等比數(shù)列的前n和教學(xué)設(shè)計

1、課題：等比數(shù)列的前 n項和（第一課時）一教學(xué)目標(biāo)：i .知識與技能目標(biāo)：1）掌握等比數(shù)列求和公式，并能用之解決簡單的問題。2）通過對公式的推導(dǎo)，對學(xué)生滲透方程思想、分類討論思想以及等價轉(zhuǎn)化思 想。2過程與方法目標(biāo)：通過對公式的推導(dǎo)提高學(xué)生研究問題、 分析問題、解決問題能力；體會公式 探求中從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，同時滲透如上所說的多種數(shù)學(xué)思想。3.情感與態(tài)度目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)與簡單應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，敢于探 索、創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)。二教學(xué)重點：等比數(shù)列項前n和公式的推導(dǎo)與簡單應(yīng)用。三教學(xué)難點：等比數(shù)列n項和公式的推導(dǎo)。四教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)，探索發(fā)現(xiàn)（多媒體輔助教學(xué)）。五教學(xué)過

2、程：1 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課：1）復(fù)習(xí)舊知，鋪墊新知：（1）等比數(shù)列定義及通項公式；（2）等比數(shù)列的項之間有何特點？說明：如此設(shè)計目的是在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列各項特點：從第二項起每一項比前一項多乘以q ,從而為“錯位相減法”求等比數(shù)列前 n和埋下伏筆。2）問題情境，引出課題：從前，一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來，但提出了如下條件：在 30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多一萬； 但借錢第一天，窮人還1分錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍，30天后互不相欠。窮人聽后覺得挺劃算，但怕上當(dāng)受騙，

3、所以很為難。請在座的同學(xué)思 考一下，幫窮人出個主意.注：師生合作分別給出兩個和式：S30 =12 330T30 1 2 22 23 時一卷228 229 學(xué)生會求，對學(xué)生知道是等比數(shù)列項前 n和的問題但卻感到不會解！ 問1:能不能用等差數(shù)列求和方法去求？（不行） 問2:怎么辦？（用追問的方式引出課題）2 師生互動，新課探究：注：（給學(xué)生時間讓他們觀察、思考）如果學(xué)生想不出來，師做必要冋題1 如何求和:T30 = 122223邊 282 29啟發(fā)：1）等式右邊各項有什么特點？（等比數(shù)列 30項和）2）公比是多少？ （ 2）即:從第二項起每一項比前一項多乘以 2.3）因此，如果兩邊,（教師語速放慢

4、，看學(xué)生反應(yīng)狀況，再往下提示：把等 式兩邊同乘以公比2）從而有：T30 = 1 22223J282292T30 =2 2223 - 2'229 - 230師：如何求T30 ?（此處給學(xué)生充分的觀察思考的時間，師不忙給出結(jié)論，讓他們自己得出求解的方法：作差）注：學(xué)生解出T30，并與S30比較（到底能不能向富人借錢）。這種求和的方法 叫錯位相減法。 此處先不忙介紹“錯位相減法”的要點，只讓學(xué)生有個大致印象，后面還 有應(yīng)用，體現(xiàn)從特殊到一般、學(xué)生自主探究教材的新教材理念。問題2如何求等比數(shù)列an的前n項和Sn :2nSh = a! yq卷潛注：學(xué)生已有上面問題的處理經(jīng)驗，肯定有不少學(xué)生會想到

5、“錯位相減法”，教師可放手讓學(xué)生探究，并請學(xué)生上臺板演。 將Sn二a! ag ag2 an'兩邊同時乘以公比q后會得到qS a1q a1q2 a1qa1qn，兩個等式相減后，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒有改變？這些都是用錯位相減法求等比數(shù)列前n項和的關(guān)鍵所在，讓學(xué)生先思考，再討論，最后師用多媒體予以突出強(qiáng)調(diào)，加深 印象！ 兩等式作差得到（1-q）Sn =q（1-qn）時，肯定會有學(xué)生直接得到&（1 -qn），師不忙揭露錯誤，等一會用練習(xí)反饋這個易錯知識點，從而掌 1-q握公式的本質(zhì)！練習(xí)1.用等比數(shù)列求和公式求和：1）S9 =3 32 33392）300 = 5

6、 5 飛（1 0 個 5相加）注：此組練習(xí)目的： 熟悉等比數(shù)列求和公式的直接應(yīng)用 公比q =1時,公式還能用嗎？花心=1）從而得到：等比數(shù)列an前n項和Sn公式應(yīng)為：Sna'I-qn）（q 式1）.1-q 通過糾錯的方式給出公式比平鋪直敘方式得出公式的效果要好得多，學(xué)生通過：自己推導(dǎo)出公式（不完整）公式應(yīng)用得出矛盾一一完整公式的過程,很好地解決了本節(jié)課重、 練習(xí)2.求和：難點1)1 1 112192 22 21 (1 -22012)等比數(shù)列an中,a =6,q=2,an =192,求a.前 n 項和 Sn.注：練習(xí)1）中數(shù)列的項數(shù)的確定是很容易失誤的地方，學(xué)生誤解為是19項從而強(qiáng)調(diào)求和

7、公式Sn中的“ n”指的是項數(shù).另外，還要指出等比數(shù)列求和公式中的公比q的指數(shù)是“ n ”，而等比數(shù)列通項公式an han的公比q的指數(shù)是“n -1 ”.練習(xí)2)的目n a'q =1)Sn -*(1 -qn)的在于引出等比數(shù)列求和的第二個公式形式：q（q=1），根據(jù)所給條件選擇哪個求和公式進(jìn)行求解。1-q很多學(xué)生會根據(jù)條件先求出n ,再帶到求和公式中去求Sn，而直接用Sn的另一個公式去求，可使計算過程簡化，從而自然引出這個知識點. 求和公式中共有五個量：Sn,a1,q,n,an，可用方程（組）思想：知三求已知等比數(shù)列：an 中,氏二'，S3 = 41,求a1.2 2解：當(dāng)q =

8、1時候，色=a2 =a3,此時正好有1 、十S3 - a1 a2 a - 4 ,適合題意。2典例分析3. 2當(dāng)q = 1時，依題意有3解之,wq）=4丄1-q 2，得耳丸，綜上得印擰或a6.2ag注：在不知道公比是否為1的情況下，利用等比數(shù)列求和公式求和時一定要 對公比要進(jìn)行分類討論，這是學(xué)生容易忽視的問題.公式再證 對于問題：T3o =1 +2 +22 +23 +2浹+229強(qiáng)化理解還可以這樣考慮：T3o =1 +2 +22 +23 +228 +229=1 + 2（1 + 2 + 228）=12仏 -229)問：從這種證法中，大家受何啟發(fā)？ 你能用這種方法證明等比數(shù)列的前n項和公式嗎?注：此處給時間給學(xué)生思考、證明（并投影強(qiáng)調(diào)步驟）2n _2n -1& 二印 aq yq 亠 亠 a1qa1q=耳 qQ a© aq2aN')=印 q(Sn - a"')(1 -q)Sn =- agna1(1 - qn)1 - qna1六課堂小結(jié)注：通過教師的提問和幻燈片的順序播放， 進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的內(nèi)容，并把整節(jié) 課的