矩陣行列式復(fù)習(xí)總結(jié)

1、矩陣矩陣1. 矩陣的定義矩陣的定義一些特殊的矩陣：一些特殊的矩陣：零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、對角陣、數(shù)量陣、單位陣對角陣、數(shù)量陣、單位陣2. 矩陣的基本運算矩陣的基本運算矩陣相等矩陣相等: :同型矩陣：同型矩陣：兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等矩陣加（減）法、數(shù)與矩陣相乘矩陣加（減）法、數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘：矩陣與矩陣相乘：乘法滿足乘法滿足);()(BCACAB );(),()()(為數(shù)為數(shù)其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA 矩陣乘法不滿足：

2、矩陣乘法不滿足：交換律、消去律交換律、消去律0,0,0ABBAABACBCABAB推不出：可能有： A是是n 階方陣，階方陣， 個個kkAAAA 方陣的冪：方陣的冪：方陣的多項式：方陣的多項式：0111)(axaxaxaxfkkkk 0111)(aAaAaAaAfkkkk Emkm kA AA kmmkAA 并且并且（m,k為正整數(shù)）為正整數(shù)）方陣的行列式：方陣的行列式：基本計算方法基本計算方法滿足滿足: : ;1AAT ;2AAn BAAB 3轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣: : 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .

3、 . AAA滿足：滿足： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 對稱矩陣和反對稱矩陣：對稱矩陣和反對稱矩陣：AAA ATTAA 是反對稱矩陣是反對稱矩陣是對稱矩陣是對稱矩陣3. 逆矩陣逆矩陣定義：定義：A為為n階方陣，若存在階方陣，若存在n階方陣階方陣,使得使得ABBAE則稱矩陣則稱矩陣A是是可逆的（非奇異的、非退化的、滿秩的）可逆的（非奇異的、非退化的、滿秩的）矩陣矩陣B稱為矩陣稱為矩陣A的逆矩陣。的逆矩陣。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的的逆矩陣是唯一的.判定定理判定定理:n階方陣階方陣A可逆可逆0A11AAA 且且推論：

4、推論：設(shè)設(shè)A、B為同階方陣，若為同階方陣，若,ABE 則則A、B都可逆，且都可逆，且11ABBA，111(1),()AAAA可逆可逆且可逆可逆且111(2),0,()AkkAkAAk可逆可逆且可逆可逆且11(4),()()TTTAAAA可逆可逆且可逆可逆且11(5) AAA可逆可逆11(6), ()()AAAA 可逆可逆可逆可逆可逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣的性質(zhì)(3),A B111,()ABABB A可逆 且可逆 且同階可逆同階可逆1AAA A可逆可逆可逆可逆AAAEAAA1)()(1111 AAA1)(1 )()(11AA )()(11AA證明：證明：11, ()()AAAA 可可逆逆可可逆逆逆矩

5、陣求法：逆矩陣求法： （1）伴隨矩陣法）伴隨矩陣法（2）推論法）推論法（3）初等變換法）初等變換法分分塊塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相類似矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相類似4. 分塊矩陣分塊矩陣5. 5. 初等變換初等變換對換變換、倍乘變換、倍加變換對換變換、倍乘變換、倍加變換三種三種初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換初等變換矩陣的等價：矩陣的等價：如果矩陣如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣就稱矩陣A與矩陣與矩陣B等價。等價。初等矩陣：初等矩陣： 由單位矩陣由單位矩陣E E經(jīng)過一次初

6、等變換得到的方陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣 稱為初等矩陣稱為初等矩陣. . 定理：定理：左乘變行，右乘變列左乘變行，右乘變列AXB 解矩陣方程的初等變換法解矩陣方程的初等變換法(A、B可逆可逆)(BA)(1BAE 初初等等行行變變換換BAX1 矩陣方程矩陣方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 伴隨矩陣：伴隨矩陣： nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.EAAAAA |,.|AAA AAAA110(|).|(AAAAA 110| |.nAA1()()TTAA1、定義（項數(shù)、乘積項、符號）、定義（項數(shù)、乘積項、符號）2、結(jié)論：上（下）三角行列式的值

7、、結(jié)論：上（下）三角行列式的值=對角線上元素之積對角線上元素之積3、性質(zhì)、性質(zhì)4、特殊關(guān)系式、特殊關(guān)系式是數(shù)，則階方陣是設(shè)knBA,AAAkkAnn1,1,121*1nAAAABABCABAAB0,3n階方陣的行列式階方陣的行列式5、展開定理、展開定理 則的代數(shù)余子式是設(shè),ijijnnijaAaAjijiAAaAaAajijiAAaAaAanjnijijijinjiji當當當當,0,0221122211設(shè)設(shè)A為為3階方陣階方陣, , ,21 A求求 AA5)2(11121 AAAA1111225215)2( AAAAA161)2(3 A解：解：例例1 2 設(shè)A、B都是n階方陣，并且AB=0，則

8、 00000,0a ABb BAcABdAB或或可逆時 0,0eAB如果則 FFTTT 3 3 設(shè)設(shè) A、B 都是都是 n 階方陣，則階方陣，則 2222)(BABABAa e成立時當,BAAB ABBAn1A當 是奇數(shù)階的時候成立成立時當,BAAB BAABBAAB ABBAb 1:, 1AthenAIfc )(22BABABAd BAABe4.,32,1,A BAB設(shè)都是 階方陣，如果 計算*2 BAABABAAAA計算設(shè),3321321解解 1*352A 3221,3ABAABA3221,4ABAA12124,4321321ABAAAA *1,41AA計算 114141AA413A*13

9、,128141AA 410010501 ,00AA、設(shè)求 0001000100100100102BOB 0100100001003BEA 010010 5nnnnnnnnBACBACBACBA01100)( nnnnnnnnnCCC 000112211當當A與與B可交換時，有下面二項展開式可交換時，有下面二項展開式稱為稱為純量矩陣純量矩陣，它與任何方陣可交換。，它與任何方陣可交換。E 0000000002211nnnnnnnCnn 222110)()()()(BECBECECBEAnnnnnnnn 設(shè)分塊矩陣設(shè)分塊矩陣 ，其中，其中A是是m階方陣，階方陣，B是是 BCOAMn階方陣，證明階方陣

10、，證明 。BAM 設(shè)設(shè) ,1111mmmmaaaaA,1111nnnnbbbbBnnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaM1111111111110備用題備用題證明證明mmmmmmmmmpppppaaaaA111111111nnnnnnnnnqqqqqbbbbB1111111110對對 作作ri+krj 類型的變換將其化為下三角行列式，設(shè)為類型的變換將其化為下三角行列式，設(shè)為A對對 作作ci+kcj 類型的變換將其化為下三角行列式，設(shè)為類型的變換將其化為下三角行列式，設(shè)為B于是，對于是，對 的前的前m行作與行作與 相同類型的變換相同類型的變換ri+krj ，再對后，再對后n列列作與作與

11、 相同類型的變換相同類型的變換ci+kcj ，化為下三角行列式，化為下三角行列式AMBnnnnmnmmmmqqqccccppp11111111110nnnnnmnmmmmmbbbbccccaaaaM1111111111110)()(1111nnmmqqppMBA所以所以類似地，若類似地，若 BOCAM其中其中A是是m階方陣，階方陣，B是是n階方陣，階方陣， 則則.BAM 分別計算下面兩個行列式分別計算下面兩個行列式 13001200003100211D555453525145444342413231222112112000000000aaaaaaaaaaaaaaaaD 255513123121

12、1D解解 6000000000000055545345444322211211555453525145444342413231222112112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD| ,100100000001AbbaaA思考：|21AAnmBCOAF|BABCOAFnmCBAOFnm若 | F|) 1(nmnmBA 設(shè)設(shè) A為為n方陣方陣, , 證明證明 證明：證明：00)1( AA1)2( nAA(1)(1)如果如果A= =O, , 則結(jié)論顯然成立則結(jié)論顯然成立. .1)( A得得A=O , ,矛盾。矛盾。(2)(2) 如果如果 , 由由(1)(1)結(jié)論成立。如果結(jié)論成立

13、。如果 , ,0 A0 A1 nnAAAAAEAAA如果如果AO, ,反證法反證法兩邊右乘兩邊右乘OEAAA 0 A A假設(shè)假設(shè), ,則則可逆可逆, ,由由 7BAE )2 , 1(1* BBB11)2 , 1( EAA)2 , 1(*EA 交換交換A的第的第1行與第行與第2設(shè)設(shè)A為為n階可逆矩陣階可逆矩陣)2(n 行得到矩陣行得到矩陣B，則（），則（）* )(BAA的第一列與第二列得到的第一列與第二列得到交換交換* )(BAB的第一行與第二行得到的第一行與第二行得到交換交換* )(BAC 的第一列與第二列得到的第一列與第二列得到交換交換* )(BAD 的第一行與第二行得到的第一行與第二行得到

14、交換交換 8-29-(),()i jm ni jn lAaBb 1 11ABn 將將 分分成成塊塊， 分分成成塊塊， 121,nnABABABAB 0AB 如如果果0,1,2,kABkl 0kBBAX 的的每每一一列列都都是是齊齊次次線線性性方方程程組組的的解解,證明證明AB=0的充分必要條件的充分必要條件是是B的每一列都是齊次線性方程組的每一列都是齊次線性方程組AX=0的解的解.證證 9 TnTTTAA 21),(21n OnTnTT 2211.),(OAniiiTi2100 10證明：證明：思考思考: : AAT = O 如何如何? ?.OAOAAT ，證明證明設(shè)設(shè)則則設(shè)設(shè), ),(21nA -31-設(shè)方陣設(shè)方陣B為為冪等矩陣冪等矩陣，2BB （即（即 ，從而對