多元函數(shù)的Taylor公式與極值ppt課件

1、l 第一節(jié) 預(yù)備知識(shí) l 第二節(jié) 極限與延續(xù) l 第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 l 第四節(jié) 微分運(yùn)算法那么 l 第五節(jié) 方導(dǎo)游數(shù)與梯度 l 第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何運(yùn)用l 第七節(jié) 多元函數(shù)的Taylor公式與極值 l*第八節(jié) n元m維向量值函數(shù)的微分法 l 第九節(jié) 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù) 第五章第五章 多元函數(shù)微分法及其運(yùn)用多元函數(shù)微分法及其運(yùn)用實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估元，店主估計(jì)，假設(shè)本地牌子的每瓶賣計(jì)，假設(shè)本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣

2、元，那么每天可賣出元，那么每天可賣出 瓶瓶本地牌子的果汁，本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)錢賣兩種牌子的果汁汁問：店主每天以什么價(jià)錢賣兩種牌子的果汁可獲得最大收益？可獲得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.問題的提出問題的提出1二二元元函函數(shù)數(shù)的的極極值值的的定定義義 7.2 7.2 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值一、極值一、極值 函函數(shù)數(shù)222),(yxayxf 在在 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(處處有

3、有極極大大值值af )0 , 0(。 xoyzxoyz二二元元函函數(shù)數(shù)極極值值的的概概念念可可推推廣廣到到元元函函數(shù)數(shù) n。 22( , )(0,0)(0,0)0;f x yxyf函數(shù)在點(diǎn)取極小值 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在點(diǎn)點(diǎn) ),(yx處處有有極極值值，則則必必有有 0),( yxfx，0),( yxfy。 同同時(shí)時(shí)滿滿足足0),( yxfx，0),( yxfy的的點(diǎn)點(diǎn)),(yx 稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)。 注注意意： 可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)的的極極值值點(diǎn)點(diǎn) 駐駐點(diǎn)點(diǎn) 例例如如，點(diǎn)點(diǎn))0 ,0(為為xyz 函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)

4、，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)。 4 4. .求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的極極值值的的步步驟驟 解解： 11 00033) ,(033) ,(22yxyxxyyxfyxyxfyx和和， 駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為（0，0） ， （1，1） 。 6) ,( 3,) ,( ,6) ,( yyxfyxfxyxfyyyxxx 。 （1）在在駐駐點(diǎn)點(diǎn)（0，0）處處， 00) , 0( 3,0) , 0( 0,0) , 0( yyyxxxfCfBfA， 092 BAC, 函函數(shù)數(shù)) ,(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)（0，0）無無極極值值。 （2）在在駐駐點(diǎn)點(diǎn)（1，1）處處， 61) , 1( 3,1) , 1( 6,1) , 1(

5、yyyxxxfCfBfA， 0273692 BAC, 且且0 A， 函函數(shù)數(shù)) ,(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)（1，1）有有極極小小值值1)1 , 1( f。 思索：思索： 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點(diǎn)均取得點(diǎn)均取得極值， 則極值， 則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx是否也取得極值？是否也取得極值？二、最大值及最小值二、最大值及最小值 有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)的函數(shù)必有最大值和最小值。上連續(xù)的函數(shù)必有最大值和最小值。 求有界閉區(qū)域求有界閉區(qū)域 D 上多元連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值上多元連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值 時(shí)，只要求出函數(shù)在時(shí)，只要求出函數(shù)在 D 內(nèi)的駐點(diǎn)、一階偏導(dǎo)

6、數(shù)不存內(nèi)的駐點(diǎn)、一階偏導(dǎo)數(shù)不存 在的點(diǎn)處的函數(shù)值及該函數(shù)在在的點(diǎn)處的函數(shù)值及該函數(shù)在 D 的邊界上的最大值的邊界上的最大值 和最小值，比較這些值，其中最大者就是該函數(shù)在和最小值，比較這些值，其中最大者就是該函數(shù)在 D 上的最大值，最小者就是該函數(shù)在上的最大值，最小者就是該函數(shù)在 D 上的最小值。上的最小值。 在在實(shí)實(shí)際際問問題題中中，如如果果根根據(jù)據(jù)問問題題的的性性質(zhì)質(zhì)，知知道道函函數(shù)數(shù)在在 區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)一一定定有有最最大大（小?。┲抵?，而而函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)只只有有一一 個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)，那那么么可可以以斷斷定定該該駐駐點(diǎn)點(diǎn)處處的的函函數(shù)數(shù)值值就就是是函函數(shù)數(shù)在在 D 上上的的最最大大

7、（小?。┲抵怠?解解: :先先求求函函數(shù)數(shù)22yxz 在在圓圓域域 D 內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)。 由由 0202yyzxxz，)0 , 0(得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)， 顯顯然然0)0 , 0( z是是最最小小值值， 最大值必在圓域最大值必在圓域D的邊界，即圓周上的邊界，即圓周上9)2()2(22 yx 上上達(dá)到。達(dá)到。 再再求求函函數(shù)數(shù)22yxz 在在圓圓周周上上的的最最大大值值。 圓圓周周的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為 20 ,sin32cos32ttytx， 代代入入22yxz ，得得 )cos(sin2613)sin32()cos32(22ttttz 25)4sin(1213 t， 函函數(shù)數(shù)22yxz 在在圓圓

8、周周上上的的最最大大值值為為 2 25 5。 故故在在圓圓域域 D 上上25max z，0min z。 即即)0, 0( )22(2 yxyxxyA。 令令 0)2(20)2(222yxAxyAyx 解解：設(shè)設(shè)水水箱箱的的長長為為xm，寬寬為為ym，則則高高mxyh2 。 此此水水箱箱用用料料的的面面積積)22(2xyxxyyxyA ， xyz解解之之，得得32 yx， 函函數(shù)數(shù)A在在定定義義域域 0, 0),( yxyxD內(nèi)內(nèi)只只有有唯唯一一的的 駐駐點(diǎn)點(diǎn))2,2(33，又又由由問問題題的的實(shí)實(shí)際際意意義義可可知知, ,函函數(shù)數(shù) A 在在定定 義義域域 D 內(nèi)內(nèi)一一定定有有最最小小值值， 當(dāng)

9、當(dāng)水水箱箱的的長長和和寬寬均均為為m32，高高為為m3332222 時(shí)時(shí)， 水水箱箱所所用用的的材材料料最最省省。 實(shí)例：實(shí)例： 小王有小王有200元錢，他決議用來購買兩元錢，他決議用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶到達(dá)最正確效果，盒錄音磁帶到達(dá)最正確效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以到達(dá)最正確效果元以到達(dá)最正確效果xyyxyxUlnln),( 問題的本質(zhì)：求問題的本質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyx

10、Ulnln),( 200108 yx三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件域內(nèi)外，并無其他條件.1 條條 件件 極極 值值 在在條條件件0),( zyx的的限限制制下下，求求函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 的的極極 值值，叫叫做做條條件件極極值值問問題題，方方程程0),( zyx叫叫做做約約束束方方程程。 2 2拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法 設(shè)設(shè)),(zyxf和和),(zyx 在所考慮的區(qū)域內(nèi)具有連續(xù)在所考慮的區(qū)域內(nèi)具有連續(xù) 的一階偏導(dǎo)數(shù)，且的一階偏導(dǎo)數(shù)，且0 z。由方程由方程0),( zyx所確定

11、所確定 的隱函數(shù)為的隱函數(shù)為),(yxzz ，則，則 zxxz ，zyyz ， 由由極極值值存存在在的的必必要要條條件件得得 0),(00 00zyxffffyuxuyzzyxzzx即即 解解此此方方程程組組，得得可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)),(zyx。 ( , )( , , )( , , ( , )zz x yuf x y zuf x y z x y將帶入得方程組表示了函數(shù)方程組表示了函數(shù) ),(),(),(zyxzyxfzyxF 的四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)等于的四個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)等于 0： 令令 zzf，方方程程組組可可改改寫寫為為 0),(000zyxfffzzxyxx 從從方方程程組組中中解解出出 , ,

12、 ,zyx，其其中中(zyx,) 即即為為可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)。這這種種方方法法叫叫做做拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法。 0),(000yxFfFfFfFzzzyyyxxx 函函數(shù)數(shù)),(),(),(zyxzyxfzyxF 稱稱為為拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù)， 數(shù)數(shù)稱稱為為拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)。 3用用拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法求求條條件件極極值值的的步步驟驟（1） 構(gòu)構(gòu)造造Lagrange函函數(shù)數(shù)： ),(),(),(zyxzyxfzyxF ， （2 2）解解方方程程組組 0),(000zyxFFFzyx， 即即 0),(000zyxfffzzxyxx， 得得可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)),(zy

13、x。 注注： （1）若若由由問問題題的的實(shí)實(shí)際際意意義義知知必必存存在在條條件件極極值值，且且只只有有 唯唯一一的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，則則該該駐駐點(diǎn)點(diǎn)即即為為所所求求的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)。 （2）拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法可可推推廣廣到到自自變變量量多多于于三三個(gè)個(gè)而而約約束束 條條件件多多于于一一個(gè)個(gè)的的情情形形。 例例如如：求求函函數(shù)數(shù)),(tzyxfu 在在約約束束條條件件0),( tzyx， 0),( tzyx下下的的極極值值，可可構(gòu)構(gòu)造造輔輔助助函函數(shù)數(shù) ),(),(),(),(2121tzyxtzyxtzyxftzyxF 。 構(gòu)構(gòu)造造Lagrange函函數(shù)數(shù))222(),(2axzyzxyx

14、yzzyxF ， 令令 (4) 0222(3) 0)(2(2) 0)(2(1) 0)(22axzyzxyFyxxyFzxxzFzyyzFzyx 解解：設(shè)設(shè)長長方方體體的的三三棱棱長長為為zyx , ,，則則得得條條件件極極值值問問題題： 2222 0)0,0,( maxaxzyzxyzyxxyz V由（由（1 1） 、 （） 、 （2 2） 、 （） 、 （3 3）得）得zyx ，將此代入（，將此代入（4 4）得）得 6azyx 。 函函數(shù)數(shù)在在 V駐駐點(diǎn)點(diǎn)處處取取得得最最大大值值，即即當(dāng)當(dāng)長長、寬寬、高高均均6a為為時(shí)時(shí)， 長長方方體體有有最最大大體體積積：3max366aV 。 在在定定義

15、義域域0, 0, 0),( zyxzyxD內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)只只有有唯唯一一 的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)( (6a, ,6a, ,6a) )，而函數(shù)而函數(shù)DV 在在內(nèi)必有最大值內(nèi)必有最大值， 解解：設(shè)設(shè)),(zyx 為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)橢橢球球面面12222 zyx上上 的的任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)，則則該該點(diǎn)點(diǎn)到到平平面面62 zyx的的距距離離 662 zyxd。 原原問問題題等等價(jià)價(jià)于于求求函函數(shù)數(shù)22)62(6),( zyxdzyxf 在在條條件件12222 zyx下下的的極極值值。 設(shè)設(shè))12()62(),(2222 zyxzyxzyxF， 令令 (4) 0 1z2(3) 02)62(2(2) 0 2)62(2(1) 0 4)62(4222yxFzzyxFyzyxFxzyxFzyx 由（由（1 1） 、 （） 、 （2 2） 、 （） 、 （3 3