高中必修五數(shù)學(xué)數(shù)列講義

1、第二章數(shù)列第一節(jié)：數(shù)列及其通項(xiàng)公式一. 數(shù)列的概念1 .數(shù)列的定義：;2. 表示法：;3 .數(shù)列的分類：；4 .通項(xiàng)公式：;5 .遞推公式的概念：;注意：數(shù)列與集合有本質(zhì)的區(qū)別；項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的區(qū)別；an與an的 區(qū)別；不是每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式； an是n的函數(shù)。二. 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1. 根據(jù)數(shù)列的有限項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式 。練習(xí)1. 數(shù)列an 的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式11, 4, 9, 16, ；an =232 4 6.旦3,9,27 1，；3 13 131,一，廠，一，2 3 4 5 6an =an =49, 99, 999, 9999,；an =57, 77, 777, 777

2、7,；an =67, -77, 777, -7777,；an =70.5,0.55,0.555,0.5555,; an =;81. -1, 1, -1,;an =;91, 0, 1, 0, ; an 二;1011, 101, 1001, 10001,;an =111 , 2 ,3 , 4 ,； an =；2345121,4,7,-56,；an =；2 4 8 162 10 17 26 37_13-, 1, , , , , ； an =；3 79 11 132. 數(shù)列 1, 3, 2, 6, 5, 15, 14, x,y,z, 122,中 x,y,z 的值依次是A 42, 41, 123B 13

3、, 39, 123C 24, 23, 123D 28, 27, 1233. 數(shù)列1, 1, 2, 3, 5, 8,；的第7項(xiàng)是14.數(shù)列an中，an一 n為奇數(shù)nn 2n1n為偶數(shù)那么an的前5項(xiàng)是f(x)，設(shè) anf(n)(n N*)x(1)求證：an 1 ；2an 是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么?2. 數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1) 數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn 2n2 n 1,求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式；(2) 數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn 2n2 n ,求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式。注意：1.用數(shù)列的前 n 項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)an的公式是：;2什么時(shí)候運(yùn)用an=Sn-Sn-1求出的公式具有通用性：

4、。練習(xí)： 數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為q ( i)n 注意：1公式表示的是數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的關(guān)系2丨要注意不要無視n=1的情形，這是大家易出錯(cuò)的地方。3. 用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式2,an -anJL(n2,3,4,，那么它的前 5 項(xiàng) an 1 n,那么通項(xiàng)an =;4數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn 3 2n,那么通項(xiàng)an =;5數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn log 1 (1 n),那么通項(xiàng)an =;1數(shù)列an中，6數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為q 土 右 右，那么通項(xiàng)an3數(shù)列an中，滿足ai 2,am4數(shù)列an中，滿足ai 2,am5數(shù)列an中，滿足ai 2,am6數(shù)列an中，滿足ai 2,ama

5、n 2，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式； an n,求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式； 2an，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式； an，求數(shù)列an 的通項(xiàng)公式;n i第二節(jié)：等差數(shù)列一 .i.定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列；這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常 用字母d表示。2通項(xiàng)公式:an ai (n i)d 或 a.am (n m)d3.等差中項(xiàng):a, A,b成等差數(shù)列，A叫a,b的等差中項(xiàng)注：任意兩個(gè)數(shù)都有等差中項(xiàng)A a b24證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法:一般用am an d常數(shù)，而不用其它等價(jià)形式，假設(shè)確實(shí)無法證明an i an d，有時(shí)也可采用證明

6、an i an an an i,(n 2)來完成。5等差數(shù)列的性質(zhì)：id 0，an單增；d 0，an單減；d 0，是常數(shù)列。2等差數(shù)列中任意連續(xù)的三項(xiàng)也成等差數(shù)列，反之亦然。3一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，那么通項(xiàng)公式可寫成 an kn b k,b R)，反之亦一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，那么其前 n項(xiàng)和可寫成Sn An2 Bn A,B R)，反 之亦然。4數(shù)列an是等差數(shù)列，假設(shè)m+n二p+q，那么am a. ap aq5數(shù)列an是等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù) m,p,n成等差數(shù)列，那么am,ap,an也成等差 數(shù)列。6數(shù)列an是等差數(shù)列，那么Sm,S2m Smm S?m仍成等差數(shù)列。二.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn n(a或

7、& nai血衛(wèi)d2 2練習(xí)與應(yīng)用：通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的根本運(yùn)算1. 在等差數(shù)列an中，a5=10,ai2=31,求首項(xiàng)ai與公差d.2. 在等差數(shù)列an中，a2=-5,a6=a4+6,那么 a1 =.3. 在等差數(shù)列an中，a15=8,a2o=2O,那么 a25=.4. 在等差數(shù)列an中，a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通項(xiàng) an.5. 在等差數(shù)列an中，a15=8,a60=20,那么 a75=.Sm,S2m Sm,S3m Szm仍成等差數(shù)列6. 在等差數(shù)列an中，Sio=31O, S20=1220，求Sn與通項(xiàng)an.假設(shè) m+n二p+q，貝S am a. ap a

8、q6.在等差數(shù)列an中，a3+a4+a5+a6+a7=450那么 a2+a8=7. a3,ai5是方程 x2-6x-仁0 的兩個(gè)根，求 a7+a8+a9+aio+aii二.8. 在等差數(shù)列an中，as 2，那么該數(shù)列的前5項(xiàng)和為A10 B16 C20 D329. 在等差數(shù)列an中，Sn表示前n項(xiàng)和，且a2 a* 18 a§，那么S9的值為A18 B60 C54 D2710等差數(shù)列an， S9 18,Sn 240,an 4 30,(n 9)，那么項(xiàng)數(shù)門為 11. 在等差數(shù)列an中，前4項(xiàng)的和為21，后4項(xiàng)的和為67，前n項(xiàng)的和為286,那么項(xiàng)數(shù)n二an中，Sn表示前n項(xiàng)和，且S120,

9、 S130 ,當(dāng)Sn取得最大值時(shí)的n值為A6 B7C12 D不能確定13假設(shè)an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10,a23a24 0 , a23a240 ,那么使前n項(xiàng)和Sn 0成立的最大自然數(shù)n是A48 B47C46 D4514 04年重慶卷.文理9假設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng) 耳0月20。3 a2004。82003&2004 0，那么使前門項(xiàng)和S. 0成立的最大自然數(shù) 門 是：A 4005 B 4006 C 4007 D 400815等差數(shù)列an, bn的前n項(xiàng)和為Sn, Tn，且Sn7n A:丄 B:2 C:1 D: -1，求魚1.Tn4n 27b11n是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，假設(shè)05 5

10、，那么S9的值為a3 9S517.在等差數(shù)列an中，am=n,an二m,且m工n,貝卩am+n二.18等差數(shù)列an , £是其前n項(xiàng)和，對(duì)于不相等的正整數(shù)m,n，有Snm,Sm n ,那么Sm n的值為其奇數(shù)項(xiàng)和、偶數(shù)項(xiàng)和1、假設(shè)等差數(shù)列共有偶數(shù)項(xiàng)2n項(xiàng)S 奇ai a3 a5a2n 1S禺a(chǎn)?a§a?n 貝S S偶S奇奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)各n項(xiàng)：即nd , S偶 S奇 S2nf偶 也1 中S奇an間一對(duì)2、假設(shè)等差數(shù)列共有奇數(shù)項(xiàng)即 S奇a1a5a2n 12n 1項(xiàng)奇數(shù)項(xiàng)比偶數(shù)項(xiàng)多1項(xiàng):a2n 1S偶 a2 a4 a6a2n那么爲(wèi)0禺歸an1為中間項(xiàng)，気務(wù)三fl 項(xiàng)數(shù)之比19.等差

11、數(shù)列an共有2n-1項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為132,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為120,貝卩 n=.20. 如果等差數(shù)列an共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,那么其公差為21. 如果等差數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，a1 1 , an的奇數(shù)項(xiàng)的和是175，偶數(shù)項(xiàng)的和是150,求這個(gè)等差數(shù)列的公差doSn的最值問題22. 等差數(shù)列an中，an=2n-10,那么Sn的最小值時(shí)n=23. 等差數(shù)列an中，an=2n-11,那么Sn的最小值時(shí)n=A : -80B: -76C: -75D : -7425.等差數(shù)列an，Sn是其前n項(xiàng)和，且S5 S6,S6 S7,S7 S8，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是Ad <

12、 0 B a70CS9 S5 DS6與S7均為Sn的最大值.第三節(jié):等比數(shù)列一。等比數(shù)列及其性質(zhì)24.在等差數(shù)列an中，ai256 S*,那么前n項(xiàng)和&的最小值為1。定義:略an 1aq(qo有既是等差又是等比的數(shù)列嗎？2。 通項(xiàng)公式： an aiqn 1 ； a“ amqn m3。等比中項(xiàng)：a,G,b成等比數(shù)列，G叫a,b的等比中項(xiàng)。注：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，但不是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)，只 有兩個(gè)實(shí)數(shù)同號(hào)時(shí)才有等比中項(xiàng)，等差中項(xiàng)只有一個(gè)，但等比中項(xiàng)有兩個(gè)。4。證明數(shù)列是等比數(shù)列的根本方法：an 1n 1 q(q 0)an5。有關(guān)性質(zhì)：1數(shù)列an是等比數(shù)列,假設(shè)m+n=p+q，

13、那么am a. ap aq2正項(xiàng)等比數(shù)列的對(duì)數(shù)列是等差數(shù)列，等差數(shù)列的指數(shù)列是等比數(shù)列。3數(shù)列是等比數(shù)列，那么aia?am,am 1am2a2m,a2m 1 a2m 2a3m成等比數(shù)列嗎？4數(shù)列an是等比數(shù)列，貝卩 匝a(bǔ)m , amQm2a2m , &2皿甩2a3m仍是等 比數(shù)列。練習(xí)與應(yīng)用：1。數(shù)列an是等比數(shù)列，那么在務(wù)看；務(wù)K i； 時(shí)；an2。數(shù)列an是等比數(shù)列，a,討16，求公比q 3。等差數(shù)列a,b,c三項(xiàng)的和為12,且a,b,c+2成等比數(shù)列，求a的值 數(shù)列a.是等比數(shù)列，qaaiag 32，求a§ 數(shù)列佝是等比數(shù)列，a1 9，an 1，q 2，那么這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)

14、數(shù)為833A 3 B 4 C 5 D 6 等比數(shù)列an中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5=()A:5 B:10 C:15D:20；nan；lg an這 6個(gè)數(shù)列中仍成等比數(shù)列的7。等比數(shù)列an, a516, as8, anA : -4B: 士 4 C: -2 D :士 28。等比數(shù)列an,a3a8124, a4 a7512,公比q為整數(shù)，那么a10。9.等比數(shù)列an中，aa230,a3a4 60,那么a5a6A: 90 B: 120C:15D: 8010。等比數(shù)列an中，a9a10a,( a 。羽伯a(chǎn)20b,那么 a99a100 A:B: (b)9C:b

15、109D: (b)10aaaa11。 an是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，9，貝S log3 ai log 3 a2log3 aio =A: 12 B: 10 C: 8 D: 2 log3512. 數(shù)列an是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)bn log2an,求證數(shù)列bn 是等差數(shù)列。13。等比數(shù)列an的a3 16，且a& 弘 265，求an的通項(xiàng)公式.14。各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，假設(shè)a4 a710，那么lg a1 lg a2lg a10 ；15 . an為等比數(shù)列,1q 2、S9977 ,求 a3 a6a992前n項(xiàng)的和為Sn 48、前2n項(xiàng)之和S?.60 ,求Ssn等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。S

16、na1a?anai(1 qn) a a.q1 qnaq 1)(q 1)1.等比數(shù)列an中,a6a4216,a3a18 , &40 ,求 q 和 n。2.等比數(shù)列an中,a34,S312 ,3.等比數(shù)列an中,Sn49 ,S2n112 ,那么 S：3n =4.等比數(shù)列an中,a11、an512、S341,求 q。5. 求數(shù)列1,3,9,27、3n1,啲前n項(xiàng)和。6. 求 1,a2 1,(a2 1)2，,(a2 1)n 1，的前 n 項(xiàng)和7.求 21,24y y2n求前2k項(xiàng)的和8.求1,a,a2,an 1,的前n項(xiàng)和9. 等比數(shù)列an,前n項(xiàng)和為48,前2n項(xiàng)和為60,前3n項(xiàng)的和為()

17、A:183B:108C:75D:6310. an成等差數(shù)列，ai,as,ai3成等比數(shù)列，貝卩該等比數(shù)列的公比為111A:1B: 2 C:丄D:124311. an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，q 1,bi 0( i 12, ,n)，假設(shè)a1 b ,an bn，那么A: a6 b6 B: a6C: a6 D: a6或 a612. x,a1,a2,y成等差數(shù)列，x,b1,b2,y成等比數(shù)列，那么 亙旦上的取值范圍是b1b2A: 4, ) B:0, 4C: (,0 4, ) D: ( ,0) 4,)13. 個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍，又它的首項(xiàng)為1 ,且中間兩項(xiàng)的和為24

18、 ,那么此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 A . 12B. 10C . 8D. 6第四節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用一、數(shù)列求和一.公式法1 . 求1, 4, 7, 10,3n-2，的前n項(xiàng)和。242n2. 求數(shù)列一2, .(x-2)+(x2-2)+ + xn-2，求前2k項(xiàng)的和.y y y3. 求 S 1 a a2an二.分項(xiàng)求和1. 求和1+2+ 3+4+ + 2n-1+2n3. (a 1) (a2 2)(an n)(x -) (x2 丄)(xn 丄)y yy5.1 2 2 3 3 4 n(n 1)6.1 3 2 5 n(2n 1)裂項(xiàng)求和Sn1 1122 31n(n 1)1 1133 51(2n1)(2 n 1)3

19、.數(shù)列an成等比數(shù)列，各項(xiàng)都為正數(shù)，且q工1,求證1 1lg a1 lg a2 lg a2 lg a31n 1lg an 1 lg an lg a1 lg a.n(n 1)5.6.7.8.9.1.113 55 7111 44 7111 32 4111 42 5求111 2四.錯(cuò)135213 6222313 5112 3(2n1)(2 n 3)(3n12)(3 n 1)1n(n 2)1n(n 3)、其它2n 12.1 2 2 223 233.32n 14.求和 x 3x2 5x3(2n 1)xn5. 1+2X 3+3x 7+n(2n-1)放縮及其他1. 1222324299210022 2 22

20、數(shù)列箸，假設(shè)，號(hào),的前10項(xiàng)和為A17 B11口55123求和 Sn 111 V2 V2 V3C11 竺D11 竺1321324. 求S 1.3 1./312n 1 2n 15.求值設(shè)f(x)4x4x2，求 f(爲(wèi))f (1999)f(需:6 .求證：1 A；$ 2 223n7.1 n(n 1).二 n(n 1) ® °2 2、n8.2( .n 11)二、用數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式前文已有三、用遞推公式求通項(xiàng)1 .數(shù)列an，滿足，a1=2,an+1=an+2,求an的通項(xiàng)公式。2。 數(shù)列an ，滿足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通項(xiàng)公式。3。 數(shù)列an

21、，滿足，a1=2,an+1=an+2n,求an 的通項(xiàng)公式。4.數(shù)列an,滿足,a1 =2, an+1=an+1n(n 1),求an 的通項(xiàng)公式。點(diǎn)擊：但凡具有an+1 =a n+ f( n)形式都可運(yùn)用此法，其中f(n)表示可求和 的數(shù)列。5. 數(shù)列an ，滿足,a1=2,an=3an-1,n?2求an 的通項(xiàng)公式。6. 數(shù)列an ，滿足，a1=1,an 1 an求an 的通項(xiàng)公式。n 17. 數(shù)列an 滿足，a 1 , 2n 1an a." n N,n 2)，求an 的通項(xiàng)公式。8. 數(shù)列an，滿足，ai=2,an+i=2an+1,求an 的通項(xiàng)公式。9. 數(shù)列an ，滿足，ai

22、=1,an+i=3an+1,求an 的通項(xiàng)公式。點(diǎn)擊：an i kan b型通項(xiàng)公式可用此法。10 . a1 5,an 1 20n n 5，求an 的通項(xiàng)公式。11*.數(shù)列an ai 1,am 2a. 2n，求an的通項(xiàng)公式。12*數(shù)列an a1 1,am 3昂2n ,求an 的通項(xiàng)公式。13*. a1 5,耳1 2an n 5,求an 的通項(xiàng)公式。點(diǎn)擊：a 5,an 1 kan f (n)型通項(xiàng)公式可用此法。遞推公式的變形1. 數(shù)列an ，滿足，a1=2，an1 2a.咼 務(wù)0,求an 的通項(xiàng)公式。2. 數(shù)列an ，滿足，a1=1,am -5乩 求an 的通項(xiàng)公式。5 an3. 項(xiàng)為1的正項(xiàng)

23、數(shù)列，(n 1)a；1 na； a. & 0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。四. Sn與an的相互轉(zhuǎn)化2SnSm, (n 2) , 1問數(shù)列 是否為等Sn1數(shù)列an滿足，印1,an差數(shù)列。2求Sn和an.2.數(shù)列an滿足，Sn 2an n,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式3.數(shù)列an，滿足log2(1 Sn)n 1,求通項(xiàng)an.1 ,4.數(shù)列an滿足，Si4，當(dāng) n 2 時(shí)，an. Sn 1 ),求 Sn 和 an.5.正數(shù)數(shù)列an, 2.S；an 1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式6.05,山東數(shù)列an, Q 5，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn 1 2Sn n 5(n N* ),1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2求a1 2a2 3a

24、3nan幾個(gè)必須熟練掌握的綜合題目1. 數(shù)列an是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn且ai a? a? 3; a? a? 8 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 2設(shè)數(shù)列bn滿足，bn丄，求數(shù)列g(shù)的前n和SnTn.2. 05濟(jì)南2模數(shù)列an的前n項(xiàng)和 $是n的二次函數(shù)，且a2 ,a? 2,6 an.求Sn和an.3. 數(shù)列an滿足，a1 2a2 3a3nan n(n 1)( n 2)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4. 數(shù)列數(shù)列an，滿足ai 1，當(dāng)n 2時(shí)，aas a. n2，求數(shù)列an的通項(xiàng) 公式。5.設(shè)函數(shù)f(X) X ，數(shù)列an中，ai 1 ,n 2時(shí)，前n項(xiàng)和Sn滿足Sn f(Sni)2x 1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；2設(shè)bn 旦，求bn的前n項(xiàng)和Tn。2n 16點(diǎn)列Pn(an,bn)(n N )在直線L : y 2x 1上，且R為L與y軸的交