數(shù)學(xué)分析極值與條件極值學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析(sh xu fn x)極值與條件極值極值與條件極值第一頁(yè)，共29頁(yè)。xyz一、一、 多元函數(shù)多元函數(shù)(hnsh)的極值的極值 定義定義(dngy): 若函數(shù)若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有xyzxyz第1頁(yè)/共29頁(yè)第二頁(yè)，共29頁(yè)。說(shuō)明說(shuō)明: 使偏導(dǎo)數(shù)使偏導(dǎo)數(shù)(do sh)都為都為 0 的點(diǎn)稱的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)為駐點(diǎn) . 例如(lr),定理定理(dngl)1 (必必要條件要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值

2、的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 ,則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在故yxz 第2頁(yè)/共29頁(yè)第三頁(yè)，共29頁(yè)。定理定理(dngl)2 (充分充分條件條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù), 且令若函數(shù)(hnsh)時(shí), 具有極值則: 1) 當(dāng)2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.20ACB 時(shí)取極小值;0A 時(shí)取極大值;0A20ACB20ACB第3頁(yè)/共29頁(yè)第四頁(yè)，共29頁(yè)。二、最值應(yīng)用二、最值應(yīng)用(yngyng)問題問題函數(shù)(hnsh)

3、 f 在閉域上連續(xù)函數(shù)(hnsh) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 穩(wěn)定點(diǎn)，偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )依據(jù)第4頁(yè)/共29頁(yè)第五頁(yè)，共29頁(yè)。三、條件極值三、條件極值極值(j zh)問題無(wú)條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法(fngf)1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化第5頁(yè)/共29頁(yè)第六頁(yè)，共29頁(yè)。,0),(下在條件yx方法方法(fngf)2 拉格朗

4、日拉格朗日乘數(shù)法乘數(shù)法.如方法(fngf) 1 所述 ,則問題(wnt)等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè) 記)(,(xxfz例如例如,故 故有第6頁(yè)/共29頁(yè)第七頁(yè)，共29頁(yè)。引入輔助(fzh)函數(shù)輔助(fzh)函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).利用(lyng)拉格極值點(diǎn)必滿足0),(yx則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.第7頁(yè)/共29頁(yè)第八頁(yè)，共29頁(yè)。例例1. 求求 滿足滿足(mnz)約約束條件束條件的最大值。的最大值。解：作拉格朗日函數(shù)解：作拉格朗日函數(shù)(hnsh)：令令即，穩(wěn)定即，穩(wěn)定(wndng)點(diǎn)：點(diǎn)：第8頁(yè)/共29頁(yè)第九頁(yè)，

5、共29頁(yè)。由實(shí)際問題知所求最大值必存在，而穩(wěn)定(wndng)點(diǎn)又唯一，因此唯一的穩(wěn)定(wndng)點(diǎn)就是最大值點(diǎn)。故球內(nèi)接長(zhǎng)方體中以正方體的體積最大。第9頁(yè)/共29頁(yè)第十頁(yè)，共29頁(yè)。例例2. 求在求在 約束條件約束條件下的極小值；下的極小值；并證明并證明(zhngmng)不等式：不等式：第10頁(yè)/共29頁(yè)第十一頁(yè)，共29頁(yè)。解：作拉格朗日函數(shù)解：作拉格朗日函數(shù)(hnsh)：令令即，穩(wěn)定即，穩(wěn)定(wndng)點(diǎn)：點(diǎn)：第11頁(yè)/共29頁(yè)第十二頁(yè)，共29頁(yè)。下面判別穩(wěn)定下面判別穩(wěn)定(wndng)點(diǎn)是點(diǎn)是極值點(diǎn)極值點(diǎn)記記則則故方程故方程(fngchng)在穩(wěn)定點(diǎn)在穩(wěn)定點(diǎn) 附近附近(fjn)可唯一確定

6、可可唯一確定可微數(shù)微數(shù)(3 ,3 ,3 )rrr第12頁(yè)/共29頁(yè)第十三頁(yè)，共29頁(yè)。令令現(xiàn)在現(xiàn)在(xinzi)用二元函數(shù)取極值的充分條件判別用二元函數(shù)取極值的充分條件判別是是 的極值的極值(j zh)點(diǎn)。點(diǎn)。由約束條件得：由約束條件得：從而從而(cng r)第13頁(yè)/共29頁(yè)第十四頁(yè)，共29頁(yè)。故故 在在 點(diǎn)有點(diǎn)有( , )g x y(3 ,3 )rr111221222270aaDraa. 因此因此(ync) 在在 取極取極小值小值 , ( , )g x y(3 ,3 )rr這等價(jià)這等價(jià)(dngji)于于 在在 取取極小值極小值 (3 ,3 ,3 )rrr第14頁(yè)/共29頁(yè)第十五頁(yè)，共29頁(yè)

7、。分析(fnx)約束集 是一無(wú)界集。當(dāng) 在 內(nèi)遠(yuǎn)離(yun l)原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)將 趨于正無(wú)窮。因此(ync)，函數(shù) 的唯一極小值點(diǎn)是函數(shù)的 最小值點(diǎn)，即 代入得， 131113()3, ,0 xyzx y zxyz第15頁(yè)/共29頁(yè)第十六頁(yè)，共29頁(yè)。推廣推廣(tugung)拉格朗日乘數(shù)(chn sh)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到(d do)條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件第16頁(yè)/共29頁(yè)第十七頁(yè)，共29頁(yè)。1. 函數(shù)函數(shù)(hnsh)的極值問題的極值問題第一步 利用(lyng)必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別

8、駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡(jiǎn)單問題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法第17頁(yè)/共29頁(yè)第十八頁(yè)，共29頁(yè)。設(shè)拉格朗日函數(shù)(hnsh)如求二元函數(shù)(hnsh)下的極值(j zh),解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn) . 0),(yx0 xxxfF0yyyfF0F第18頁(yè)/共29頁(yè)第十九頁(yè)，共29頁(yè)。例例1.1.求函數(shù)解解: : 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn)(zh din).(zh din

9、).得駐點(diǎn)(zh din): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第19頁(yè)/共29頁(yè)第二十頁(yè)，共29頁(yè)。在點(diǎn)(3,0) 處不是(b shi)極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,0B,6C在點(diǎn)(1,2) 處不是(b shi)極值;第20頁(yè)/共29頁(yè)第二十一頁(yè)，共29頁(yè)。例例2.討論討論(toln)函數(shù)函數(shù)及是否取得(qd)極值.解解: 顯然顯然(xinrn) (0,0) 都是它們都是它們的駐點(diǎn)的駐點(diǎn) ,在(0,

10、0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正正負(fù)負(fù)0222)(yxz在點(diǎn)(0,0)并且在 (0,0) 都有 33yxz可能為第21頁(yè)/共29頁(yè)第二十二頁(yè)，共29頁(yè)。例例3 3.解解: 設(shè)水箱設(shè)水箱(shuxing)長(zhǎng)長(zhǎng),寬分別為寬分別為 x , y m ,則高為則高為則水箱所用(su yn)材料的面積為令得駐點(diǎn)(zh din)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí), 水箱所用材料最省.第22頁(yè)/共29頁(yè)第二十三頁(yè)，共29頁(yè)。例

11、例4. 有一寬為有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板的長(zhǎng)方形鐵板(ti bn) ,把它折起來(lái)做成解解: 設(shè)折起來(lái)的邊長(zhǎng)為 x cm,則斷面(dun min)面積x24一個(gè)(y )斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,x224積最大. 為問怎樣折法才能使斷面面第23頁(yè)/共29頁(yè)第二十四頁(yè)，共29頁(yè)。令解得:由題意(t y)知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有(zhyu)一個(gè)(y )駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.)0,120:(2 xD第24頁(yè)/共29頁(yè)第二十五頁(yè)，共29頁(yè)。例例5.要設(shè)計(jì)(shj)一個(gè)容量為則問題(wnt)為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè)設(shè) x , y , z 分別分別(fnbi)表示長(zhǎng)、表示長(zhǎng)、寬、高寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最??？的長(zhǎng)方體開口水箱, 試問 xyz第25頁(yè)/共29頁(yè)第二十六頁(yè)，共29頁(yè)。已知平面(pngmin)上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓(tuyun)圓周上求一點(diǎn) C, 使