增長率問題與一元二次方

1、復(fù)習(xí)引入1 某某 農(nóng)農(nóng) 戶戶 的的 糧糧 食食 產(chǎn)產(chǎn) 量量 ， 平平 均均 每每 年年 的的 增增 長長 率率 為為 x，第第 一一 年年 的的 產(chǎn)產(chǎn) 量量 為為6萬萬kg， 第第 二二 年年 的的 產(chǎn)產(chǎn) 量量 為為_kg， 第第 三三 年年 的的 產(chǎn)產(chǎn) 量量 為為 _， 三三 年年 總總 產(chǎn)產(chǎn)量量 為為 _ 2某某 糖糖 廠廠 2008 年年 食食 糖糖 產(chǎn)產(chǎn) 量量 為為 at， 如如 果果 在在 以以 后后 兩兩年年 平平 均均 增增 長長 的的 百百 分分 率率 為為 x， 那那 么么 預(yù)預(yù) 計計 2010 年年 的的 產(chǎn)產(chǎn)量量 將將 是是 _ 課前熱身1：二中小明學(xué)習(xí)非常認真，學(xué)習(xí)成績

2、直線上升，第一次月考數(shù)學(xué)成績是a分，第二次月考增長了10%，第三次月考又增長了10%，問他第三次數(shù)學(xué)成績是多少？分析：第三次第二次第一次aaX10%a+aX10%=a（1+10%）X10%a(1+10%)+ a(1+10%) X10% =a（1+10%）2a（1+10%）課前熱身2：某經(jīng)濟開發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達50億元，三月份產(chǎn)值為72億元，問二月、三月平均每月的增長率是多少？ 解：設(shè)平均每月增長的百分率為解：設(shè)平均每月增長的百分率為 x，根據(jù)題意得方程為根據(jù)題意得方程為50(1+x)2=72 可化為：可化為：236125x解得：解得：120.2, 2.2xx 2.20.220%xx 但不

3、合題意，舍去答：答：二月、三月平均每月的增長率是二月、三月平均每月的增長率是20%20%例例1：平陽按“九五”國民經(jīng)濟發(fā)展規(guī)劃要求，2003年的社會總產(chǎn)值要比2001年增長21%，求平均每年增長的百分率（提示：基數(shù)為2001年的社會總產(chǎn)值，可視為a）設(shè)每年增長率為x，2001年的總產(chǎn)值為a，則2001年a2002年a（1+x)2003年a(1+x) 2增長增長21%aa+21%aa(1+x) 2 =a+21%a分析：分析：a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 1+x =1.1 x =0.1解解:設(shè)每年增長率為設(shè)每年增長率為x，2001年的總產(chǎn)值為年的總產(chǎn)值為a，則，則

4、a(1+x) 2 =a+21%a答答:平均每年增長的百分率為平均每年增長的百分率為10% 練習(xí)練習(xí)1：某藥品經(jīng)兩次降價，零售價降為原來某藥品經(jīng)兩次降價，零售價降為原來的一半的一半.已知兩次降價的百分率一樣，求每次已知兩次降價的百分率一樣，求每次降價的百分率降價的百分率.（精確到（精確到0.1%） 解：設(shè)原價為解：設(shè)原價為1個單位，個單位，每次降價的百分率為每次降價的百分率為 x.根據(jù)題意，得根據(jù)題意，得 2112x解這個方程，得解這個方程，得 12221,122xx 2122129.3%.2xx 但1不合題意，舍去答：每次降價的百分率為29.3%. 提高練習(xí)v某電腦公司2001年的各項經(jīng)營中，

5、一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、 二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個增長率 練習(xí)練習(xí)2:2:某藥品兩次升價，零售價升為原來的某藥品兩次升價，零售價升為原來的 1.21.2倍，已知兩次升價的百分率一樣，求每次升價的倍，已知兩次升價的百分率一樣，求每次升價的百分率（精確到百分率（精確到0.1%0.1%）解，設(shè)原價為解，設(shè)原價為 元，每次升價的百分率為元，每次升價的百分率為 ，根據(jù)題意，得根據(jù)題意，得 ax2(1)1.2axa解這個方程，得解這個方程，得 3015x 由于升價的百分率不可能是負數(shù)，由于升價的百分率不可能是負數(shù)，所以所以 不合題意，舍去不合題意，舍

6、去3015x 3019.5%5x 答：每次升價的百分率為答：每次升價的百分率為9.5%.9.5%. 練習(xí)練習(xí)3.小紅的媽媽小紅的媽媽前年前年存了存了5000元一年期元一年期的定期儲蓄，的定期儲蓄，到期后自動轉(zhuǎn)存到期后自動轉(zhuǎn)存.今年今年到期扣到期扣除利息稅（利息稅為利息的除利息稅（利息稅為利息的20%），共取得），共取得5145元元.求這種儲蓄的年利率求這種儲蓄的年利率.（精確到（精確到0.1%） 練習(xí)練習(xí)4.市第四中學(xué)初三年級初一開學(xué)時就參市第四中學(xué)初三年級初一開學(xué)時就參加課程改革試驗，重視學(xué)生能力培養(yǎng)加課程改革試驗，重視學(xué)生能力培養(yǎng).初一階初一階段就有段就有48人在市級以上各項活動中得獎，之

7、人在市級以上各項活動中得獎，之后逐年增加，到三年級結(jié)束共有后逐年增加，到三年級結(jié)束共有183人次在人次在市級以上得獎市級以上得獎.求這兩年中得獎人次的平均年求這兩年中得獎人次的平均年增長率增長率.一元二次方程及應(yīng)用題1、直角三角形問題：（勾股定理）2、體積不變性問題：3、數(shù)字問題：4、互贈禮物問題：5、增長率問題：10abab(1 )2nn 2(1)axb2(1)(1)aaxaxb(1)n n 典型練習(xí)題1、一個兩位數(shù)個位數(shù)字比十位數(shù)字大1，個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后所得的兩位數(shù)比原數(shù)大9，求：這個兩位數(shù)2、一件商品原價200元經(jīng)過兩次降價后162元，求：平均降價的百分比3、某班同學(xué)在圣誕節(jié)期間

8、互贈禮物182件，求：這個班級的人數(shù)4、某校進行乒乓球單循環(huán)比賽，共比賽55場，問：共有多少名同學(xué)參加5、 一名同學(xué)進行登山訓(xùn)練，上山速度為2千米/小時，下山速度為6千米/小時，求：往返一次的平均速度 有一人患了流感有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后經(jīng)過兩輪傳染后共有共有121人患了流感人患了流感,每輪傳染中平均一每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人個人傳染了幾個人? 分分析析 1第一輪傳染第一輪傳染后后1+x第二輪傳染后第二輪傳染后1+x+x(1+x)._,21xx你能快你能快速寫出速寫出嗎嗎?面積問題有關(guān)面積問題：有關(guān)面積問題：常見的圖形有下列幾種：常見的圖形有下列幾種：例例1、用、用22cm長的

9、鐵絲，折成一個面積長的鐵絲，折成一個面積為為30cm2的矩形。求這個矩形的長與寬的矩形。求這個矩形的長與寬.整理后，得整理后，得x2-11x+30=0解這個方程，得解這個方程，得x1=5,x2=6(與題設(shè)不符，舍去與題設(shè)不符，舍去)答：這個矩形的長是答：這個矩形的長是6cm，寬是，寬是5cm。由由x1=5得得6x222 5x222 由由x2=6，得，得解：設(shè)這個矩形的長為解：設(shè)這個矩形的長為xcm，則寬為，則寬為 （cm）.根據(jù)題意，得根據(jù)題意，得x222 30)x222(x 例例2、在寬為、在寬為20米、長為米、長為32米的矩形地面上，米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部修

10、筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為分作為耕地，要使耕地面積為540米米2，道路，道路的寬應(yīng)為多少？的寬應(yīng)為多少？32m20m則橫向的路面面積為則橫向的路面面積為 ，32m20mx米米分析：此題的相等關(guān)系是分析：此題的相等關(guān)系是矩形面積減去道路面積等矩形面積減去道路面積等于于540米米2。解法一、解法一、如圖，設(shè)道路的寬為如圖，設(shè)道路的寬為x米，米，32x 米米2縱向的路面面積為縱向的路面面積為 。20 x 米米2注意：這兩個面積的重疊部分是注意：這兩個面積的重疊部分是 x2 米米2所列的方程是不是所列的方程是不是540)2032(2032xx？圖中的道路面積不是圖中

11、的道路面積不是xx2032 米米2，而是從其中減去重疊部分，即應(yīng)是而是從其中減去重疊部分，即應(yīng)是22032xxx米米2所以正確的方程是：所以正確的方程是：540203220322xxx化簡得，化簡得，. 2,50, 010052212xxxx其中的其中的 x=50超出了原矩形的長和寬，應(yīng)舍去超出了原矩形的長和寬，應(yīng)舍去.取取x=2時，道路總面積為：時，道路總面積為：22220232 =100 (米米2)耕地面積耕地面積=1002032= 540（米（米2）答：所求道路的寬為答：所求道路的寬為2米。米。解法二：解法二： 我們利用我們利用“圖形經(jīng)過移動，它的面圖形經(jīng)過移動，它的面積大小不會改變積大

12、小不會改變”的道理，把縱、橫兩的道理，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出路面的寬，至于實際施工，仍可是求出路面的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）按原圖的位置修路）橫向路面為橫向路面為 ，32m20mxmxm如圖，設(shè)路寬為如圖，設(shè)路寬為x米，米，32x 米米2縱向路面面積為縱向路面面積為 。20 x 米米2耕地矩形的長（橫向）為耕地矩形的長（橫向）為 ，耕地矩形的寬（縱向）為耕地矩形的寬（縱向）為 。相等關(guān)系是：耕地長相等關(guān)系是：耕地長耕地寬耕地寬=540米米2(20-x) 米米（32-x) 米米即即.5402032xx化簡得：化簡得：2

13、,50, 010052212xxxx再往下的計算、格式書寫與解法再往下的計算、格式書寫與解法1相同。相同。練習(xí)練習(xí)1：用一根長：用一根長22厘米的鐵絲，能否折厘米的鐵絲，能否折成一個面積是成一個面積是30厘米的矩形？能否折成一厘米的矩形？能否折成一個面積為個面積為32厘米的矩形？說明理由。厘米的矩形？說明理由。2：在一塊長：在一塊長80米，寬米，寬60米的運動場外米的運動場外圍修筑了一條寬度相等的跑道，這條圍修筑了一條寬度相等的跑道，這條跑道的面積是跑道的面積是1500平方米，求這條跑平方米，求這條跑道的寬度。道的寬度。 3. 如圖，在長為如圖，在長為40米，寬為米，寬為22米的矩米的矩形地面

14、上，修筑兩條同樣寬的互相垂直形地面上，修筑兩條同樣寬的互相垂直的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積為面積為760平方米，道路的寬應(yīng)為多少？平方米，道路的寬應(yīng)為多少？40米米22米米4、如圖，在寬為、如圖，在寬為20m，長為，長為32m的矩形耕地的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條道路，（兩條縱向，上，修筑同樣寬的三條道路，（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向相互垂直），把耕地一條橫向，橫向與縱向相互垂直），把耕地分成大小相等的六塊試驗地，要使試驗地面分成大小相等的六塊試驗地，要使試驗地面積為積為570m，問道路的寬為多少？，問道路的寬為多少？例例3、求截去的正方形的邊

15、長、求截去的正方形的邊長v用一塊長用一塊長28cm、寬、寬 20cm的長方形紙片，要的長方形紙片，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為一個無蓋的長方體盒子，使它的底面積為180cm，為了有效地利用材料，求截去的，為了有效地利用材料，求截去的小正方形的邊長是多少小正方形的邊長是多少cm？求截去的正方形的邊長求截去的正方形的邊長v分析分析v設(shè)截去的正方形的邊長為設(shè)截去的正方形的邊長為xcm之后，關(guān)鍵在于列之后，關(guān)鍵在于列出底面（圖中陰影部分）長和寬的代數(shù)式結(jié)合出底面（圖中陰影部分）長和寬的代數(shù)式結(jié)合圖示和原有長方形的長和

16、寬，不難得出這一代數(shù)圖示和原有長方形的長和寬，不難得出這一代數(shù)式式20-2x28-2xcm20cm 求截去的正方形邊長v解：設(shè)截去的正方形的邊長為解：設(shè)截去的正方形的邊長為xcm，根據(jù)題意，得，根據(jù)題意，得(28-2x)(20-2x)=180 x2-24x+95=0解這個方程，得：解這個方程，得：x1=5,x2=19經(jīng)檢驗：經(jīng)檢驗：x219不合題意，舍去不合題意，舍去所以截去的正方形邊長為所以截去的正方形邊長為cm.例例4:建造一個池底為正方形建造一個池底為正方形,深度為深度為2.5m的長方體無蓋蓄水池的長方體無蓋蓄水池,建造池壁的單價是建造池壁的單價是120元元/m2,建造池底的單價是建造池

17、底的單價是240元元/m2,總總造價是造價是8640元元,求池底的邊長求池底的邊長.分析分析:池底的造池底的造價價+池壁的造池壁的造價價=總造價總造價解解:設(shè)設(shè)池底的邊長是池底的邊長是xm.根據(jù)題意得根據(jù)題意得:86404521202402x xx x. .解方程得解方程得:4921x xx x, ,池底的邊長不能為負數(shù)池底的邊長不能為負數(shù),取取x=4答答:池底的邊長是池底的邊長是4m.練習(xí)、練習(xí)、建造成一個長方體形的水池，原計劃水建造成一個長方體形的水池，原計劃水池深池深3米，水池周圍為米，水池周圍為1400米，經(jīng)過研討，修米，經(jīng)過研討，修改原方案，要把長與寬兩邊都增加原方案中的改原方案，要

18、把長與寬兩邊都增加原方案中的寬的寬的2倍，于是新方案的水池容積為倍，于是新方案的水池容積為270萬米萬米3，求原來方案的水池的長與寬各是多少米？求原來方案的水池的長與寬各是多少米？700-xx3700-x+2xx+2xx原方案原方案新方案新方案v課堂練習(xí)課堂練習(xí):列方程解下列應(yīng)用題列方程解下列應(yīng)用題v1、學(xué)生會準備舉辦一次攝影展覽，在每張長和、學(xué)生會準備舉辦一次攝影展覽，在每張長和寬分別為寬分別為18厘米和厘米和12厘米的長方形相片周圍鑲嵌厘米的長方形相片周圍鑲嵌上一圈等寬的彩紙。經(jīng)試驗，彩紙面積為相片面上一圈等寬的彩紙。經(jīng)試驗，彩紙面積為相片面積的積的2/3時較美觀，求鑲上彩紙條的寬。（精確

19、到時較美觀，求鑲上彩紙條的寬。（精確到0.1厘米）厘米）v2、在寬、在寬20米，長米，長32米的矩形地面上修筑同樣寬米的矩形地面上修筑同樣寬的四條互相垂直的的四條互相垂直的“井井”字形道路（如圖），余字形道路（如圖），余下的部分做綠地，要使綠地面積為下的部分做綠地，要使綠地面積為448平方平方 米，米，路寬為多少路寬為多少？ 32323232 3220v3、小明把一張邊長為、小明把一張邊長為10厘米的正方形硬紙厘米的正方形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子。如果要再折合成一個無蓋的長方體盒子。如果要求長方體的底面面積為求長方

20、體的底面面積為81平方厘米，那么平方厘米，那么剪去的正方形邊長為多少剪去的正方形邊長為多少? 4、學(xué)校課外生物（小組的試驗園地是一塊長學(xué)校課外生物（小組的試驗園地是一塊長35米、米、寬寬20米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱米的矩形，為便于管理，現(xiàn)要在中間開辟一橫兩縱三條等寬的小路（如圖），要使種植面積為三條等寬的小路（如圖），要使種植面積為600平方米，平方米，求小道的寬。（精確到求小道的寬。（精確到0.1米）米）5、 在長方形鋼片上沖去一個在長方形鋼片上沖去一個長方形，制成一個四周寬相等的長方形，制成一個四周寬相等的長方形框。已知長方形鋼片的長長方形框。已知長方形鋼片的長為為30

21、cm，寬為，寬為20cm,要使制成的要使制成的長方形框的面積為長方形框的面積為400cm2，求這，求這個長方形框的框邊寬。個長方形框的框邊寬。 XX30cm20cm解解:設(shè)長方形框的邊寬為設(shè)長方形框的邊寬為xcm,依題意依題意,得得3020(302x)(202x)=400整理得整理得 x2 25+100=0得得 x1=20, x2=5當(dāng)當(dāng)=20時時,20-2x= -20(舍去舍去);當(dāng)當(dāng)x=5時時,20-2x=10答答:這個長方形框的框邊寬為這個長方形框的框邊寬為5cm列一元二次方程解應(yīng)題6、放鉛筆的V形槽如圖，每往上一層可以多放一支鉛筆現(xiàn)有190支鉛筆，則要放幾層 ?解解:要放要放x層層,則

22、每一則每一層放層放(1+x) 支鉛筆支鉛筆.得得x (1+x) =1902 X X 3800解解得X119， X2 20(不合題意)答:要放要放19層層.2列一元二次方程解應(yīng)題補充補充練習(xí)：練習(xí)： 18米2米（98年北京市崇文區(qū)中考題）如圖，有一面積是150平方米的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），墻對面有一個2米寬的門，另三邊（門除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長33米求雞場的長和寬各多少米？通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí): :我學(xué)會了我學(xué)會了使我感觸最深的是使我感觸最深的是我發(fā)現(xiàn)生活中我發(fā)現(xiàn)生活中我還感到疑惑的是我還感到疑惑的是質(zhì)點運動問題有關(guān)有關(guān)“動點動點”的運動問題的運動問題”1)

23、1)關(guān)鍵關(guān)鍵 以靜代動以靜代動 把動的點進行轉(zhuǎn)換把動的點進行轉(zhuǎn)換, ,變?yōu)榫€段的長度變?yōu)榫€段的長度, , 2)2)方法方法 時間變路程時間變路程 求求“動點的運動時間動點的運動時間”可以轉(zhuǎn)化為求可以轉(zhuǎn)化為求“動點動點的運動路程的運動路程”，也是求線段的長度，也是求線段的長度; ;由此由此,學(xué)會把動點的問題轉(zhuǎn)化為靜點的問題學(xué)會把動點的問題轉(zhuǎn)化為靜點的問題,是解這類問題的關(guān)鍵是解這類問題的關(guān)鍵.3 3）常找的常找的數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 面積，勾股定理等；面積，勾股定理等；例例1 在矩形在矩形ABCD中中,AB=6cm,BC=12cm,點點P從點從點A開始以開始以1cm/s的速度沿的速度沿AB邊向點邊向

24、點B移動移動,點點Q從點從點B開始以開始以2cm/s的速度沿的速度沿BC邊向點邊向點C移動移動,如果如果P、Q分別從分別從A、B同時出同時出發(fā)，幾秒后發(fā)，幾秒后 PBQ的面積等于的面積等于8cm2？BACDQP解：設(shè)解：設(shè)x秒后秒后 PBQ的面積等于的面積等于8cm2根據(jù)題意，得根據(jù)題意，得整理，得整理，得解這個方程，得解這個方程，得12(6)82xx2680 xx122,4xx06x所以所以2秒或秒或4秒后秒后 PBQ的的面積等于面積等于8cm2例例2：等腰直角：等腰直角 ABC中中,AB=BC=8cm,動點動點P從從A點出發(fā)點出發(fā),沿沿AB向向B移動移動,通過點通過點P引平行于引平行于BC

25、,AC的直線與的直線與AC,BC分別分別交于交于R、Q.當(dāng)當(dāng)AP等于多少厘米時等于多少厘米時,平行平行四邊形四邊形PQCR的面積等于的面積等于16cm2?QRCBAP21216816044xxxxAPcm2解：設(shè)AP=x，則PR=x，PB=8-x根據(jù)題意得：x 8-x整理得：解這個方程得：答：當(dāng)時，四邊形面積為16cm例例3：ABC中中,AB=3, BAC=45,CD AB,垂足為垂足為D,CD=2,P是是AB上的一動點上的一動點(不與不與A,B重重合合),且且AP=x,過點過點P作直線作直線l與與AB垂直垂直.i)設(shè)設(shè) ABC位于直線位于直線l左側(cè)部分的面積為左側(cè)部分的面積為S,寫出寫出S與與x之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式;ii)當(dāng)當(dāng)x為何值時為何值時,直線直線l平分平分 ABC的面積的面積? lACDBP2210222333xSxxSx解：當(dāng)時，當(dāng)時，例例4：客輪沿折線：客輪沿折線A-B-C從從A出發(fā)經(jīng)出發(fā)經(jīng)B再到再到C勻速航行勻速航行,貨輪從貨輪從AC的中點的中點D出發(fā)沿某