數(shù)值分析4-埃爾米特插值

1、埃爾米特插值問題問題描述多項式插值余項的表示形式多項式插值余項的表示形式從中我們可以發(fā)現(xiàn)多項式插值結(jié)果的余項組成規(guī)律：從中我們可以發(fā)現(xiàn)多項式插值結(jié)果的余項組成規(guī)律：如果已知條件有如果已知條件有n個，則在余項中分母為個，則在余項中分母為n!；相應(yīng)的，分子上的導(dǎo)數(shù)階數(shù)也是相應(yīng)的，分子上的導(dǎo)數(shù)階數(shù)也是n；1ki)x-x0（則則在在后后面面的的因因式式中中存存在在階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值階階直直到到的的從從如如果果條條件件中中出出現(xiàn)現(xiàn)某某點點kxi題題2 求作次求作次數(shù)數(shù)22的多項式的多項式p(x),p(x),使?jié)M足插值條件使?jié)M足插值條件0)0(,2)1(, 1)0(ppp解解 求解這個簡單問題可直接由待

2、定系數(shù)法。求解這個簡單問題可直接由待定系數(shù)法。 令所求的插值多項式令所求的插值多項式 2210)(xaxaaxpxaaxp212)(依所給插值條件可列出方程依所給插值條件可列出方程0)0(1ap1)0(0ap210)1(2aaap由此解出由此解出 1.0,1210aaa故有故有21)(xxp題題8 求作次數(shù)求作次數(shù)55的多項式的多項式p(x),p(x),使?jié)M足下列插值條件：使?jié)M足下列插值條件： ixiyiyiy012212-2-1 -10 解解 以泰勒公式，滿足條件以泰勒公式，滿足條件10)0(, 2)0(, 2)0(qqq的插值多項式的插值多項式 225)(2xxxq令令)(225)(232

3、cbxaxxxxxp)2()(3210)(322baxxcbxaxxxxp用剩下的插值條件列出方程用剩下的插值條件列出方程 )(5) 1 (1cbap)2()(312)1 (1bacbap)24(822)2(2cbap由此解出由此解出 17,15,4cba于是所求插值多項式于是所求插值多項式 22517154)(2345xxxxxxp各種插值方法的總結(jié)n待定系數(shù)法待定系數(shù)法 n基函數(shù)法基函數(shù)法n承襲法承襲法)()()(1xcwxpxpnnn承襲性公式的證明cnnxpxpxpnxcwxpxpxwnnxpnnnnnnnn個個條條件件來來確確定定系系數(shù)數(shù)因因此此，可可以以利利用用最最后后一一個個因因

4、為為已已知知條條件件共共有有個個條條件件滿滿足足這這已已知知的的即即個個條條件件下下：則則在在這這又又因因為為：的的值值為為個個條條件件下下則則：在在這這個個條條件件滿滿足足已已知知的的假假設(shè)設(shè)：21)()()(1)()()(0)(11)(111當剩余的條件多于一個時，應(yīng)該如何處理當剩余的條件多于一個時，應(yīng)該如何處理？把常數(shù)把常數(shù)c改為一個多項式，此多項式采用改為一個多項式，此多項式采用待定系數(shù)法的形式。待定系數(shù)法的形式。多項式的次數(shù)如何確定多項式的次數(shù)如何確定？剩余條件個數(shù)剩余條件個數(shù)-1問題：分段低次插值分段低次插值例：例：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211)(xxf

5、),., 0(105niinxi -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端點附近抖動端點附近抖動越大，稱為越大，稱為Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象Ln(x) f (x) 分段線性插值分段線性插值在每個區(qū)間在每個區(qū)間 上，用上，用1階多項式階多項式 (直線直線) 逼近逼近 f (x):,1 iixx11111)()( iiiiiiiiyxxxxyxxxxxPxf, 1 iixxx記記 ，易證：當，易證：當 時，時，|max1iixxh 0h)()(1xfxPh一致一致yxoy= f(x)y=p(x)失去了原函數(shù)的光滑性。失去了原函數(shù)的光滑性。分段線性插值的余項 xfhxxxfxxxxfxsxfxsxfiiiiiiiixxxiijxxxiiixxxxxx 1111max82!2max)(!2max)()(max)()(22111分段分段Hermite插值插值給定給定nnnyyyyxx ,.,;,.,;,.,00