用初等變換求矩陣的秩

1、復習1、2、用初等變換求矩陣的秩設12212480,24233606A=12.34b 求R(A)和R(Ab).初等變換l一、線性方程組解的存在性 定理定理2 n元齊次線性方程組 Amnx = 0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩 R(A) n. 證明證明：先證必要條件設方程組x有非零解.（用反證法）假設（）n，則在中應有一個 n 階非零子式n，從而n所對應的 n個方程只有零解（根據(jù)ramer法則）.這與方程組有非零解相矛盾.因此（）n不能成立.故有（）n 再證充分性.設（）rn，則的行階梯形矩陣只含有r個非零行，從而知其有nr個自由未知量.任取一個自由未知量為 1 ，其余的未知量都為零，即可

2、得到方程組的一個非零解. 定理定理n元非齊次方程組x有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣（，）的秩. 證明證明 必要性.設方程組x有解，要證R(A) = R(B).（反證法）設R(A) R(B), 則 B的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應矛盾方程 0 = 1，這與方程組有解矛盾.因此R(A) = R(B). 充分性.證明方程組有解.設R(A) = R(B) = r (rn) ,把B化為行階梯形矩陣，則 B 的行階梯形矩陣中含 r 個非零行. 把這 r個非零行的第 一個非零元素所對應的未知量作為非自由的未知量，其余 n r 個作為自由未知量，并令 n r 個自由未知量全取零.即可得方

3、程組的一個解. 注意注意：1）當 R(A) = R(B) = n 時，方程組沒有自由未知量，故只有唯一解. 2）當 R(A) = R(B) = r n時，方程組有 n r 個自由未知量，故有無窮多解.l 1) Ax = 0l 只要把它的系數(shù)矩陣化為行的最簡形矩陣，把以行l(wèi)最簡形矩陣中非零行的第一個非零元 1為系數(shù)的未知數(shù)留在等號左端，其余的移到等號的右端，再表示成通解. 2）Ax = b 只要把它的增廣矩陣化成行階梯形矩陣，由定理 3，判斷它是否有解；若有解，則對增廣矩陣進一步化成行最簡形矩陣.把行最簡形矩陣中非零行第一個非零元素 1為系數(shù)的未知數(shù)留在等號左端，其余均移到等號右端.再表示成通解

4、.二、二、線性方程組的解法0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 解解 對系數(shù)矩陣A施以初等行變換為行最簡形矩陣：341122121221A463046301221000034210122100003421035201即得到與原方程組的同解方程組03420352432431xxxxxx即432431342352xxxxxxx3 ,x4 可以任意取值.令x3 = k1 , x4 = k2 , 把它寫成參數(shù)形式1122123142523423x kkxkkx kx k 其中 k1 , k2 , 為任意實數(shù).其解亦可表為向量形式2121214321342352kkkkk

5、kxxxx103435012221kk32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx解解 對增廣矩陣B實施行的初等變換322122351311321B200001045011321可見，R(A) = 2 , R(B) =3.故方程組無解.12311 0540105401 0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx解解 對增廣矩陣B實施行的初等變換089514431311311B1764017640113110000017640113110000017640441244000001764053604000004147231045432301 顯然

6、， R(A) = R(B) = 24，所以原方程組有無窮多解，且具有下列同解方程組：414723454323432431xxxxxx即414723454323432431xxxxxx故 k1 , k2 為任意常數(shù).1122123142335244371244xkkxkkx kx k 1212123142335244371244kkxxkkxkxk 00414510474301232321kkk1 ,k2 為任意常數(shù).寫成向量形式例例4 設有線性方程組 問 取何值時，此方程組（1）有唯一解？（2）無解？（3）有無窮多個解？并在有無窮多解時，求其通解.321321321)1 (3)1 (0)1 (xxxxxxxxx 解解 對增廣矩陣B =（A | b）實施行的初等變換:11131110111B0111311111101113111111)1 ()2(030111)1)(3()3(0030111 1）當 0 , 且 3時，(A) = R(B) = 3 , 方程組有唯一解; 2) 當 = 0 時 , R(A) = 1 , R(B) = 2 , 方程組無解； 3)當 =3 時, R(A) = R(B)