第3講(行列式按行或列展開)

1、行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì):性質(zhì)性質(zhì)1 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .性質(zhì)性質(zhì)2 2 互換行列式的任意兩行（列）互換行列式的任意兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .性質(zhì)性質(zhì)3 3 若若行列式中有兩行行列式中有兩行( (列列) )對(duì)應(yīng)元素相等，則此行對(duì)應(yīng)元素相等，則此行列式為零列式為零. .課前復(fù)習(xí)課前復(fù)習(xí) 性質(zhì)性質(zhì)5 5 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘推論推論1 1行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因推論推論2 2若行列式中有兩行（列）元素成比例，若行列式中有兩行（列）元素成比例，

2、以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式. .子可以提到行列式符號(hào)的外面子可以提到行列式符號(hào)的外面則此行列式的值等于零則此行列式的值等于零性質(zhì)性質(zhì)4 4 若行列式中有若行列式中有一行（列）的元素全為零，一行（列）的元素全為零，則此行列式的值為零則此行列式的值為零性質(zhì)性質(zhì)6 6 如果行列式如果行列式D D中的某一行（列）的每個(gè)元素都中的某一行（列）的每個(gè)元素都 是兩個(gè)數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式是兩個(gè)數(shù)之和，則此行列式等于兩個(gè)行列式D1 D1 與與D2D2之和。之和。性質(zhì)性質(zhì)7 7 將行列式的某一行（列）的各元素乘以同一將行列式的某一行（列）的各元素乘以同一 數(shù)數(shù)k k之后，

3、加到另一行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素之后，加到另一行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素 上去，行列式的值不變上去，行列式的值不變 。行列式的計(jì)算方法（行列式的計(jì)算方法（1 1）：）： 化三角形行列式法。化三角形行列式法。123405106例例ijjiijMA)()1( 代數(shù)余子式代數(shù)余子式： 余子式余子式:在n階行列式中,把元素 所在的 第i行和第j列劃去后,剩下的n-1階行列式叫做 元素 的余子式，記為 。 ijaijMija一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式第第3節(jié)節(jié) 行列式的按行（列）展開行列式的按行（列）展開 601504321 例如例如 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)行列式等于它的任

4、一行（列）的各元素與其對(duì)ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 1122jjjjnjnjDa Aa Aa A 1,2,jn 定理定理1.51.5應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)11220,().ijijinjna Aa Aa Aij ).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 推論推論1.41.4應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即tjtjDAasisiDAaitniijsjnjij0011綜合上面的定理和推論可得：綜合上

5、面的定理和推論可得：計(jì)算行列式的方法（計(jì)算行列式的方法（2 2）：）： 利用行列式的性質(zhì)，把行列式的某一行（列）利用行列式的性質(zhì)，把行列式的某一行（列）化為只有一個(gè)元素非零而其余元素均為零，按此行化為只有一個(gè)元素非零而其余元素均為零，按此行（列）降階展開，以此類推直至化為二階行列式，（列）降階展開，以此類推直至化為二階行列式，再求得其值。再求得其值。計(jì)算行列式常用方法：化零，展開計(jì)算行列式常用方法：化零，展開. .三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例3112513420111533D 例例 計(jì)算計(jì)算11111220223333xxx 例例 解方程解方程例：計(jì)算例：計(jì)算xaaaaxaaaaxaaaaxDn

6、例例證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde(Vandermonde) )行列式行列式122221211112111nnnnnnnxxxxxxDxxx 證明證明2n 時(shí)，時(shí)，221211211()ijijDxxxxxx 1()ijn ijxx 假設(shè)等式對(duì)假設(shè)等式對(duì)n-1n-1階范德蒙德行列式成立，下面證階范德蒙德行列式成立，下面證明等式對(duì)明等式對(duì)n n階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立. .2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 從第從第n n行開始，后一行減去前一行的行開始，后一行減去前一行的 倍，有倍，有1x1()ixx 按第一列展開，并把每一列的共因子按第一列展開，并把每一列的共因子 提出，有提出，有232131122223111()()()nnnnnnnxxxDxxxxxxxxx n n- -1