2017-2018-1數(shù)值分析試題A卷標答

1、我僵制我上母2017年2018年第1學期試題標答課程名稱：數(shù)值分析考生學號：試卷類型：A卷，B卷口專業(yè)年級：2017級研究生考生姓名：考試方式：開卷V閉卷口注意：本次考試采取開卷考試，考生可使用紙質(zhì)參考資料和專用的計算器；不得使用任何電子參考資料。一、選擇題（5小題，每小題3分，共3*5=15分）1,已知數(shù)X1=721,X2=0.721,X3=0.700,X4=7X10-2是由四舍五人得到的，則它們的有效數(shù)字的位數(shù)分別為（A）。A.3,3,3,1;B.3,3,3,3;C.3,3,1,1;D.3,3,3,22.牛頓下山法Xk1Xk小口中的取值范圍是（C）。f（Xk）A.<0;B,0<

2、<1;C,0<1;D.>13,用選主元的方法解線性方程組Ax=b,是為了（B）0A.提高計算速度；B,減少舍入誤差；C.減少相對誤差；D,方便計算4.以下命題正確的是（A）。A.過n+1個互異節(jié)點的牛頓插值多項式最高次幕的系數(shù)為fx0,X1,乂4（此項不為0時）；B.過節(jié)點（x0,y。），（x1,y1），（xn,yn）（n>3）,則均差fx3,X0,X4#X4,X0,X3；C.過n+1個互異節(jié)點的拉格朗日插值多項式一定是n次多項式；D.對于給定的數(shù)據(jù)作插值，插值多項式存在且唯一。5,有3個不同節(jié)點的高斯求積公式的代數(shù)精度是（A）次的。A.5;B.6;C.7;D.3二、填

3、空題(5小題，每小題3分，共3*5=15分)1 .為了避免計算時有效數(shù)字的丟失，如在求式子yxnjx的值，應將其變換成(1)進行計算。、x1x2 .用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為3 .對于給定的n+1個插值節(jié)點Xo,X1,Xn,f(x)的埃爾米特插值多項式的次數(shù)不超過(2n1)次。54 .已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,則用辛普生公式計算求得f(x)dx(12)15 .對于試驗方程yy,顯式Euler方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域為(|1|1)312Xi0三、(10分)用LU分解法求解方程組634x21。315x33解：由題意分解有10031

4、2A210010LU.（5分）101003由LYb,可得Y0,1,3To（3分）由UXY,可得X1,1,1To（2分）10a0四、(10分)設Ab10b,detA0,用a,b表示線性方程組Ax=f的Jocabi0a5迭代法和Gauss-Seidel迭代法收斂的充分必要條件解：Jacobi迭代矩陣為10BjD1(LU)1010(3分)iIBj|(23ab100-），則Bj的譜半徑為(Bj)31abi100從而Jacobi迭代法收斂的充要條件為(Bj)100(2分)Gauss-Seide迭代矩陣為_1Bg(DL)U10ab100a2b10，ab500502iIBg|2(3ab100）,則Bg的譜半

5、徑為(Bg)3|ab|100從而Gauss-Seidel迭代法收斂的充要條件為1ab1100(2分)五、（10分）取h=0.1,用改進的Euler法求初值問題yyx1y(0)1在x=0.1,0.2處的近似值。解：改進的歐拉法公式為yn112h(1h”)yn2(2h)Xnh（6分）（4分）=1.105yn-0.105xn+0.1;y1=1.205,y2=1.421025六、(15分)設f(x)x43x3x210,x01,x13,x22,x30。求以X0,N3(x)115(x106x1)4(x1)(x3)(x1)(x3)(x2)236xx(5分)R3(x)f(4)(4!)(XX0)(XXi)(XX

6、2)(xX3)x(x1)(x3)(x2)(5分)X1,X2,X3為節(jié)點的3次插值多項式，并給出插值余項表達式。解：計算差商表如下：Xif(Xi)一階差商二階差商三階差商1-113-15-234740-10-225-1(5分)七、（15分）應用牛頓法于方程f（x）x2a0,導出求“的迭代公式，并且求limk(aXk)2'用此迭代公式求后5的值（取初值X0=10）,保留小數(shù)點后6位。解:f(x)2xa,f(x)2x,由牛頓迭代公式得Xk1Xk2Xka2xk2(Xka),k0,1,2,Xk.（6分）kimf(a)（2）對于X1(aXk)2115,取x10.750000,2f(a)10,迭代計算得x210.723837,x310.723805,x410.723805,(4分)(5分)故.11510.723805,1n,八、(10分)已知f(x)dxAkf(xk)是Gauss型求積公式，1k(x)是xk處對應k0的Lagrange基函數(shù)，證明i21Jk(x)dxlk(x)dx,k0,1，n。1 12 一一證明：lk(x)與lk(x)分別為n次和2