算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)衡東縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)課題組劉玉華執(zhí)筆教材分析與設(shè)計(jì)理念：教材中算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)一節(jié)既是不等式性質(zhì)：A_ Bu A B 0的延續(xù)，又是不等式證明方法綜合法的重要理論依據(jù)之一.更是處理有關(guān)函數(shù)最值問(wèn)題這一高考熱點(diǎn)的一種常用方法學(xué)好這部分內(nèi)容，對(duì)整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)都有重要意義在以往的教學(xué) 實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：一方面學(xué)生容易忽視均值不等式成立的條件，導(dǎo)致解題過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，甚至得出錯(cuò) 誤的結(jié)論；另一方面均值不等式在處理不等關(guān)系時(shí)，方法靈活，技巧性強(qiáng)，是高考考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要內(nèi)容之一教參中只安排兩課時(shí)，時(shí)間緊，也是教師教不透，學(xué)生學(xué)不好的主要原因因此我認(rèn)為這節(jié)內(nèi)容

2、有必要安排三課時(shí)：第一課時(shí)，讓學(xué)生了解均值不 等式及其成立的條件，學(xué)會(huì)初步應(yīng)用第二課時(shí)，在靈活應(yīng)用上下功夫，在學(xué)生常出錯(cuò)處動(dòng)腦 筋，讓學(xué)生切實(shí)掌握好均值不等式的應(yīng)用第三課時(shí)，解決日常生活實(shí)際應(yīng)用題中均值不等式 的建模問(wèn)題下面是我對(duì)前兩課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì).第一課時(shí)教學(xué)目的與要求：理解,掌握兩個(gè)重要不等式及各自成立的條件 ，能正確，熟練地運(yùn)用兩個(gè)重要不等式解題.教學(xué)重點(diǎn)：理解、掌握兩個(gè)重要不等式及各自成立的條件.教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用兩個(gè)重要不等式解題及對(duì)解題過(guò)程的反思、確認(rèn) .教學(xué)方法：自學(xué)、啟發(fā)、引導(dǎo)、精講、練習(xí).教學(xué)多媒體選擇：投影儀.教學(xué)過(guò)程:一. 讓學(xué)生閱讀教材巳Po例2.（培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材的能力）

3、二. 讓學(xué)生口敘兩個(gè)重要不等式.（教師板書，培養(yǎng)學(xué)生看書、總結(jié)反思的好習(xí)慣） 如果a,bR,那么a2+b2 X2ab.（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取=”號(hào)） 定理:如果a,b是正數(shù)，那么 八不（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取=”號(hào)）三. 提問(wèn)： 兩個(gè)不等式對(duì)a,b的要求是否相同？為什么？3 22 一 -3 -2就不成立生：不同,前者只要求a,bR ,后者要求a,bR .若a=-3,b=-2，前一個(gè)不等式2 2（-3） +（-2 ） A2（-3 -2 ）成立，而后一個(gè)不等式了. 括號(hào)中 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取=”號(hào)”這句話怎樣理解？ 生:當(dāng) a=b時(shí)，兩個(gè)不等式中的=”號(hào)成立;反之=”號(hào)成立時(shí),則a二b.即a二b是兩

4、個(gè)不等式中=”號(hào)成立的充要條件.四.針對(duì)練習(xí):（投影儀顯示）1.求證：I 2.a2 b2(a,b R).2求證:,a2 b2, b2 c2c2 a2 一2 a b c (a,b R). 已知a,b,c為三角形ABC的三邊,2求證:3 ab be ca j a b ci；蟲4 ab be ca .515 已知x 2求函數(shù)4-2的最小值.并求此時(shí)X的值.若xq,該函數(shù)有最小值嗎？有最大值嗎？并求出相應(yīng)的x值.導(dǎo)析:由第一個(gè)重要不等式易證得此不等式成立.這個(gè)不等式也可作為證明其他不等式的根據(jù).它還可變形為 a2 b2 一丄2 a b .2由上一題的結(jié)果不難證得此不等式成立，通過(guò)此題的練習(xí)可培養(yǎng)學(xué)生的

5、觀察 3 ab be ca 乞 a b c能力，分析能力.a b b c2/c a ab+2 c2a b 2 bc2 caba空b 2 e222(a -b)弋b -cc ga0 -22/. 3 ab be ca j. i a b c2a b c 也 ab be c a二 a2 b2 c2 2 abbe ca2 2 2二(a b a ca ( a b b c ) b (a c b()二 a( b c _ a ba c_) b (c a b) c0T a,b,c為三角形ABC的三邊. b e- a O,a c-b 0, a b-c O2 abc 4 ab be ca題中不等式獲證.4x - 50y

6、 = 4x -214x -5= (4x-5)-34x5-一 5)4x-53=5.當(dāng)且僅當(dāng)牯之即-I時(shí)等號(hào)成立.若八4，4x。5 - 4x ： 0y = 4x _2= (4x-5)-34x 515 -4x當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=即x=1時(shí)等號(hào)成立.2.下列說(shuō)法是否正確？為什么？（投影儀顯示）1 lg x 的最小值是2.igx sin2x2的最小值是4.sin x x E R4； x2 +?的最小值是2訴.x導(dǎo)析:不正確.因?yàn)閕g x不一定為正數(shù).1當(dāng) lg x 0 時(shí)，ig X 2ig x1 1當(dāng) lg x ： 0 時(shí)，lg x(_lgx) _-2 .ig x-lg x24I 24 不正確.sin x

7、 2, sin x2= 4sin x 、 sin xc4c當(dāng)且僅當(dāng)sin x即sin x=2時(shí)上式中等號(hào)成立.sin x但sin2x 1.0,11,不可能取2,所以上式等號(hào)不能成立.sin2 x的最小值不是 4.sin x令 u =si n2x“0,11易證y =U -在0,1 1上單調(diào)遞減.Imin =5 .u 不正確.因?yàn)閤2-=x2 1-33x213（三個(gè)正數(shù)的均值不等式還沒(méi)講x xx Yxx布置學(xué)生課后看閱讀教材.）當(dāng)且僅當(dāng)X2 = 2即x=1時(shí)等號(hào)成立.顯然3 ： 23 4x因?yàn)?33 =27,（23 4）3 =32,27 ： 32錯(cuò)誤思路：x2 - -2.2xx2當(dāng)且僅當(dāng)X2二-即

8、X =32時(shí)等號(hào)成立.X錯(cuò)因:不等式x2 - _ 2,2x成立，但不能根據(jù)x2 - _ 2 2x來(lái)求x2 -的最小值,xxx因?yàn)? 2x不是一個(gè)常數(shù).通過(guò)此題的練習(xí)、討論、講評(píng)，讓學(xué)生明白運(yùn)用均值不等式求函數(shù)最值是要滿足三個(gè) 條件：一要正；二可定（即求和的最小值時(shí)，積湊常數(shù)；求積的最大值時(shí)，和湊常數(shù)）；三能等（即均值不等式中的等號(hào)能成立，特別是幾次運(yùn)用均值不等式時(shí)，等號(hào)能成立的 條件應(yīng)不相矛盾.）.五.作業(yè)：1. 習(xí)題6.2第3,4,5題.2. 閱讀教材第24-25頁(yè)了解n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系.第二課時(shí)教學(xué)目的與要求：能靈活運(yùn)用均值不等式解題.教學(xué)重點(diǎn)：已知條件的運(yùn)用，對(duì)題意的

9、理解.教學(xué)難點(diǎn)：已知條件的運(yùn)用，發(fā)散思維能力的培養(yǎng).教學(xué)方法:練習(xí)點(diǎn)撥.教學(xué)多媒體選擇：投影儀.教學(xué)過(guò)程：一.復(fù)習(xí)提問(wèn)：運(yùn)用均值不等式求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)注意哪幾點(diǎn)？二例題：19例1.已知x 0, y 0且一 =1,求x y的最小值.x y引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件，注意”的妙用，得出.解法一 ：x y二x y (-9X 10 _6 10 =16x yx y當(dāng)且僅當(dāng)y=9x時(shí)取”二”號(hào).x y.當(dāng)且僅當(dāng)x=4, y=12時(shí),上式等號(hào)成立.- X y min =16解法二：要求x y的最小值，由已知y可用x表示.x y可轉(zhuǎn)化為只含x的式子.1 ggx由已知一=1得y =二x yx _1X y =x 仝(

10、X 一1)墊1x -1X 1=x1旦 10_2. (x1) 916X1X1g當(dāng)且僅當(dāng)x- 即x=4,y=12時(shí)等號(hào)成立.x1X min 才6.基于求和的最小值，積湊常數(shù)的思路.又有下面的1 g解法三：由已知條件-=1變形得x-1 y-9=9,又由已知得X 1,y9,所以x y3“-1、-9）蘭以-1）*-9）. 當(dāng)且僅當(dāng)2 2x-1=y-9=3.即 x=4, y=12 時(shí)等號(hào)成立，所以 x y min =16.通過(guò)上面的三種解法（此題還有其他解法）讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)對(duì)題目已知條件進(jìn)行觀察思考的重要性，從而有意識(shí)地識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的觀察思考能力和發(fā)散思維能力.再讓學(xué)生分析下面的解法錯(cuò)在何處：（投影儀顯示）

11、x 0, y 0 且1 9 =1.x y2 xy =12. xwx yD- X Ymin 七.點(diǎn)評(píng)：x y - 2, xy當(dāng)且僅當(dāng)x = y時(shí)等號(hào)成立.1 9_2 9當(dāng)且僅當(dāng)丄=9時(shí)等號(hào)成立.x y xyx y它們不能同時(shí)取等號(hào)，所以x y不能取到12這個(gè)值.再看下面一題的解法錯(cuò)在何處，應(yīng)怎樣改正？（投影儀顯示） 設(shè)實(shí)數(shù)x, y, m, n滿足x2 y3,m2 n2 =1，求mx ny的最大值.2 2 2 2解：mx ny _m - n y- （m2 n2 x2 y2） = 22 2 2 mx ny的最大值是2.受到上面一題的啟發(fā)，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：上式中等號(hào)成立的充要條件是m=x, n=y=T=m2 n2=x2，y2=3矛盾.肯定上面的解法是錯(cuò)誤的.應(yīng)怎樣改正 呢？從解決矛盾入手,只要令m=x,n=丄y= 1 = m2+ n2,x2+y2=3于是得到下面的正V3V3確解法：mx + ny = 3(m 于心訓(xùn)2為-（n2 %牛（m?。?3mx ny的最大值為 G.通過(guò)這樣的糾錯(cuò)練習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，提高思維品質(zhì).課堂練習(xí)：1