)構(gòu)和適用范圍。生：那我們是不是可以用該方法直接求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和？多好的發(fā)現(xiàn)，馬上讓學(xué)生來(lái)講，教師引導(dǎo)補(bǔ)充。在用乘比錯(cuò)位相減法證明等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式。點(diǎn)評(píng)：本節(jié)課如果按照傳統(tǒng)的教法，教師結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和式子結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要乘以一個(gè)公比，就可以出現(xiàn)大部分相同的項(xiàng)，然后在兩式子相減消去。學(xué)生在下面最多也發(fā)出“太神奇了”的驚嘆而已，這種知識(shí)來(lái)的不自然，不易

13、遷移應(yīng)用。而如果讓學(xué)生自己來(lái)發(fā)現(xiàn)乘以一個(gè)公比的話，難度大了許多，就算是優(yōu)生也很難發(fā)現(xiàn)。因而本節(jié)課為了讓數(shù)學(xué)的結(jié)論自然，采用猜想發(fā)現(xiàn)式教學(xué)方法。有了猜想，人的認(rèn)識(shí)才擺脫消極等待的奴隸狀態(tài)，這無(wú)疑對(duì)形成積極進(jìn)取的精神有著積極的意義案例6:平面與平面垂直的判定與性質(zhì)問(wèn)題：直線a和平面a,3有以下三種關(guān)系：a丄B，aa,a丄B，如果任意取其中兩個(gè)作為前提，另一個(gè)作為結(jié)論構(gòu)造命題，能構(gòu)成幾個(gè)命題？如果是真命題，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)舉出一個(gè)反例，并補(bǔ)充條件使其成為真命題并加以證明。學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、討論構(gòu)成三個(gè)不同的命題：a；（2）a;（3）a。aaa并得出其中（1）是真命題，（2）,（3）均是假命題。在給（2）、（3）補(bǔ)充條件時(shí)，平面與平面垂直的性質(zhì)定理就很自然的得出點(diǎn)評(píng)：教科書(shū)中對(duì)本節(jié)課的安排是：把“兩個(gè)平面垂直的判定定理”、“性質(zhì)定理”和“P72例4”分開(kāi)給出，這樣學(xué)生便要分開(kāi)接受三次新知識(shí)，不易記憶和理解應(yīng)用。而本節(jié)課中，如果將這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)，采用開(kāi)放式的問(wèn)題，弓I導(dǎo)學(xué)生相互合作、討論交流，通過(guò)判斷命題，補(bǔ)充命題，自然發(fā)現(xiàn)。使得數(shù)學(xué)的知識(shí)更系統(tǒng)化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的興趣。這些案例都只是筆者在教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)的較為典型的一些案例中的一部分，這并不說(shuō)明整個(gè)必修中就只有這幾節(jié)課可以讓學(xué)生感覺(jué)到自然。我們教師自己在聽(tīng)