[理學(xué)]131 函數(shù)極限概念、性質(zhì)ppt課件

1、9.23課堂回顧數(shù)列數(shù)列: : 研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想,精確定義精確定義,幾何意義幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性唯一性，保號(hào)性，有界性唯一性，保號(hào)性， 包序性，夾逼性包序性，夾逼性求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限: : 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則e)11 (limnnn1.3.1 函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的概念第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限.xxxsin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 xxysin ;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .xXx的過(guò)程的過(guò)

2、程表示表示 . 0sin)(,無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過(guò)上面的觀察通過(guò)上面的觀察:問(wèn)題問(wèn)題: 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”.:. 1 定義定義定定義義X .Axf,Xx,X, )(00恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axflimx)(定義定義1 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么小不論它多么小),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù) ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 的一的一切切 , 所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 都滿(mǎn)足不等式都滿(mǎn)足不等式,那么常數(shù)那么常數(shù) 就叫函數(shù)就叫函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限時(shí)的極限,記作記作 XXx

3、x)(xf Axf)(A)(xfx)()()( xAxfAxflimx當(dāng)當(dāng)或或:x.情形情形 02.Axf,X|x|,X, )(00恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng):x.情形情形01Axfx )(lim.A)x(f,Xx,X, 恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)00Axflimx )(2.另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3.幾何解釋幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxAAxflimx )(例例1. 01lim xx證明證明證證

4、xx101 , , 0 ,1 X取取時(shí)恒有時(shí)恒有則當(dāng)則當(dāng)Xx ,01 x. 01lim xx故故例例2 2 試證：試證： 0證：證： xxx21lim222222|2 ) 2 |( 2|1 ) 1 | ( |1|1 |01| xxxxxxxxxxx時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)) 2 )( . 2 2 , 21 ( X可可直直接接取取則則有有若若先先限限定定. . 2 , 2max )( , 0 2 | |2 2證畢可取對(duì)任給定的又XXxx二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過(guò)過(guò)程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于

5、確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf x0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點(diǎn)點(diǎn) x.xx程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)0 .xxxx的的過(guò)過(guò)程程表表示示00 0 :. 1 定義定義定義定義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)定義定義2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么小不論它多么小),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 的一切的一切 ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 都滿(mǎn)足不等式都滿(mǎn)足不等式,那么常數(shù)那么常數(shù) 就叫函數(shù)就叫函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限時(shí)的極限,記作記作 00 xxx)(xf Axf)(A

6、)(xf0 xx )()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf2.為任意給定的正數(shù)，僅與 有關(guān).,就就有有無(wú)無(wú)窮窮多多個(gè)個(gè)后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 證證例例3.lim00 xxxx 證明證明,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成立

7、成立 .lim00 xxxx 例例4. 424lim22 xxx證明證明證證424)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=2處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義.2 x,)( Axf要使要使,4242 xx就有就有224lim4.2xxx例例5.11lim2020 xxxx 證證20211)(xxAxf , 0 任給任給,2120 x 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx20220211xxxx ,)( Axf要使要使,11202 xx就有就有,1212002000 xxxxxxxx .21200 xxx 只只要要20211lim:0 xxxx證明幾點(diǎn)注意： 1 定義中的

8、 相當(dāng)于數(shù)列極限中的 ，它僅與 有關(guān)，但不是唯一確定。 2 定義中只考慮在 空心鄰域內(nèi)有定義的情形，一般不考慮函數(shù)在 有無(wú)定義。 3 以上的定義可以用鄰域的形式簡(jiǎn)單給出。 N 0 x0 x3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無(wú)限趨近從左側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記作記作,0 xx從右側(cè)無(wú)限趨近從右側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限 .)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfx

9、xx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)000 :000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作例例5 5 ).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解解兩個(gè)單側(cè)極限為兩個(gè)單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn),0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim

10、0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 o00limlimxxxxxx左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6證證0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx0lim11x函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(海涅定理海涅定理) .)(lim ,lim,)(,)(lim)()(0000000AxfxxxxxxAxfxxfnnnnnnxxUU則有且若數(shù)列任意含于內(nèi)有定義，在定理定理注：注： 本定理有如下幾點(diǎn)注釋?zhuān)罕径ɡ碛腥缦聨c(diǎn)注釋?zhuān)?1 本定理建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，將本定理建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，將 函數(shù)極限的存在性轉(zhuǎn)化

11、為數(shù)列極限的存在性。函數(shù)極限的存在性轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限的存在性。 2 本定理通常用來(lái)證明函數(shù)極限的不存在性。本定理通常用來(lái)證明函數(shù)極限的不存在性。證證 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)對(duì)上述對(duì)上述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又xy1sin 例例7.1sinlim0不存在不存在證明證明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinl

12、im 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)六種極限 );(limxfx);(limxfx);(limxfx );(lim0 xfxx);(lim0 xfxx );(lim0 xfxx 一一 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì) 2.局部局部有界性有界性1.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,則極限唯一則極限唯一. )0)(0)(, 0),0(0,)(lim0 xfxfxAAAxfxx或時(shí)當(dāng)則或且若定理定理 3.局部局部保號(hào)性保號(hào)性4.局部局部保

13、保不等不等性性)(lim)(lim),()()()(lim)(lim000000Uxgxfxgxfxxgxfxxxxxxxx則內(nèi)有都存在，且在某鄰域與設(shè)定理定理 00()U x5.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 本定理既給出了判別函數(shù)極限存在的方法；又提供了一個(gè)計(jì)算函數(shù)極限的方法。.)(lim )( )()( );(,)(lim)(lim00000AxhxgxhxfxUAxgxfxxxxxx則內(nèi)有且在某設(shè)6、極限運(yùn)算法則、極限運(yùn)算法則 . 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim00000 BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxfxxxxxxxx

14、xx其中其中則則設(shè)設(shè)二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例 例例8 8 .531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結(jié)小結(jié): : 則有則有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則有則有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(

15、lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則商的法則不能應(yīng)用則商的法則不能應(yīng)用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得得例例9 9 .3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例1010 .321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無(wú)窮小先約去不為零的無(wú)

16、窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例1111 .147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無(wú)窮大分母的極限都是無(wú)窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再求極限再求極限分出無(wú)窮小分出無(wú)窮小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 小結(jié)小結(jié): : 為非負(fù)整數(shù)時(shí)有為非負(fù)整數(shù)時(shí)有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)小結(jié)小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后時(shí)刻時(shí)刻(見(jiàn)下表見(jiàn)下表)過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )(xf