離散傅立葉變換

1、本章主要內(nèi)容 離散傅里葉變換的定義 離散傅里葉變換的基本性質(zhì) 頻率域采樣 離散傅里葉變換的應(yīng)用舉例離散傅里葉變換(DFT)DFT變換的實質(zhì)：有限長序列的傅里葉變換的有限點離散采樣(時域和頻域都是離散化的有限點長的序列)。DFT變換的意義： 開辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號處理可以在頻域中進行處理，增加了數(shù)字信號處理的靈活性。 DFT具有多種快速算法(FFT)，實現(xiàn)了信號的實時處理和設(shè)備的簡化。離散傅里葉變換(DFT)3.1.1 DFT的定義設(shè)x(n)是一個長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點離散傅里葉變換為: X(k)的離散傅里葉逆變換(IDFT)為：3.1 離散傅里葉變換的定義10(

2、 ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.1)NknNnX kDFT x nx n W10( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.1)NknNnX kDFT x nx n W 旋轉(zhuǎn)因子：NjNNnknNeWWnxnxDFTkX 210 1,-N0,1,.,k )()()( 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)因因子子，N為變換區(qū)間的長度，NM101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX nWN101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)NknNnX kDF

3、T x nX n WN101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX nWN101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX nWN101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX nWN101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX n WN101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)Nkn

4、NnX kDFT x nX n WNI101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX nWN101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX n WNk=0IDFTX(k)唯一性的證明由于：所以， 在變換區(qū)間上滿足下式： IDFTX(k)=x(n), 0nN-1 離散傅里葉逆變換是唯一的。3.1 離散傅里葉變換的定義110011()001( )()1()NNmkknNNkmNNk m nNmkIDFT X kx m WWNx mWN 110011()001( )

5、( )1( )NNmkknNNkmNNk m nNmkIDFT X kx m WWNx mWN 11,()0,01Nm n MN Mk m nNm n MN MkWN M為整數(shù) 例 序列x(n)=R4(n) ，求x(n)的8點和16點DFT 。 解: (1) 設(shè)變換區(qū)間N=8， 則： (2) 設(shè)變換區(qū)間N=16， 則3.1 離散傅里葉變換的定義273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk273880038()()si

6、n()2,0,1, 7sin()8jknknnNjkXkx n Wekekk 3273880038( )( )sin()2,0,1,7sin()8jknknnNj kX kx n Wekekk 0,1,.15k ,)16sin()4sin()16sin()4sin(11)(X(k)16316828483016215016 kkekkeeeeeWnxkjkjkjkjkjnknjnkn 0,1,.15k ,)16sin()4sin()16sin()4sin(11)(X(k)16316828483016215016 kkekkeeeeeWnxkjkjkjkjkjnknjnkn 結(jié)論：離散傅立葉變換(

7、DFT)結(jié)果與變換區(qū)間長度N有關(guān)。3.1.2 DFT和Z變換的關(guān)系設(shè)序列x(n)的長度為N， 其Z變換和DFT分別為：比較上面二式可得關(guān)系式3.1 離散傅里葉變換的定義1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kN-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n W1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kN-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n W22( )( ),0kN-1(3.1.3)( )(),0kN-1(3.1.4)jkNz ejkNX kX zX kX z22()(),0kN -1( 3 .1 .3 )

8、()(),0kN -1( 3 .1 .4 )jkNzejkNXkXzXkXz22( )( ),0 k N-1(3.1.3)( )(),0 k N-1(3.1.4)jkNz ejkNX kX zX kX z e22( )( ),0 k N-1(3.1.3)( )(),0 k N-1(3.1.4)jkNz ejkNX kX zX kX z DFT的物理意義：(1)x(n)的N點DFT 是x(n)的Z變換在單位圓上N點等間隔采樣。(2)X(k)是x(n)的傅里葉變換X(ejw)在區(qū)間0, 2上的N點等間隔采樣,采樣間隔為2 /N。(3)變換區(qū)間長度N不同，變換結(jié)果不同，N確定后，X(k)與x(n)是

9、一一對應(yīng)的。(4)當(dāng)N足夠大時，|X(k)|的包絡(luò)可逼近|X(ejw)|曲線；(5)|X(k)|表示wk=2k/N頻點的幅度譜線。3.1 離散傅里葉變換的定義3.1.3 DFT的隱含周期性 在DFT變換的定義對中， x(n)與X(k)均為有限長序列。 (1) 旋轉(zhuǎn)因子WknN的周期性(周期為N) (2) X(k)隱含的周期性 (周期為N) (3) 序列x(n)隱含的周期性(周期為N) 3.1 離散傅里葉變換的定義(), ,kk mNNNWWk m NK,m,N均為整數(shù)1()010()( )( )( )Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX k1()010()( )( )(

10、 )Nk mN nNnNknNnX kmNx n Wx n WX kx(n+mN)=x(n)任何周期為N的周期序列 都可以看作長度為N的有限長序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)則是 的一個周期， 即:一般定義周期序列 中從n=0到N-1的第一個周期為 的主值區(qū)間，而主值區(qū)間上的序列稱為 的主值序列。 總結(jié)： 是x(n)周期延拓序列 x(n)是 主值序列3.1 離散傅里葉變換的定義( )( )(3.1.7)Nx nx n( )( )(3.1.7)Nx nx n( )()(3.1.5)( )( )( )(3.1.6)mNx nx nmNx nx nRn( )()(3.1.5)( )( )(

11、)(3.1.6)mNx nx nmNx nx nRn 0)(nxnN-1 0n)(nxN-1( )( )(3.1.7)Nx nx n( )( )(3.1.7)Nx nx n( )( )(3.1.7)Nx nx n( )( )(3.1.7)Nx nx n( )( )(3.1.7)Nx nx n為了以后敘述方便， 可用如下形式表示：(n)N表示n對N求余，即如果n=MN+n1， 0n1N-1，M為整數(shù)，則：(n)N=n1例：設(shè)N5， 則有：3.1 離散傅里葉變換的定義( )( )(3.1.7)Nx nx nx(n)N表示：x(n)以N為周期的周期延拓序列。5)()(nxnx設(shè)55(5)(5)(0)

12、(6)(6)(1)xxxxxx55(5)(5)(0)(6)(6)(1)xxxxxxDFT和周期序列的DFS的關(guān)系設(shè)x(n)的長度為N，且 ，則周期序列 的離散傅立葉級數(shù)表示式：上式中：說明：有限長序列x(n)的離散傅立葉變換X(k)，正好是x(n)的周期延拓序列 的離散傅立葉級數(shù)系數(shù) 的主值序列3.1 離散傅里葉變換的定義Nnxnx)()()(nx101010)()()()(NnknNNnknNNNnknNWnxWnxWnxkX1010)(1)(1)(NkknNNkknNWkXNWkXNnx注意： 是一周期序列 )(kX kenxkXNnknNj ,)()(102 )()()(kRkXkXNN

13、nx)()(kX總結(jié)()()()()()()NNXkD FTx nD FTx n RnXk Rk( ) ( ) ( )( )( )( )NNX kDFT x nDFT x n RnX k RkDFT()( )jjz eX eX zFT()()jjzeXeXzZT單位圓上的N點等間隔采樣0, 2上的N點等間隔采樣單位圓上的Z變換,Z=ejw( )x n =DFS =DFSx(n)N21022() ( )( ) ()( ) ( )( )jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e 21022() ( )( ) ()( ) ( )( )jkNjknNnX eFT x

14、nX kkNNX kDFS x nx n e X(k) = RN(n)21022() ( )( ) ()( ) ( )( )jkNjknNnX eFT x nX kkNNX kDFS x nx n e = X(k)N例1：若N=5， x(n)=R4(n)，畫出x(n)N圖形。3.1 離散傅里葉變換的定義nx(n)10 1 2 3 4nx(n)510 1 2 3 4 5 6 7 8 9-3 -2-4-53.2.1 線性性質(zhì)如果x1(n)和x2(n)是兩個有限長序列，長度分別為N1和N2 y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b為常數(shù)，取：N=maxN1, N2， 則y(n)的N點DFT為

15、Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bx2(k）, 0kN-1 其中：X1(k)和X2(k)分別為x1(n)和x2(n)的N點DFT。 3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)3.2.2 循環(huán)移位性質(zhì) 1. 序列的循環(huán)移位 設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N，則x(n)的循環(huán)移位定義為 y(n)=x(n+m)NRN(N)(1)序列y(n)由x(n)以N為周期進行周期延拓而得到 (n)=x(n)N(2)再將 (n)左移m位，得到： (nm);(3)取 (nm)的主值區(qū)間得到有限長序列x(n)的循環(huán)移位y(n)3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì) 0 N-1n)(nx)(nxn 0 N-

16、1xxxx從左側(cè)移出主值區(qū)的序列值依次從右側(cè)進入主值區(qū))()()(kXWnRmnxDFTkmNNNn 0 N-1)()(nRmnxNN)()()(kXWnRmnxDFTkmNNNn 0 N-12. 時域循環(huán)移位定理 設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位，即： y(n)=x(n+m)NRN(n) 則: Y(k)=DFTy(n)=W-kmNX(k) 其中:X(k)=DFTx(n), 0kN-1 3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)1010( ) ( )()( )()NknNNNnNknNNnY kDFT y nx nmRn Wx nmW1010( ) ( )()(

17、)()NknNNNnNknNNnY kDFT y nx nmRn Wx nmW1()1( )( )( )Nmk nmNNnmNmknknNNNnmY kx nWWx nW 1()1( )( )( )Nmk nmNNnmNmknknNNNnmY kx nWWx nW 證證畢畢右右邊邊 ,)()(10 kXWWnxWkmNNnknNNkmN1()1( )( )( )Nmk nmNNnmNmknknNNNnmY kx nWWx nW 110( )( )( )( )NkmknNNNnNkmknNNnkmNY kWx nWWx n WWX k提示：x(n)N和 均以N為周期， 所以對其在任一周期上的求和

18、結(jié)果相同110( )( )( )( )NkmknNNNnNkmknNNnkmNY kWx nWWx n WWX k令n+m=n，則有 證明：3. 頻域循環(huán)移位定理如果：X(k)=DFTx(n), 0kN-1 Y(k)=X(k+l)NRN(k)則 y(n)=IDFTY(k)=WnlNx(n)3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)3.2.3 循環(huán)卷積定理3.2.3 循環(huán)卷積定理循環(huán)卷積定理時域循環(huán)卷積定理是DFT中最重要的定理，具有很強的實用性。已知系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，計算系統(tǒng)的輸出，以及FIR濾波器用FFT實現(xiàn)等，都是基于該定理的。下面首先介紹循環(huán)卷積的概念和計算循環(huán)卷積的方法，然

19、后介紹循環(huán)卷積定理。1 兩個有限長序列的循環(huán)卷積兩個有限長序列的循環(huán)卷積設(shè)序列h(n)和x(n)的長度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點循環(huán)卷積定義為 1c0( )( ) ()( )LLLmy nh m x nmRn（3.2.5）式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，LmaxN，M。上式顯然與第1章介紹的線性卷積不同，為了區(qū)別線性卷積，用 表示循環(huán)卷積，用表示L點循環(huán)卷積，即yc(n)=h(n)x(n)。觀察（3.2.5）式，x(nm)L是以L為周期的周期信號，n和m的變化區(qū)間均是0, L1，因此直接計算該式比較麻煩。計算機中采用矩陣相乘或快速傅里葉變換（FFT）的方法計算循環(huán)卷積。下面介紹用矩陣

20、計算循環(huán)卷積的公式。 當(dāng)n = 0, 1, 2, , L1時，由x(n)形成的序列為: x(0), x(1), , x(L1)。令n=0, m=0, 1, , L1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成x(n)的循環(huán)倒相序列為與序列x(n)進行對比，相當(dāng)于將第一個序列值x(0)不動，將后面的序列反轉(zhuǎn)180再放在 x(0) 的后面。這樣形成的序列稱為x(n)的循環(huán)倒相序列。(0) , ( 1) , ( 2) , , (1) (0), (1), (2), , (1)LLLLxxxxLxx Lx Lx令n = 1, m = 0, 1, , L-1，由式（3.2.5）中x(n-m)L形成的序列為觀察

21、上式等號右端序列，它相當(dāng)于x(n)的循環(huán)倒相序列向右循環(huán)移一位，即向右移1位，移出區(qū)間0, L1的序列值再從左邊移進。再令n = 2, m = 0, 1, , L1，此時得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移1位。依次類推，當(dāng)n和m均從0變化到L-1時，得到一個關(guān)于x(nm)L的矩陣如下： (1) , (0) , ( 1) , , (2) (1), (0), (1), , (2)LLLLxxxxLxxx Lx （3.2.6） (0)(1)(2)(1)(1)(0)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(1)(2)(3)(0)xx Lx Lxxxx Lxxxxxx Lx Lx Lx 上面矩陣稱為x(n)

22、的L點“循環(huán)卷積矩陣”，其特點是:（1） 第1行是序列x(0), x(1), , x(L1)的循環(huán)倒相序列。注意，如果x(n)的長度ML，則需要在x(n)末尾補LM個零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。（3） 矩陣的各主對角線上的序列值均相等。 有了上面介紹的循環(huán)卷積矩陣，就可以寫出式（3.2.5）的矩陣形式如下:(0)(0)(1)(2)(1)(0)(1)(1)(0)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(0)(3)(2)(1)(1)(2)(3)(0)(1)ccccyxx Lx Lxhyxxx Lxhyxxxxhy Lx Lx Lx Lxh

23、L按照上式，可以在計算機上用矩陣相乘的方法計算兩個序列的循環(huán)卷積，這里關(guān)鍵是先形成循環(huán)卷積矩陣。上式中如果h(n)的長度NL，則需要在h(n)末尾補LN個零。（3.2.7） 【例例3.2.1】 計算下面給出的兩個長度為4的序列h(n)與x(n)的4點和8點循環(huán)卷積。 ( )(0), (1), (2), (3)1,2,3,4( )(0), (1), (2), (3)1,1,1,1h nhhhhx nxxxx解解 按照式（3.2.21）寫出h(n)與x(n)的4點循環(huán)卷積矩陣形式為cccc(0)1432110(1)2143110(2)3214110(3)4321110yyyy cccccccc(0

24、)1110000432(1)1321000043(2)1632100004(3)110432100000904321000(4)0043210007(5)00043210(6)0400004321(7)0yyyyyyyy 0h(n)與x(n)的8點循環(huán)卷積矩陣形式為 h(n)和x(n)及其4點和8點循環(huán)卷積結(jié)果分別如圖3.2.2(a)、(b)、(c)和(d)所示。后面將證明，當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長度L大于等于y(n) = h(n)*x(n)的長度時，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。 圖3.2.2 序列及其循環(huán)卷積波形2、時域循環(huán)卷積定理 有限長序列x1(n)和x2(n)，長度分別為N1和N2，N=max

25、 N1, N2 。 x1(n)和x2(n)的N點DFT分別為： X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n) 如果：X(k)=X1(k)X2(k)3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)110( )( )()()( )NNNmx nIDFT X kx mnmRnx2110( )( )()()( )NNNmx nIDFT X kx mnmRn)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121120( )( )( )()( )NNNmx nIDFT X kx mnmRnx1110( )( )()(

26、)( )NNNmx nIDFT X kx mnmRn)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121注意：對于x1(n)或x2(n)不足N點，則分別在其尾部補零，使長度為N。)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn8708212

27、1)()()()()()(nRmnxmxnxnxnyn87082121 則： x(n) 證明： 直接對上式兩邊進行DFT令n-m=n， 則有3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)110( )( )()()( )NNNmx nIDFT X kx mnmRnx2110( )( )()()( )NNNmx nIDFT X kx mnmRn111200111200( ) ( )( )()( )( )()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 111200111200( ) ( )( )()( )( )()NNknNNNnmNNknNNnmX kD

28、FT x nx m xnmRn Wx mxnmW 111200111200( ) ( )( )()( )( )()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 111200111200( ) ( )( )()( )( )()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 111200111200( ) ( )()()( )()()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 111200111200( ) ( )( )()( )( )()NNknNNNnmNN

29、knNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 111200111200( ) ( )()()( )()()NNknNNNnmNNknNNnmX kDFT x nx m xnmRn Wx mxnmW 11()12011120( )( )( )( )( )NNmk nmNNmnmNNmkmknNNNmnmX kx mxnWx m WxnW 11()12011120( )( )( )( )( )NNmk nmNNmnmNNmkmknNNNmnmX kx mxnWx m WxnW 11012( )( )( )( ),01NknNmX kx mWX k X kkN 兩個有限長序列

30、循環(huán)卷積的過程：(1)上式中求和變量為m，n為參變量；(2)將x2(m) 以N為周期作周期延拓得到x2(m)N ；(3)翻轉(zhuǎn)x2(m)N 形成x2(-m)N (4)對x2(-m)N進行循環(huán)移位x2(n-m)N，取主值序列，形成x2(n-m)N RN (m) ;(5) n=0,1,N-1時， x1(m) 和x2(n-m)N R N(m)對應(yīng)相乘，并對m在0N-1區(qū)間求和。3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)110( )( )()()( )NNNmx nIDFT X kx mnmRnx2110( )( )()()( )NNNmx nIDFT X kx mnmRn110( )( )()()(

31、)NNNmx nIDFT X kx mnmRnn，m01234567x2(n)n0711x2( m )NRN(m)071x2(1 m )NRN(m)071mmx2(2 m )NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456n， m01234567x2(n)n0711x2( m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m)071mmx2(2 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456n， m01234567x2(n)n0711x2( m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m

32、)071mmx2(2 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456n， m01234567x2(n)n0711x2( m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m)071mmx2(2 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456n， m01234567x2(n)n0711x2( m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m)071mmx2(2 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456n， m012345

33、67x2(n)n0711x2( m)NRN(m)071x2(1 m)NRN(m)071mmx2(2 m)NRN(m)012345671m01234567n1234x(n)123456123456123456【例】：已知x1(n)= 1，0n3； x2(n)= 1，2n5； 0，其它n; 0，其它n; 求y(n)=x1(n) x2(n)，循環(huán)卷積區(qū)間長度N為8。 y(0)=x1(m)x2(-m)8R8(n)=1; y(1)=x1(m)x2(1-m)8R8(n)=0; y(2)=x1(m)x2(2-m)8R8(n)=1; y(3)=x1(m)x2(3-m)8R8(n)=2; y(4)=x1(m)x

34、2(4-m)8R8(n)=3; y(5)=x1(m)x2(5-m)8R8(n)=4; Y(6)=x1(m)x2(6-m)8R8(n)=3; y(7)=x1(m)x2(7-m)8R8(n)=2;3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)mx1(m)10 1 2 3 4mx2(m)11 204 53my(n)1014232 3 4 5 6 73、頻域循環(huán)卷積定理如果：x(n)=x1(n)x2(n) 則：3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)1211202112101( ) ( )( )( )1( )()( )1( )( )( )1( )()( )NNNlNNNlX kDFT x nX kX k

35、NX l XklR kNX kX kX kNX l XklR kN1211202112101( ) ( )( )( )1( )()( )1( )( )( )1( )()( )NNNlNNNlX kDFT x nX kX kNX l XklR kNX kX kX kNX l XklR kN1211202112101( ) ( )( )( )1( )()( )1( )( )( )1( )()( )NNNlNNNlX kDFT x nX kX kNX l XklRkNX kX kX kNX l XklRkN1211202112101( ) ( )( )( )1( )()( )1( )( )( )1(

36、 )()( )NNNlNNNlX kDFT x nX kXkNX l XklRkNX kXkX kNXl XklRkN其中：X1(k)=DFTx1(n) X2(k)=DFTx2(n)0kN-1證明：令：k-m=k，代入得到3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1 )()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令1-0,1,.Nn )

37、,()()()(1)(1,km-k )()(1)(1 )()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1 )()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得

38、得令令1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1 )()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1 )()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNN

39、knNNkNNNm代代入入得得令令1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1 )()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnNNmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令1-0,1,.Nn ),()()()(1)(1,km-k )()(1)(1 )()()(11)()(2112101)(101021102101 nxnxnRWkXNWmXNWkRmkXNmXNWkRmkXmXNNkXIDFTnxNnkNmNmkNmnN

40、NmmnmnnNNmNkNNknNNkNNNm代代入入得得令令3.2.4 復(fù)共軛序列的DFT 設(shè)x*(n)是x(n)的復(fù)共軛序列， 長度為N X(k)=DFTx(n) 則: DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1 且:X(N)=X(0)證明：根據(jù)DFT的唯一性，只要證明上式右邊等于左邊即可。又由X(k)的隱含周期性有：X(N)=X(0) 用同樣的方法可以證明：DFTx*(N-n)=X*(k)3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)1()01()010()( )( )( )( )nnNN kNnNN kNnNknNnXNkx n Wx n Wx n WDFT x n1()01()010

41、()( )( )( )( )nnNNkNnNNkNnNknNnXNkx n Wxn Wxn WDFT xnn1()01()010()( )( )( )( )nnNN kNnNN kNnNknNnXNkx n Wx n Wx n WDFT x nn1()01()010()( )( )( )( )nnNN kNnNN kNnNknNnXNkx n Wx n Wx n WDFT x n1()01()010()( )( )( )( )nnNN kNnNN kNnNknNnXNkx n Wx n Wx n WDFT x n3.2.5 DFT的共軛對稱性序列的傅里葉變換的對稱性是關(guān)于坐標(biāo)原點的縱坐標(biāo)的對稱

42、性，DFT的對稱性關(guān)于N/2點的對稱性。1、有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列用xep(n)和xop(n)分別表示有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列，則二者滿足如下定義式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 xop(n)=-x*op(N-n), 0nN-1 當(dāng)N為偶數(shù)時， 將上式中的n換成N/2-n可得到 xep(N/2n)=x*ep(N/2n), 0nN/2-1 xop(N/2n)=-x*op(N/2n), 0nN/2-13.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)共軛對稱序列示意圖共軛反對稱序列示意圖2、任何一有限長序列都可表示成其共軛

43、對稱分量和共軛反對稱分量之和 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 將上式中的n換成N-n， 并取復(fù)共軛：x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n) 由上兩式可得： xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) 同理可以確定有限長序列X(k)的Xep(k)和Xop(k) Xep(k)= 1/2X(k)+X*(N-k)； Xop(k)= 1/2X(k)-X*(N-k)； 3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)3、DFT的共軛對稱性(1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中：xr(n)

44、=Rex(n) =1/2x(n)+x*(n) jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n)=1/2X(k)+X*(N-k)=Xep(k) DFTjxi(n)= 1/2DFTx(n)-x*(n)=1/2X(k)-X*(N-k)=Xop(k)3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì))()()(njxnxnxir)()()(kXkXkXopep共軛對稱分量共軛反對稱分量(2) 如果x(n)=xep(n)+xop(n)， 0nN-1 其中：xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n), x(n)的共軛對稱分量 xop(n)=1/2x(n

45、)x*(N-n) , x(n)的共軛反對稱分量 那么： DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n) =1/2X(k)+X*(k)=ReX(k) DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n) =1/2X(k)-X*(k) =jImX(k)3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì))()()(nxnxnxopep)(Im)(Re)(kXjkXkX虛部實部3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì)4、有限長實序列DFT的共軛對稱性 設(shè)x(n)是長度為N的實序列，且X(k)=DFTx(n)， 則 (1) X(k)共軛對稱，即： X(k)=X*(N-k), 0kN-1 (2)

46、如果 x(n)=x(N-n) 則：X(k)實偶對稱， 即：X(k)=X(N-k) (3) 如果 x(n) = -x(N-n) 則：X(k)純虛奇對稱， 即：X(k)= -X(N-k) (4) 有限長實序列DFT共軛對稱性的應(yīng)用 當(dāng)N=偶數(shù)時，只需計算前N/2+1點的DFT; 當(dāng)N=奇數(shù)時，只需計算前(N+1)/2點的DFT;序列x(n)實偶對稱序列x(n)實奇對稱可減少運算量，提高運算效率3.2 離散傅立葉變換（DFT）的基本性質(zhì) 通過計算一個N點DFT， 可得到兩個不同實序列的N點DFT。 設(shè)：x1(n)和x2(n)為兩個實序列， 構(gòu)成新序列x(n)如下 ： x(n)=x1(n)+jx2(n

47、) 對x(n)進行DFT 得到: X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k) 所以: X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) X2(k)=DFTx2(n)=j1/2X(k)-X*(N-k)3.3 頻率域采樣時域采樣定理 在一定條件下，時域離散采樣信號可以恢復(fù)出原來的連續(xù)信號；問題 在頻域進行離散采樣，得到的離散采樣值能否恢復(fù)出原來的信號(或原頻域函數(shù))。條件是什么？內(nèi)插公式？3.3 頻率域采樣 設(shè)任意序列x(n)的Z變換為： 設(shè)：X(

48、z)收斂域包含單位圓(即x(n)存在FT)。在單位圓上對X(z)等N點間隔采樣，得到：( )( )nnX zx n z22( )( )( ),0kN-1(3.3.1)jkNjknNz enX kX zx n e序列x(n)的FT在區(qū)間0, 2上的N點等間隔采樣je0k=0k=2k=1N2ImzjRezk=3k=N-1設(shè)離散序列X(k)是長度為N的有限長序列xN(n)的DFT，即問題： xN(n)與原序列x(n)之間是怎樣的關(guān)系？xN(n)=IDFTX(k)， 0nN-13.3 頻率域采樣DFT與DFS的關(guān)系: X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列 的離散傅里葉級數(shù)系數(shù) 的主值序列， 即

49、:1010( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )1( )NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WNx(n)1010( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )1( )NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WN X(k)N=DFS x(n)1010( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )1( )NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxn

50、IDFS X kX k WNX k WN1010( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )1( )NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WNx(n)1010( )( )( )( )( )( )( )( )( )1( )1( )NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WN101( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 (3.1.2)NknNnX kDFT x nX n WN1010( )( )( )(

51、 )( )( )( )( )( )1( )1( )NNNNNknNkNknNkX kX kDFS X nX kX k RkX nxnIDFS X kX k WNX k WN101()01( )( )1( )NkmknNNkmNk m nNmkx nx m WWNx mWN 101()01( )( )1( )NkmknNNkmNk m nNmkx nx m WWNx mWN 11,()001NmnrN rkmnNkWN為整數(shù) 其它m 11,()001Nm n rN rk m nNkWN 因為：3.3 頻率域采樣由上面推導(dǎo)可得：結(jié)論： X(z)在單位圓上的N點等間隔采樣X(k)的IDFT，為原序列

52、x(n)以N為周期的周期延拓序列的主值序列。 頻域采樣定理：假設(shè) x(n)的長度為M，頻域采樣點數(shù)為N 若 N M， 則xN(n)=IDFTX(k)=x(n) 時域無混疊 若 NM ，則xN(n)=IDFTX(k)x(n) 產(chǎn)生時域混疊 故頻率抽樣(不失真)條件為: N M10( )()( )( )( )()( )NkNNNrx nx nrNxnx n Rnx nrN Rn10( )()( )( )( )()( )NkNNNrx nx nrNxnx n Rnx nrN Rnr =10( )()( )( )( )()( )NkNNNrx nx nrNxnx n Rnx nrN Rn=x(n) N

53、 RN(n)3.3 頻率域采樣例：已知x(n)=R4(n)，X(ejw)=FTx(n)，對X(ejw) 在區(qū)間0,2進行6點的等間隔采樣，求：X6(k)，k=0,1,.5 及相應(yīng)的x6(n)=IDFTX6(k)，n=0,1,.5 。解： 0 3n1)(nx je0k=0k=2k=1ImzjRezk=3k=4k=50 1 2 3 4 5 4.001.731.00)(jeX2336266002sin3( )sin6kjnkjnknnkXkWeekK=X(k)=0-j1.734.0001.00j1.731.00132452sin)2sin()(2330kjNnjjeeeX2sin)2sin()(23

54、30kjNnjjeeeXn=02sin)2sin()(2330kjNnjjeeeX2sin)2sin()(2330kjNnjjeeeX2sin)2sin()(2330kjNnjjeeeX3.3 頻率域采樣直接由頻域采樣定理得:2, 對X(ejw)在一個周期內(nèi)進行3點采樣,求 及相應(yīng)的x3(n)=IDFTX3(k)，n=0、1、2 。rrrnRrnxnx)6()6()(465 , 4,03 , 2 , 1 , 0,1)()()(666nnnRnxnx（時域無混疊）5 , 4,03 , 2 , 1 , 0,1)()()(666nnnRnxnx5 , 4,03 , 2 , 1 , 0,1)()()(

55、666nnnRnxnxn 01 6 -6)(6nx -3392 , 1 , 0,)()(323keXkXkj3.3 頻率域采樣解：直接由頻域采樣定義得2,1.,10.,4)(3kkkX2 , 1;10;2)()3()()3()(3433nnnRrnRnRrnxnxrr時域混疊 02 -6)(3nxn 1369 21-3用頻域采樣X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)設(shè)序列x(n)長度為M，在頻域02之間等間隔采樣N點，NM， 則有: 21010( )()()( ),0,1, 2,11()( )()()jkNNnnzeNknNkXzx n zXkXzkNx nXzXkXk WN21010( )

56、( )( )( ),0,1,2,11( )( )( )( )jkNNnnz eNknNkX zx n zX kX zkNx nX zX kX k WN得到N個采樣點21010( )( )( )( ),0,1,2,11( )( )( )( )jkNNnnz eNknNkX zx n zX kX zkNx nX zX kX k WN1221( ) ( )( )( )( )( )x nIDFT X kx nx nx nx n21010( )( )( )( ),0,1,2,11( )( )( )( )jkNNnnzeNknNkXzx n zX kXzkNx nXzX kX k WN代入X(z)的表達式

57、)1(1)(11)(111)(1)()(1)(1)()(11011011010101101010 ZWNZkXZWZkXNZWZWkXNZWkXNzWkXNZnxzXkNNNkkNNNkkNNkNNNkNkNnnkNnNnNkknNNnn)1(1)(11)(111)(1)()(1)(1)()(11011011010101101010 ZWNZkXZWZkXNZWZWkXNZWkXNzWkXNZnxzXkNNNkkNNNkkNNkNNNkNkNnnkNnNnNkknNNnn)1(1)(11)(111)(1)()(1)(1)()(11011011010101101010 ZWNZkXZWZkXNZ

58、WZWkXNZWkXNzWkXNZnxzXkNNNkkNNNkkNNkNNNkNkNnnkNnNnNkknNNnn111000111110001111001( )( )( )111( )()( )1111( )( )1(1)NNNnknnNnnkkNNNNNknNNkknkNNNNNkkkkNNXzx n zXk WzNWzXkWzXkNNWzzzXkXkNWzNWz111000111110001111001( )( )( )111( )()( )1111( )( )1(1)NNNnknnNnnkkNNNNNknNNkknkNNNNNkkkkNNXzx n zXk WzNWzXkWzXkNNW

59、zzzXkXkNWzNWz)1(1)(11)(111)(1)()(1)(1)()(11011011010101101010 ZWNZkXZWZkXNZWZWkXNZWkXNzWkXNZnxzXkNNNkkNNNkkNNkNNNkNkNnnkNnNnNkknNNnn)1(1)(11)(111)(1)()(1)(1)()(11011011010101101010 ZWNZkXZWZkXNZWZWkXNZWkXNzWkXNZnxzXkNNNkkNNNkkNNkNNNkNkNnnkNnNnNkknNNnn111000111110001111001( )( )( )111( )()( )1111( )(

60、 )1(1)NNNnknnNnnkkNNNNNknNNkknkNNNNNkkkkNNXzx n zXk WzNWzXkWzXkNNWzzzXkXkNWzNWz11011011( )( )111( )1( )( )( )NNkkNNkkNNkkzX zX kNWzzzNWzX zX kz11011011( )( )111( )1( )( )( )NNkkNNkkNNkkzX zX kNWzzzNWzX zX kz令：則：內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插公式3.3 頻率域采樣當(dāng)z=ej時，上面兩式成為x(n)的傅里葉變換X(ej)的內(nèi)插函數(shù)和內(nèi)插公式， 即：(2/)1011( )1()( )( )j Nkjk NNjkkeNeX eX k (2/)1011( )1()( )( )j Nkjk NNjk