第十八講 數字信號處理-窗函數法設計FIR濾波器

1、第三章第三章 數字濾波器設計數字濾波器設計 3-1 模擬濾波器設計 3-2 通過模擬濾波器設計IIR數字濾波器 3-3 FIR低通數字濾波器設計方法 3-4 數字濾波器計算機輔助設計 3-5 IIR與FIR數字濾波器比較3.3.2 利用窗函數設計FIR濾波器1.設計思路1)先給定所要求設計的理想濾波器的頻率響應Hd(ej).2)設計一個可實現(xiàn)的FIR濾波器頻率響應H(ej )。3）由于設計是在時域中進行，使所設計濾波器的h(n)去逼近理想單位取樣響應hd(n).4) 由h(n)進行Z變換，得到FIR濾波器的H(z)。沖擊響應不變法：直接在數字域設計Hd(ej)指標Ha(s)模擬濾波器指標ha(

2、t)h(n)H(z)（1）理想濾波器的頻率響應Hd(ej)系統(tǒng)函數。變換即可得到濾波器的經過即可求出若已知znheHdjd)(),( 一般情況下，Hd(ej )逐段恒定逐段恒定，在邊界頻率處有不連續(xù)邊界頻率處有不連續(xù)點點，因而hd(n)是無限時寬無限時寬的，且是非因果序列。響應，因此是與其對應的單位脈沖輸函數為設希望設計的濾波器傳)n(h),e(Hdjdde )e(H21)n(he )n(h)e(Hnjjddnnjdjd理想低通濾波器的傳輸函數Hd(ej )序列。是無限長，且是非因果響應濾波器的單位取樣由上式看到，理想低通)n(hd)(nhdn)(Hd0ccjdjde )(H)e(H)n()n

3、(sin(dee21)n(hcnjjdccccjjdeeH0)(2)設計實際的FIR濾波器H (ej)100( ),( )( )( )( )( )( ),.NMnnnndh nNH zH zh n zh n zh nhn設實際實現(xiàn)的濾波器的單位取樣響應為長度為，其系統(tǒng)函數為，這樣我們用一個有限長的序列去代替肯定會引起誤差( )( )( )( )( )(1)/2/2( )(1)/2ddh nh nh nh n W nW nNNMh nN用）表示截取后的單位沖激響應，即：式中為窗函數，長度為 。當時，截取的一段對對稱，可保證所設計的濾波器具有線性相位。)n()n(sin(dee21)n(hcnjj

4、dccccjjde)e(H0./c3圖中nhdnh21NnNn)n(w)n(w)n(h)n(hd其他010112NN-12. 加窗的頻域解釋lv ,(), .jjcdceHe0低通波器：d)e(W)e(H21)e(Hnhnwnh)( jjdjd 積：時域乘積對應頻域的卷2/2/)( 10 1,:2/ )1(SinNSineeW.NnnwNjj例：矩形窗()()()()ccccNjjjNjSinH eeedSinSinedSin 22221212()()()()ccccNjjjNjSinH eeedSinSinedSin 22221212cjdeH c)(-2/N()( )()ccccNRSin

5、HdWdSin 221122N4主瓣：()()ccNSinHdSin2212特殊點-1. 1)0()0(,21)0(0)(的全部面積。歸一化為的可視為從則一般情況下，歸一化為時，響應值零頻RcWHNHa特殊點-25 . 0)0(H)(H)(W)(H)(H)b(cRdcc即的一半重疊，與此時時，響應值截止頻率特殊點-3頻響出現(xiàn)正肩峰為通帶內，的全部主瓣都在這時時，響應值正肩峰：95. 8max,)N2(H)(H)(W)N2(HN2)d(cdRcc特殊點-4出現(xiàn)負肩峰為旁瓣的正面積。積而通帶內的旁瓣的負面內通帶外，的主瓣剛好全部在這時時，響應值負肩峰：95. 8)N2(H)(H)(W)N2(HN2

6、)c(cdRcc特殊點-5的值在零值上下波動的尾瓣將掃過通帶，的阻帶內變化時，并繼續(xù)在當零波動)(H)(W)(HN2)e(Rdc實際設計濾波器的特點）的主瓣寬度（過渡帶的寬度：過渡帶RWN4實際設計濾波器的特點余振也越多。的旁瓣越多，卷積，產生的窗口頻譜頻率中的旁瓣與矩形窗因：長的余振。出現(xiàn)余振原在最大負肩峰外形成長余振實際設計濾波器的特點。此現(xiàn)象稱為吉布斯效應取決于窗函數的形狀。而最大肩峰永遠為密，只能使起伏的振蕩變值的周期為余振為為幅頻特性的過渡帶寬度，設截取的長度為效應吉布斯（,95. 8N/20,N/4)NNGibbsN增大，相當于對增大，相當于對軸進行了壓縮軸進行了壓縮3、理想濾波器

7、與實際濾波器之間的差別-1).N4()(HDF)a(寬度取決于窗口頻譜的主瓣帶的寬度產生一個過渡帶。過渡緣處，在理想特性不連續(xù)的邊實際過渡帶N.N.)b(cc208950208951，負肩峰：為，正肩峰：為肩峰（正、負肩峰）也愈強。旁瓣相對值愈大，肩峰。旁瓣愈多，余振也越多，取決于窗口頻譜的旁瓣余振)(c肩峰和余振是由窗口頻響的旁瓣引起的減的平穩(wěn)性和阻帶內的衰因此不會改變通帶內窗函數的形狀決于與主瓣的相對值主要取旁瓣但不會改變肩峰的值，（過渡帶寬度）減少，增加,NN)d(4其它窗其它窗 (I)Two-side sequence-BB, Mn0 . 0B M/2,nM/2- : 0.08.C0.

8、5,B0.42,A :Blackman 0;C0.46,B0.54,A : Hamming0;C0.5,B0.5,A :( HanningM4cos2cos Blachman HammingHanning ;triangularBartlett 令若令若注窗（海明）窗漢寧）窗是窗的長度。式中，窗；、窗MnCMnBAn w0.5Hanning)(jeW2/N2/N 0.50.5212n1+cos()2NjnjneeW n0.25窗函數的窗函數的Fourier變換變換 (I)頻移22j()j()jjRRR11W eWeWeWe24NN0.54Hamming)(jeW2/N2/N 0.540.462

9、2n0.540.46cosNjnjneeW n0.2322j()j()jjRRRW e0.54 We0.23 WeWeNN0100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.60100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.6HanningHamming)(jeW)(jeWMatlab 的計算結果：的計算結果：窗函數的窗函數的Fourier變換變換 (II)Blackman0.420.250.04)(jeW208. 025 . 042. 01/41/41/21/2NnjNnjNnjNnjeeeenW窗函數的

10、窗函數的Fourier變換變換 (III)e(W)e(W04. 0)e(W)e(W25. 0)e(W42. 0)e(W)j(R)j(R)j(R)j(RjRj1N41N41N21N20100200300400500600700800-0.4-0.200.20.40.60.810100200300400500600700800-0.0500.050.10.150.20.250.30.350.40.45BlackmanRect.)(jeW)(jeW窗函數的窗函數的Fourier變換變換 (IV)Matlab 的計算結果：的計算結果： 理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；(

11、b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)漢寧窗； (d)漢明窗；(e)布萊克曼窗用矩形窗時過渡帶最窄，而阻帶衰減最??；布萊克曼窗過渡帶最寬，但換來的是阻帶衰減加大Kaiser 窗窗控制主瓣寬度；控制主瓣幅度；，則另 21. 10 ,)21(2121( aa022a0NNNnNINnNIn w樣本幅值 20 15 10 5 03 . 06 . 09 . 02 . 1036Kaiser 窗窗(II)各窗函數特征比較各窗函數特征比較窗的窗的類型類型旁瓣旁瓣峰值峰值主瓣主瓣寬度寬度最小阻最小阻帶衰減帶衰減過渡過渡帶寬度帶寬度Rect.-134/N-211.81/NBartlett-258/N-252.37/

12、NHanning-318/N-445.01/NHamming-418/N-536.27/NBlackman-5712/N-749.19/N 矩形窗的過渡帶最窄，但是其吉布斯效應最明顯，其他幾種窗沿兩邊平滑過渡到0，頻響旁瓣顯著降低，但代價是過渡帶加寬FIR低通低通濾波器設計步驟濾波器設計步驟。并確定相應數字頻率，函數形式處的衰減指標，確定窗和阻帶根據通道TTnwssppsp,)(. 1;4PNN;,.2確定加窗寬度根據過渡帶寬ps;)()()(sin)(,21. 3pccnwmnmnnhNm式中可取為：則濾波器單位沖激響應確定沖激響應位移系數濾波器的頻率響應計算FIR. 4值重新設計。如不滿足

13、，則取更大的要求，審核技術指標是否滿足N. 5理想低通濾波器系統(tǒng)函數P根據窗函數在表3.3中確定例1 用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設計FIR低通濾波器，設N=11，c=0.2rad。sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn解 用理想低通作為逼近濾波器，有1. 用漢寧窗設計：用漢寧窗設計：( )( )( ),0102( )0.5(1 cos)10dHnHnh nh n wnnnwn2. 用布萊克曼窗設計：用布萊克曼窗設計： 11( )( )( )24( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBlBlh nh n wnnnwnRn分別求出其h(n)后，再求出頻響H (ej) ，其幅度特性如圖所示。FIR濾波器的低通幅頻特性用矩形窗時過渡帶最窄，而阻帶衰減最小；布萊克曼窗過渡帶最寬，但換來的是阻帶衰減加大，為保證有同樣的過渡帶，必須加大窗口長度N。例2 用窗函數法設計一線性相位FIR濾波器，滿足技術指標：. s.T,40dBs/rad3d