第七章方差分析

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容: : 方差分析的概念；方差分析的概念； 單因素方差分析；單因素方差分析； 無交互作用的雙因素方差分析。無交互作用的雙因素方差分析。第七章第七章 方差分析方差分析第一節(jié)第一節(jié) 方差分析引論方差分析引論一、問題的提出一、問題的提出例例1 1、某飲料在五家超市的銷售情況。、某飲料在五家超市的銷售情況。（6 6） （9 9）某飲料在五家超市的銷售情況表某飲料在五家超市的銷售情況表相同總體的情況相同總體的情況1234不同總體的情況不同總體的情況 方差分析是對多個總體均值是否相等方差分析是對多個總體均值是否相等這一假設(shè)進行檢驗。這一假設(shè)進行檢驗。 方差分析中的常用術(shù)語：方差分析中的常用術(shù)

2、語：（2 2） 因素：一個獨立的變量，是方差分析研因素：一個獨立的變量，是方差分析研究的對象。究的對象。 水平：因素在方差分析中的不同表現(xiàn)。水平：因素在方差分析中的不同表現(xiàn)。 單因素方差分析：只針對一個因素進行單因素方差分析：只針對一個因素進行的方差分析。的方差分析。 多因素方差分析：針對多個因素進行的多因素方差分析：針對多個因素進行的方差分析。方差分析。二、方差分析的基本假設(shè)二、方差分析的基本假設(shè) 1 1、每個總體都應(yīng)服從正態(tài)分布。、每個總體都應(yīng)服從正態(tài)分布。 對于因素的每一個水平，其觀測值是來對于因素的每一個水平，其觀測值是來自正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本。自正態(tài)分布總體的簡單隨機樣本。 2

3、 2、各個總體的方差、各個總體的方差2 2必須相同必須相同( (方差方差齊性齊性) )。 各因素水平的觀察數(shù)據(jù)組是從具有相同各因素水平的觀察數(shù)據(jù)組是從具有相同方差的正態(tài)總體中抽取的。方差的正態(tài)總體中抽取的。 3 3、各樣本是相互獨立的隨機樣本各樣本是相互獨立的隨機樣本。 方差分析就是要在上述假定成立的前提方差分析就是要在上述假定成立的前提下，分析自變量對因變量的影響是否顯著，下，分析自變量對因變量的影響是否顯著，實際上也就是要檢驗自變量的各個水平實際上也就是要檢驗自變量的各個水平( (總總體體) )的均值是否相等。的均值是否相等。 方差分析的目的：檢驗各個水平的均方差分析的目的：檢驗各個水平的

4、均值是否相等。值是否相等。 實現(xiàn)方差分析的目的的手段：方差的實現(xiàn)方差分析的目的的手段：方差的比較。比較。三、方差分析的基本思想三、方差分析的基本思想（2 2）觀測值的差異來自于兩個方面：觀測值的差異來自于兩個方面： 1 1、系統(tǒng)差異：由因素中的不同水平引起，、系統(tǒng)差異：由因素中的不同水平引起，用組間方差度量；用組間方差度量； 2 2、隨機差異：由樣本抽區(qū)的隨機性引起，、隨機差異：由樣本抽區(qū)的隨機性引起，用組內(nèi)方差度量。用組內(nèi)方差度量。 方差分析：將一組樣本數(shù)據(jù)發(fā)生的總變差方差分析：將一組樣本數(shù)據(jù)發(fā)生的總變差根據(jù)可能引起變差的來源分割為幾個部分，使根據(jù)可能引起變差的來源分割為幾個部分，使總變差的

5、每一部分都可歸因于某種原因，通過總變差的每一部分都可歸因于某種原因，通過測度這些不同來源的變差之間是否有顯著差異，測度這些不同來源的變差之間是否有顯著差異，來判斷總體均值之間是否存在顯著差異。來判斷總體均值之間是否存在顯著差異。試驗批號試驗批號因因觀觀11x12x11nx21x22x22nx1kx2kxkknx察察值值素素水水平平第二節(jié)第二節(jié) 單因素方差分析單因素方差分析一、樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)一、樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（2828）kiH210：）不完全相等，（：kiHi211二、單因素方差分析的步驟二、單因素方差分析的步驟（一）提出假設(shè)（一）提出假設(shè)EAMSMSF ), 1(knkF（二）構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量（二）

6、構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量方差分析所用統(tǒng)計量為：方差分析所用統(tǒng)計量為： 1 1、計算因素各水平（總體）的均值及總均值，、計算因素各水平（總體）的均值及總均值，分別用分別用 和和 表示地表示地i i個總體的均值與所有樣本個總體的均值與所有樣本觀測值的總均值。計算公式如下：觀測值的總均值。計算公式如下：），（kinxxiniijii,2,11ixx），（kkiiikinjijnnnnnxnnxxi21111 2 2、在方差分析中，需要計算三個誤差平方、在方差分析中，需要計算三個誤差平方和，即總誤差平方和（和，即總誤差平方和（ ）、組間誤差平方）、組間誤差平方和（和（ ）及組內(nèi)誤差平方和（）及組內(nèi)誤差平方和（

7、） 。TSSASSESSAEkinjikinjiijkinjijkinjijTSSSSxxxxxnxxxSSiiii1121122112112)()()(其中：其中： （1 1）組間誤差，其自由度為）組間誤差，其自由度為k-1:k-1: （2 2）組內(nèi)誤差）組內(nèi)誤差, ,其自由度為其自由度為n-k:n-k:212211212112)()(xnxnxnxxxnxxSSkiiikinjikiiikinjiAiiATkinjiijESSSSxxSSi112)(1kSSMSAAknSSMSEEEAMSMSF ), 1(knkF3 3、構(gòu)造統(tǒng)計量、構(gòu)造統(tǒng)計量；確定顯著水平的值；計量根據(jù)樣本觀測值計算統(tǒng)T

8、AMSMSF ；，相應(yīng)的臨界值分布表得到，查根據(jù)給定的顯著水平)1(knkFF得出結(jié)論。進行比較后，的值與臨界值將統(tǒng)計量FF；，則拒絕原假設(shè)若0HFF。，則不能拒絕原假設(shè)若0HFF（三）統(tǒng)計檢驗（三）統(tǒng)計檢驗1 1、2 2、3 3、4 4、 （四）方差分析表（四）方差分析表 前述（二）之前述（二）之1 1的計算，一般在方差分的計算，一般在方差分析計算表中進行，（二）之析計算表中進行，（二）之2 2、3 3在方差分在方差分析表中進行。方差分析計算表與方差分析析表中進行。方差分析計算表與方差分析表的一般形式分別如后一頁：表的一般形式分別如后一頁：試驗批號試驗批號11x11nx21x22nx1kxk

9、knx111njjx12x22x2kx212njjxknjkjx11121njjx2122njjxknjkjx121x2xkx觀觀察察值值因因素素水水平平值FEAMSMS），（knkF1ASSESSTSS1kkn1nAMSEMS 對前述例對前述例1 1，試以，試以0.050.05的顯著水平的顯著水平檢驗飲料顏色對其銷售量是否有顯著影檢驗飲料顏色對其銷售量是否有顯著影響。列表計算如下：響。列表計算如下：2iixn值F售量有顯著影響。既飲料包裝的顏色對銷受備擇假設(shè)，所以拒絕原假設(shè)，接由于FF 例例2 2、某課程結(jié)束后，學(xué)生對該授課教師的教學(xué)質(zhì)量、某課程結(jié)束后，學(xué)生對該授課教師的教學(xué)質(zhì)量進行評估，評

10、估結(jié)果分為優(yōu)、良、中、差四等。教進行評估，評估結(jié)果分為優(yōu)、良、中、差四等。教師對學(xué)生考試成績的評判和學(xué)生對教師的評估是分師對學(xué)生考試成績的評判和學(xué)生對教師的評估是分開進行的，他們互相都不知道對方給自己的打分。開進行的，他們互相都不知道對方給自己的打分。有一種說法，認(rèn)為給教師評為優(yōu)秀的這組學(xué)生的考有一種說法，認(rèn)為給教師評為優(yōu)秀的這組學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)，可能會顯著地高于那些認(rèn)為教師工作僅是試分?jǐn)?shù)，可能會顯著地高于那些認(rèn)為教師工作僅是良、中或差的學(xué)生的分?jǐn)?shù)。同時認(rèn)為，對教師工作良、中或差的學(xué)生的分?jǐn)?shù)。同時認(rèn)為，對教師工作評差的學(xué)生，其考試的平均分?jǐn)?shù)可能最低。為對這評差的學(xué)生，其考試的平均分?jǐn)?shù)可能最低。為

11、對這種說法進行檢驗，從對評估的每一個級組中，隨機種說法進行檢驗，從對評估的每一個級組中，隨機抽取出共抽取出共2626名學(xué)生。試以名學(xué)生。試以0.050.05的顯著水平檢驗各組的顯著水平檢驗各組學(xué)生的分?jǐn)?shù)是否有顯著差別。學(xué)生的分?jǐn)?shù)是否有顯著差別。2626名學(xué)生的考試成績名學(xué)生的考試成績?nèi)缦卤?。如下表。i 解：若各組學(xué)生的平均成績之間沒有顯著差異，解：若各組學(xué)生的平均成績之間沒有顯著差異，則表明學(xué)生對教師的評估結(jié)果與他們的成績之間則表明學(xué)生對教師的評估結(jié)果與他們的成績之間沒有必然的聯(lián)系。沒有必然的聯(lián)系。 利用利用SPSSSPSS軟件進行計算。軟件進行計算。等。：各組平均分?jǐn)?shù)不全相：各組平均分?jǐn)?shù)相等

12、；10HHTASSSSR 2三、關(guān)系強度的度量三、關(guān)系強度的度量)11()(2jiEnnMSkntLSDknSSMSEE其中jiH：0jiH：1jixx 四、單因素方差分析中的多重比較四、單因素方差分析中的多重比較 多重比較是通過對總體均值之間的配對比較來進多重比較是通過對總體均值之間的配對比較來進一步檢驗到底哪些均值之間存在差異。一步檢驗到底哪些均值之間存在差異。（1111） 多重比較方法有多種，這里介紹多重比較方法有多種，這里介紹FisherFisher提出的最提出的最小顯著差異方法，簡寫為小顯著差異方法，簡寫為LSDLSD。LSDLSD多重比較步驟：多重比較步驟：1 1、提出假設(shè)：、提出

13、假設(shè)：2 2、計算檢驗統(tǒng)計量：、計算檢驗統(tǒng)計量：3 3、計算、計算LSDLSD，其計算公式為：，其計算公式為：4 4、判斷、判斷 （2222）。；反之，則接受則拒絕若00,HHLSDxxji著差別？顏色的飲料的銷量有顯下，哪兩種包裝，在顯著水平對于例05. 0124. 226.2932.2721 xx24. 2)5151(8 . 2)16(025. 0tLSD沒有顯著差異。與由于2121LSDxx是否有顯著差異。與、與、與、與、與同理可判斷4342324131第三節(jié)第三節(jié) 雙因素方差分析雙因素方差分析一、雙因素方差分析及其類型一、雙因素方差分析及其類型 雙因素方差分析：雙因素方差分析： 無交互

14、作用的雙因素方差分析：無交互作用的雙因素方差分析： 有交互作用的雙因素方差分析：有交互作用的雙因素方差分析：例例3 3、某商品有五種不同包裝方式（因素、某商品有五種不同包裝方式（因素A A），在五個不同地區(qū)銷），在五個不同地區(qū)銷售（因素售（因素B B），現(xiàn)從每個地區(qū)隨機抽取一個規(guī)模相同的超級市場，），現(xiàn)從每個地區(qū)隨機抽取一個規(guī)模相同的超級市場，得到該商品不同包裝的銷售資料如下表。現(xiàn)欲檢驗包裝方式和得到該商品不同包裝的銷售資料如下表?，F(xiàn)欲檢驗包裝方式和銷售地區(qū)對該商品銷售是否顯著影響（銷售地區(qū)對該商品銷售是否顯著影響（ ）？）？銷售地區(qū)銷售地區(qū)（B B）05. 0二、無交互作用的雙因素方差分析二

15、、無交互作用的雙因素方差分析（4141）（一）樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（一）樣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)B水平水平A水平水平觀察值觀察值jx列均值ix1x2xrx1x2xkxx), 2 , 1(11rjxkxkiijj), 2 , 1(11kixrxrjijikirjijxkrx111其中：其中： kirjjkirjikirjjiijkirjijTxxxxxxxxxxSS112112112112EBATSSSSSSSS（二）誤差平方和的分解（二）誤差平方和的分解（3232）kirjjiijExxxxSS112kirjjBxxSS112kirjiAxxSS1121111rkSSMSrSSMSkSSMSEEBBAA，其中：其

16、中：EAAMSMSF EBBMSMSF 111rkkF，111rkrF，。的自由度為，為的自由度，的自由度為其中1111rkMSrMSkMSEBA構(gòu)造統(tǒng)計量：構(gòu)造統(tǒng)計量：kiH2110：）不完全相等（：kiHi, 2 , 111rjH2120：不完全相等：),2, 1(21rjHj。個水平（總體）的均值的第為因素，個水平（總體）的均值的第為因素其中：jBiAji（三）分析步驟（三）分析步驟1 1、提出假設(shè)設(shè)：、提出假設(shè)設(shè)：值F的組間誤差因素A的組間誤差因素BASSBSSESSTSS1k1r11rk1nAMSBMSEMSAFBF2 2、在方差分析表中計算相應(yīng)的統(tǒng)計量、在方差分析表中計算相應(yīng)的統(tǒng)計

17、量分布表得到臨界值：下，查在給定的顯著水平F111111rkrFrkkF，和，將計算所得的統(tǒng)計量的值與臨界值進行比較：將計算所得的統(tǒng)計量的值與臨界值進行比較：。則接受；反之，則拒絕，若1010111HHrkkFFA。則接受；反之，則拒絕，若2020111HHrkrFFB3 3、統(tǒng)計檢驗、統(tǒng)計檢驗TBASSSSSSR2（四）關(guān)系強度的度量（四）關(guān)系強度的度量（3131）對于例對于例3 3，我們進行求解可得：，我們進行求解可得： 建立假設(shè)：建立假設(shè)：不全相等、：不全相等、：54321211543212054321115432110HHHH銷售地區(qū)銷售地區(qū)（B B）jx列均值ix96.88004.15104 .152022