高數(shù)B1-3章10節(jié) 《定積分的近似計(jì)算》 課件

1、11第十節(jié)第十節(jié) 定積分的近似計(jì)算定積分的近似計(jì)算一、問題的提出一、問題的提出二、矩形矩形法三、梯形法三、梯形法四、拋物線法四、拋物線法22計(jì)算定積分的方法：計(jì)算定積分的方法：(1) 求原函數(shù)；求原函數(shù)；問題：問題：(1) 被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示；被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示；(2) 被積函數(shù)難于用公式表示，而是用圖形或被積函數(shù)難于用公式表示，而是用圖形或 表格給出的；表格給出的；(3) 被積函數(shù)雖然能用公式表示，但計(jì)算其原被積函數(shù)雖然能用公式表示，但計(jì)算其原 函數(shù)很困難函數(shù)很困難(2) 利用牛頓利用牛頓萊布尼茨公式得結(jié)果萊布尼茨公式得結(jié)果一、問題的提出一、問題的提出33解決

2、辦法：解決辦法：建立定積分的近似計(jì)算方法建立定積分的近似計(jì)算方法常用方法：常用方法：矩形法、梯形法、拋物線法矩形法、梯形法、拋物線法思路：思路：分分的的近近似似值值面面積積，就就得得到到所所給給定定積積出出相相應(yīng)應(yīng)的的曲曲邊邊梯梯形形的的的的面面積積，只只要要近近似似地地算算在在數(shù)數(shù)值值上上表表示示曲曲邊邊梯梯形形)0)()( xfdxxfba44窄矩形的高，如圖窄矩形的高，如圖作為作為值值取小區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)取小區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)等分，等分，將區(qū)間將區(qū)間用分點(diǎn)用分點(diǎn)),.,1 , 0(,.,10niynbabxxxain oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny)1

3、()(1111 niiniibaynabxydxxf則有則有二、矩形矩形法55的高，如圖的高，如圖作為窄矩形作為窄矩形取右端點(diǎn)的函數(shù)值取右端點(diǎn)的函數(shù)值),.,2 , 1(niyi )2()(11 niiniibaynabxydxxf稱稱為為矩矩形形法法公公式式、 )2()1(oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 0y1y1 nyny則有則有66梯形法就是在每個(gè)小區(qū)梯形法就是在每個(gè)小區(qū)間上，以窄梯形的面積間上，以窄梯形的面積近似代替窄曲邊梯形的近似代替窄曲邊梯形的面積，如圖面積，如圖oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y)3()(21)(21)(21)(2

4、1)(121012110 nnnnbayyyyynabxyyxyyxyydxxf三、梯形法三、梯形法77例例1的的近近似似值值積積分分用用矩矩形形法法和和梯梯形形法法計(jì)計(jì)算算 102dxex解解,ix設(shè)分點(diǎn)為設(shè)分點(diǎn)為把區(qū)間十等分把區(qū)間十等分相應(yīng)的函數(shù)值為相應(yīng)的函數(shù)值為)10, 1 , 0(2 ieyixi)10, 1 , 0( iiixiy01234501 . 02 . 03 . 04 . 05 . 000000. 199005. 096079. 091393. 085214. 077880. 0列表列表: :88iixiy10678916 . 07 . 08 . 09 . 069768. 0

5、61263. 052729. 044486. 036788. 0利用矩形法公式利用矩形法公式公式公式(2)，得得1001)(910102 yyydxex.77782. 0 利用矩形法公式利用矩形法公式(2)，得得1001)(1021102 yyydxex.71461. 0 99利用梯形法公式利用梯形法公式(3) ，得得)(211001921100102yyyyydxex 實(shí)際上是前面兩值的平均值，實(shí)際上是前面兩值的平均值，)71461. 077782. 0(21102 dxex.74621. 0 1010的近似值的近似值線弧，從而得到定積分線弧，從而得到定積分曲曲段弧來近似代替原來的段弧來近似

6、代替原來的軸的二次拋物線上的一軸的二次拋物線上的一行于行于許多小段，用對稱軸平許多小段，用對稱軸平拋物線法是將曲線分為拋物線法是將曲線分為y), 2 , 1 , 0().(),(,.,10nixfyyxMnbxxxaiiiiinL 點(diǎn)為點(diǎn)為這些分點(diǎn)對應(yīng)曲線上的這些分點(diǎn)對應(yīng)曲線上的（偶數(shù)）等分，（偶數(shù)）等分，把區(qū)間分成把區(qū)間分成用分點(diǎn)用分點(diǎn)oxy)(xfy 0 xa 1x1 nxbxn 1y1 nyny0y2y四、拋物線法四、拋物線法1111因?yàn)榻?jīng)過三個(gè)不同的點(diǎn)可以唯一確定一拋物線因?yàn)榻?jīng)過三個(gè)不同的點(diǎn)可以唯一確定一拋物線, ,., ,212432210nnniMMMMMMMMMnM L組組互互相

7、相銜銜接接的的分分成成故故可可將將這這些些曲曲線線上上的的點(diǎn)點(diǎn).,)2, 2 , 1(,22122222221222線線弧弧近近似似代代替替曲曲的的二二次次拋拋物物線線用用經(jīng)經(jīng)過過點(diǎn)點(diǎn)上上應(yīng)應(yīng)的的子子區(qū)區(qū)間間所所對對在在每每組組rqxpxyMMMxxnkMMMkkkkkkkk L1212邊梯形的面積邊梯形的面積為曲邊的曲為曲邊的曲的拋物線的拋物線上過三點(diǎn)上過三點(diǎn)計(jì)算在計(jì)算在rqxpxyyhMyMyhMhh 2221100),(), 0(),(,可可由由下下列列方方程程組組確確定定：拋拋物物線線方方程程中中的的rqp, .,22120rqhphyryrqhphy.222102yyyph 由此得由

8、此得1313于是所求面積為于是所求面積為 hhdxrqxpxA)(2rhph2323 )62(312rphh ),4(31210yyyh 有關(guān)有關(guān)及底邊所在的區(qū)間長度及底邊所在的區(qū)間長度標(biāo)標(biāo)的縱坐的縱坐只與只與顯然，曲邊梯形的面積顯然，曲邊梯形的面積hyyyMMM2,210210 1414組曲邊梯形的面積為組曲邊梯形的面積為由此可知由此可知2n),4(31),4(31),4(3112243222101nnnnyyyhAyyyhAyyyhA .nabh 其中其中)4().(4)(2)(3)(1312420 nnnbayyyyyyyynabdxxf1515解解 a=0, b=1, n=10, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) , 例例2 用拋物線法近似計(jì)算用拋物線法近似計(jì)算 ( 取取 n=10 ).其中其中dxx 10214),.,2 , 1 , 0(ninixi )(2)(103011410642100102yyyyyydxx )(497531yyyyy )7