高等數(shù)學第五章定積分及其應用

1、 第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用背景來源面積的計算！矩形的面積定義為兩直角邊長度的乘積我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，但閃爍部分永遠不可能恰好為矩形，這些“邊角余料”無外乎是右圖所示的“典型圖形”（必要時可旋轉）“典型圖形”面積的計算問題就產(chǎn)生了定積分1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy，軸及x以及兩直線bxax,所圍成 , 求其面積 A .?A)(xfy 矩形面積ahhaahb梯形面積)(2bah5.1.1 定積分的概念 1xix1ixxabyo1) 分割分割.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點bxxxxxann121

2、0,1iiixx用直線ixx 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 近似近似.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以,1iixx為底 ,)(if為高的小矩形, 并以此小梯形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限. 令, max1inix則曲邊梯形面積niiAA10limniiixf10)(lim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xabyo1xix1ixi1、分割 將a，b分割為n個小區(qū)間2、取介點 在每個小區(qū)間上任取一點ii)(if3、局部以直代曲 每個小區(qū)間上

3、的曲線y=f(x)用直線段y=f(i)代替)(xfy 0 xa 1x2x1ixix1nxbxn4、作和：S=11)(xf22)(xfiixf)(nnxf)()( )(11iiiniiixxxxfyx1、分割 將a，b分割為n個小區(qū)間2、取介點 在每個小區(qū)間上任取一點i3、局部以直代曲 每個小區(qū)間上的曲線y=f(x)用直線段y=f(i)代替)(xfy 4、作和：S=11)(xf22)(xfiixf)(nnxf)()( )(11iiiniiixxxxfbaniiidxxfxfS)()(lim10|5、取極限 )max|(| )(lim10|iniiixxfSa byx設某物體作直線運動, ,)(2

4、1TTCtvv且,0)(tv求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s.解決步驟解決步驟:1) 分割分割., ,1iiitt任取將它分成, ),2, 1(,1nittii在每個小段上物體經(jīng)2) 近似近似.,)(代替變速以iv得iiitvs)(,1,21個分點中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 n 個小段過的路程為iniitvs1)(4) 取極限取極限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述兩個問題的共性共性: 解決問題的方法步驟相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取極限 ” 所求量極限結構式相同: 特殊乘積和式的極

5、限機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 abxo,)(上定義在設函數(shù)baxf的若對,ba任一種分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取,1iiixxi時只要0max1inixiniixf1)(總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分定積分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積可積 .記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 baxxfd)(iniixf10)(lim積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達式積分變量積分和稱為積分區(qū)間,ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關 , 而

6、與積分變量用什么字母表示無關 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 如如果果 0)(xf ，則則( )d0baf xx , 此此時時( )dbaf xx表表示示由由曲曲線線( )yf x，,xa xb及及 x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積 A，即即baAxxfd)( . . x O y a b A y=f(x) 如如果果)(xf0， 則則( )d0baf xx ， 此此時時( )dbaf xx表表示示由由曲曲線線( )yf x，,xa xb及及 x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積 A 的的負負值值，即即( )

7、dbaf xxA . . x O y a b -A y=f(x) 123( )d.baf xxAAA如果如果)(xf 在在,ba上有上有正有負時，則正有負時，則( )dbaf xx表示由表示由曲線曲線)(xfy ，直線，直線,xa xb及及 x 軸所圍成的平面圖形的軸所圍成的平面圖形的面積位于面積位于 x 軸上方的面積減去軸上方的面積減去位于位于 x 軸下方的面積，如右圖軸下方的面積，如右圖所示，即所示，即 3 A ) ( x f y O a b x y 2 A 1 A Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負值abyx1A2A3A4A5A5432

8、1d)(AAAAAxxfbaA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 o1 xyni定理定理1.上連續(xù)在函數(shù),)(baxf.,)(可積在baxf例例1. 利用定義計算定積分.d102xx解解: 將 0,1 n 等分, 分點為niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2xy iiiixxf2)(則32nio1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,133) 1(23

9、3nnnn得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233兩端分別相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iixninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 x01ni 1ni機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , ,)(baCxf設,

10、d)(存在則baxxf根據(jù)定積分定義可得如下近似計算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii記baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy將 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn21baxxfd)(. 3xyyii211)()(21110nnyyyynab11ni為了提高精度, 還可建立更好的求積公式, 例如辛普森機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 abxoyix1ix公式, 復化求積公式等, 并有現(xiàn)成的數(shù)學軟件可供調(diào)用.性質(zhì)性質(zhì)1 常

11、數(shù)因子可提到積分號外常數(shù)因子可提到積分號外性質(zhì)性質(zhì)2 函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和。函數(shù)代數(shù)和的積分等于它們積分的代數(shù)和。babadxxfkdxxkf)()(bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(5.2 定積分的簡單性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)3 若在區(qū)間若在區(qū)間 a , b 上上 f (x)K，則，則性質(zhì)性質(zhì)4 定積分的區(qū)間可加性定積分的區(qū)間可加性 若若 c 是是 a , b 內(nèi)的任一點，則內(nèi)的任一點，則)()(abKdxkkdxdxxfbabababccabadxxfdxxfdxxf)()()(abdxdxdxxfbababa1)(abcabc,cba則有caxxfd)(baxx

12、fd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質(zhì)性質(zhì)5 如果在區(qū)間如果在區(qū)間 a , b 上上 ，f (x) g (x)，則，則性質(zhì)性質(zhì)6 設在區(qū)間設在區(qū)間 a , b 上上 （a1 時收斂 ; p1 時發(fā)散 .,因此, 當 p 1 時, 反常積分收斂 , 其值為;11pap當 p1 時, 反常積分發(fā)散 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 . )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 引例引例:曲線xy1所圍成的1x與 x

13、 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作10dxxA其含義可理解為 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 , ,()(baCxf而在點 a 的右鄰域內(nèi)無界,存在 ,( )dlim( )dbbattaf xxf xx 這時稱暇積分xxfbad)(收斂 ; 如果上述極限不存在,就稱暇積分xxfbad)(發(fā)散 .類似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxftabtbad)(limd)(若極限lim( )dbttaf xx 數(shù) f (x) 在 （a , b 上的暇積分, 記作則定義機動 目錄 上頁 下

14、頁 返回 結束 則稱此極限為函 ,)(,)(外連續(xù)上除點在若bcacbaxf而在點 c 的無界點常稱鄰域內(nèi)無界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(為瑕點瑕點 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則定義112dxx211111x下述解法是否正確: , 積分收斂0arcsinatatlim. )0(d022axaxa解解: 顯然瑕點為 a , 所以原式atlimatlim2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 討論暇積分112dxx的收斂性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101limtxtttx101lim所以暇積分112dxx發(fā)散 .tdxxa02210

15、arcsintaxxxxxxd11d04204, 并求其值 .解解:041dxx令xt1tttd1112014tttd1042xxxd1042xxxxxxxd11d211d0420404xxxd1121042xxxxd121021122機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xxxxd121021122)1(d2)(121021xxxx012arctan221xx22機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 定義定義:函數(shù))0(d)(01sxexsxs(1) 遞推公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證: 0d) 1(xexsxs)0()() 1(ssss(分部積分)0dxsex01d0 xe

16、xsexxsxs)(ss注意到:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 得令,2ux )0(d)(01sxexsxs)0(d2)(0122suuessu0d2ueu21212一、與定積分概念有關的問題的解法一、與定積分概念有關的問題的解法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、有關定積分計算和證明的方法二、有關定積分計算和證明的方法定積分及其相關問題 第五五章 1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限2. 用定積分性質(zhì)估值3. 與變限積分有關的問題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 求.d1lim10 xee

17、xxxnn解解: 因為 1,0 x時,xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夾逼準則得0d1lim10 xeexxxnn,nx因為 依賴于且1) 思考例1下列做法對嗎 ?利用積分中值定理eenn1lim原式0不對不對 !,n.10機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2) 此類問題放大或縮小時一般應保留含參數(shù)的項 . px11ppxx11) 10( x1px1 如, P265 題4求極限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242. 求極限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示提示：原式nn

18、1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左邊= 右邊機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .d411032xxx估計下列積分值解解: 因為 1 ,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .2d222042exeexx證證: 令,)(2xxexf則xxexxf2) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 熟練運用定積分計算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定積分的計算3. 利用各種積分技巧計算定積分4. 有關定積分命題的證明方法思考思考: 下列作法是否正確?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .d12ln02xex解解: 令,sin