理論力學(xué)10彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算

1、第十章 彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算10-1 彎曲內(nèi)力剪力和彎矩一、概述2彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算車削工件3彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算火車輪軸4彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算吊車梁直桿在與其軸線垂直的外力作用下，軸線成曲線形狀的變形稱為彎曲。以彎曲變形為主的桿件稱為梁。5彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算平面彎曲MZ截面特征：桿具有縱向?qū)ΨQ面，橫截面有對(duì)稱軸（y軸）受力特點(diǎn)：外力都作用在對(duì)稱面內(nèi)，力垂直于桿軸線變形特點(diǎn)：彎曲變形后軸線變成對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線6彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算梁的基本形式Fq( x)Mx簡(jiǎn)支梁Fq( x)Mx外伸梁Fq( x)Mx懸臂梁7彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算火車輪軸

2、簡(jiǎn)化為外伸梁8彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算二、剪力與彎矩截面法求內(nèi)力Fy=0cRA P Q = 01M= 0 M + P ( x a ) RA x = 01Q = RA P1剪力M = RA x P ( x a ) 彎矩19彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算剪力符號(hào)規(guī)定：當(dāng)剪力使微段梁繞微段內(nèi)任一點(diǎn)沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)為正，反之為負(fù)。彎矩符號(hào)規(guī)定：彎矩使微段梁凹向上為正，反之為負(fù)。10彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算思考：梁的內(nèi)力符號(hào)是否和坐標(biāo)系有關(guān)？答：無(wú)關(guān)。如圖所示連續(xù)梁，和部分的內(nèi)力情況如何？A00EBCF P DX C = P cos 答：軸力不為零，剪力和彎矩為零。11例1如圖所示為受集中力及均布載荷作用的外伸

3、梁，試求-，-截面上的剪力和彎矩。解1、支座約束力、支座約束力MMB=0 +RA 4 P 2 q 2 1 = 0A=0P 2 RB 4 + q 2 5 = 0RA = 1.5kN , RB = 7.5kN12例12、計(jì)算內(nèi)力、計(jì)算內(nèi)力F = 0 MC = 0y1RA Q1 = 0RA 1 M 1 = 0M 1 = 1.5kN mQ1 = 1.5kNFx=0C2Q2 q 1 = 0M= 0 M 2 + q 1 0.5 = 0Q2 = 2kNM 2 = 1kN m13彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算三、剪力與彎矩方程 剪力圖和彎矩圖 設(shè)x表示橫截面的位置，則梁各截面上的剪力和彎矩可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)Q

4、= Q(x)-剪力方程剪力方程M = M (x)-彎矩方程彎矩方程 梁的剪力和彎矩隨截面位置的變化關(guān)系，常用圖形來(lái)表示，這種圖形稱為剪力圖和彎矩圖。14例2 如圖所示為一受集中力作用的簡(jiǎn)支梁。設(shè)P、l及a均為已知，試列出剪力方程和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。解 1、求支座約束力、求支座約束力 laRA = P l aRB = P l2、列剪力方程和彎矩方程、列剪力方程和彎矩方程AC段段 laQ ( x1 ) = RA = P l(0 x1 a )M ( x1 ) laM ( x1 ) = RA x1 =Px1 (0 x1 a ) lQ( x1 )15例BC段段2 aQ ( x2 ) = R

5、B = P l(a x2 l )Q ( x2 )RB aM ( x2 ) = RB (l x2 ) = P (l x2 ) l(a x2 l )3、畫剪力圖和彎矩圖、畫剪力圖和彎矩圖la P lM ( x2 )a (l a ) P la Pl16例3 m懸臂梁受集中力和集中力偶作用，已知：P，l， = 3Pl 2試?yán)L剪力圖和彎矩圖。解 1、求支座約束力、求支座約束力 Fy = 0RA P = 0 3Pl Pl mA = 0 MA = 0 2 Pl RA = P m A = 22、確定剪力、彎矩方程、確定剪力、彎矩方程AC段段 l (0 x1 )Q( x1 ) = RA = P 2 l Pl (

6、0 x1 )M ( x1 ) = RA x1 + mA = Px 1 + 2217例CB段段3Q( x2 ) = P l( x2 l ) 2M ( x2 ) = P (l x2 ) l( x2 l ) 23、畫剪力圖和彎矩圖、畫剪力圖和彎矩圖18例4如圖所示簡(jiǎn)支梁，已知q，l。試畫出剪力圖和彎矩圖。解 1、求支座約束力、求支座約束力 qlRA = RB = 22、確定剪力方程和彎矩方程、確定剪力方程和彎矩方程 qlQ ( x) = qx 2(0 x 2 33 d (15 10 ) 3232 不滿足強(qiáng)度要求3 59例9 如圖所示一鑄鐵制成的梁。已知截面圖形對(duì)形心軸的慣 74性矩 I z = 4.

7、5 10 mm ， 1 = 50mm ，y2 = 140mm 。材料許用 y拉應(yīng)力及許用壓應(yīng)力分別為 t = 30MPa ， c = 140MPa 。試按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核強(qiáng)度。60例解9由彎矩圖可知B，C截面的彎矩符號(hào)不同，截面上的中性軸為非對(duì)稱軸，且材料的拉壓許用應(yīng)力不同故B，C截面都可能是危險(xiǎn)截面。B截面截面 Bt MB 20 10 3= 50 10 = 22.2MPay1 = 3 47 4.5 10 (10 ) IZ3 BcBC MB 20 10 3y2 = 140 10 = 62.2 MPa 3 47 IZ 4.5 10 (10 )361例C截面截面 Ct9 MC 10 10 3=

8、140 10 = 31.1MPay2 = 3 47 4.5 10 (10 ) IZ3最大拉應(yīng)力在C截面上，最大壓應(yīng)力在B截面上。 c max t 雖最大拉應(yīng)力大于許用拉應(yīng)力，但未超過(guò)5%，故可認(rèn)為滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。62例10 如圖所示外伸梁受均布載荷作用。已知： = 160 MPa， = 80MPa 。試選擇工字鋼型號(hào)。解 繪制剪力圖彎矩圖Q max = 58kNM max = 44.1kN mWz M max = 276cm363例10在型鋼表中查得工字鋼的 Wz = 309cm 故選之。3 因工字形鋼為薄壁截面，須進(jìn)行彎曲切應(yīng)力校核。由 *型鋼表查得 I z / S z = 18.9cm

9、 ， d = 7.5mm ，則 max Qmax= = 40.9MPa Iz d * Sz可以選用工字鋼。64彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算提高粱彎曲強(qiáng)度的主要措施設(shè)計(jì)梁的主要依據(jù)為彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 max M= ( ) max Wz提高粱的強(qiáng)度，從以下四個(gè)方面考慮： 合理地安排梁的支座和載荷； 采用合理的截面形狀； 采用等強(qiáng)度梁 合理地使用材料65彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算一、合理地安排梁的支座和載荷合理安排支座和載荷，以降低最大彎矩。M max 1 2= ql 8M max 1 2=ql 4066彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算分散載荷輔助梁M max 1= Pl 4M max 1= Pl 867彎曲的

10、應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算二、采用合理的截面形狀 彎曲截面系數(shù) Wz 不僅與截面尺寸有關(guān)，還與截面形狀有關(guān)。為了減少材料的消耗，減少自重，應(yīng)取 Wz / A較大的截面形狀。68彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算從正應(yīng)力分布角度分析 梁橫截面上的正應(yīng)力是按線性分布的，靠中性軸越近應(yīng)力越小。工字形截面有較多面積分布在離中性軸較遠(yuǎn)處，作用著較大的面積，而矩形截面梁在中性軸附近分布較多承擔(dān)較小應(yīng)力的面積。因此，當(dāng)兩種截面的最大應(yīng)力相等時(shí)，工字形截面形成的彎矩較大，抗彎能力較強(qiáng)。69彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算 對(duì)于抗拉、壓強(qiáng)度不等的材料，應(yīng)使截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到，對(duì)于這種情況宜采用中性軸為非對(duì)稱軸的截面7

11、0彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算注意截面的合理放置 bhWz 6 = 0.167 h=Abh2 hbWz 6 = 0.167b=Abh712彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算 上述梁的合理截面形狀是由滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件出發(fā)，僅由減少材料消耗、減輕自重的角度考慮。工程實(shí)際中選用合理的截面，還必須綜合考慮是否滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件、剛度條件和穩(wěn)定性等條件，是否滿足結(jié)構(gòu)和使用上的要求以及工藝、管理等方面的因素，才能最后決定。72彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算三、采用等強(qiáng)度梁 橫力彎曲時(shí)，梁的彎矩是隨截面位置變化的，若設(shè)計(jì)成等截面梁，則除最大彎矩所在的截面以外，其他各截面的正應(yīng)力均未達(dá)到許用應(yīng)力值，材料強(qiáng)度得不到充分發(fā)揮。

12、為了減少材料消耗，減輕自重，可把梁制成橫截面隨截面位置變化的變截面梁。變截面梁若截面變化比較緩慢，彎曲正應(yīng)力公式仍可適用。當(dāng)變截面梁各橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力相等，且等于許用應(yīng)力，即 max M ( x)= Wz ( x)這種梁稱為等強(qiáng)度梁。 M ( x)Wz ( x) = 等強(qiáng)度梁截面的變化規(guī)律73彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算等高度矩形截面等強(qiáng)度梁h 為常量 b( x ) hW ( x) = 6 PM ( x) = x 22 3Pb( x ) = 2 x h l(0 x ) 2按上述設(shè)計(jì)左右兩端點(diǎn)處。從切應(yīng)力強(qiáng)度條件考慮 max P 3 Qmax 3 2= 2 A2 bmin hbmin 3P=

13、 4h 74彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算四、合理地使用材料 不同材料的力學(xué)性能是不同的，應(yīng)盡量利用每一種材料的長(zhǎng)處。例： 可將兩種以上的材料按一定規(guī)律復(fù)合后，形成一種新的更好的新材料。 混凝土的抗壓性能遠(yuǎn)高于抗拉性能，在用它制造梁時(shí)，可在梁的受拉區(qū)域放置鋼筋，組成鋼筋混凝土梁。在這種梁中，鋼筋承受拉力，混凝土承受壓力。 夾層梁表層用高強(qiáng)度材料，芯子用輕質(zhì)低強(qiáng)度的填充材料，這種梁既能降低自重，又能有足夠的強(qiáng)度和剛度。75彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算思考：鑄鐵字形截面梁的許用拉應(yīng)力為50MPa ，許用壓應(yīng)力為200MPa。則上下邊緣距中性軸的合理比值是多少？Py1y2答：y1 / y2 = 4 : 176彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算本章小結(jié) 彎曲梁內(nèi)力計(jì)算截面法求剪力和彎矩，剪力方程和彎矩方程的建立，剪力圖和彎矩圖的畫法。 載荷集度、剪力、彎矩間的微分關(guān)系及其在畫剪力圖和彎矩圖中的應(yīng)用dM ( x) = Q( x) dxd M ( x) = q( x) 2 dx2用疊加法作剪力圖和彎矩圖77彎曲的應(yīng)力分析和強(qiáng)度計(jì)算純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力 M = EI xz1 M=y IZ max M= WZ矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力 QS= I zb*z max 3Q= 1.5 平均 2 bh梁彎曲時(shí)正應(yīng)力強(qiáng)度條件 max M= ( )