第1節(jié) 映射及變換

1、/( )af a 記為記為稱稱 為為a在映射在映射f 下的下的象象，/a/S/a/S/S映射簡單記為映射簡單記為/fSS /:fSS或或為了強(qiáng)調(diào)對應(yīng)法則也可記為為了強(qiáng)調(diào)對應(yīng)法則也可記為/:fSS/aa 設(shè)映射設(shè)映射 , /:fSS 集合集合S到到S自身的映射稱為自身的映射稱為S 的一個的一個變換變換 /( ).f SS ( ) ( )f Sf a aS注釋注釋1 /S /1, ,1,2,3Sa b cS （）:( )1,( )2,( )3ff af bf c :( )1,( )1,( )3gg ag bg c : ( )1,( )2,( )3h g ag ag c 20, 1, 2,1,2,3

2、,ZZ （）:( ),ff nnnZ :( )1,gg nnnZ 例例3 3 任意一個在實數(shù)集任意一個在實數(shù)集R上的函數(shù)上的函數(shù) 都是都是( )yf x 即即I 把把S上的每個元素映到它自身，上的每個元素映到它自身，I是一個映射，是一個映射，實數(shù)集實數(shù)集R到自身的映射，到自身的映射，稱稱 I 為為S上的上的恒等映射恒等映射或或單位變換，單位變換，的一個特殊情形。的一個特殊情形。 ( ),I aaaS :,ISS （注意映射乘法中起的作用，見下面的注釋）（注意映射乘法中起的作用，見下面的注釋） 即函數(shù)可以看成是即函數(shù)可以看成是 映射映射記為記為 .SI2 2、特殊映射、特殊映射則稱則稱f是是S到

3、到 的一個的一個單射單射； /S如果如果S中不同元素的像也不同，中不同元素的像也不同，121212,()()a aS aaf af a 如果如果f 既是單射又是滿射，則稱既是單射又是滿射，則稱f 為為雙射雙射.1）若）若即對任意的即對任意的/,yS ，均存在，均存在如果如果/( ),f SS 存在存在,xS 使得使得( ),yf x 則稱則稱f 是是S到到 的的滿射滿射;/S即即假設(shè)有一個映射假設(shè)有一個映射/:.fSS 對有限集來說，兩集合之間存在雙射的充要條件對有限集來說，兩集合之間存在雙射的充要條件是它們所含元素的個數(shù)相同（單射條件是它們所含元素的個數(shù)相同（單射條件 ？）。？）。 對有限集

4、對有限集A及其真子集及其真子集B， A與與B之間不可能存在之間不可能存在雙射；但是對于無限集未必如此。雙射；但是對于無限集未必如此。例如例如 注釋注釋2 : 1,2,3,2,4,6,f( )2f nn 證明映射是單射和滿射的方法只有定義法，其中證明映射是單射和滿射的方法只有定義法，其中單射用定義的逆否命題，滿射相當(dāng)于解方程。單射用定義的逆否命題，滿射相當(dāng)于解方程。 /,fgSSS /:,gfSS( )( ( )gf ag f a 對任意映射對任意映射/:,fSS和映射復(fù)合定義容易驗證和映射復(fù)合定義容易驗證由單位變換由單位變換/,.SSfIfIff /,fghSSSS ()().hg fh gf

5、 映射相等滿足什么條映射相等滿足什么條件？件？/S,aS () ( )hg f a()( )h gfa()( )hgf a ( ( ( )h g f a ( ( ( )h g f a ( )h gf a /,fgSSSS /,SSfgIgfI 映射可逆的條件是什么？可逆映射的逆映射唯映射可逆的條件是什么？可逆映射的逆映射唯一嗎？函數(shù)中的反函數(shù)與此有關(guān)嗎？一嗎？函數(shù)中的反函數(shù)與此有關(guān)嗎？/:fSS/:,g SS/,.SSfgIgfI ,a bS ( )( ),f af b ( )SaIa ()( )gfa ( ( )g f a ( ( )g f b ( )gf b b /,aS /(),ag aS /( )( ()f af g a /()SIaa /()fg a /( ),f aa /,aS ,aS /a/,gSS /(),g aa /( ).f aa /,.SSfgIgfI 1.f /,fSS /;faa 1/,fSS 1/.faa 1f 1f 11().ff 111().gffg ,a bS ( )( ).gf agf b ( )( )g f ag f b ( )( )f af b ab /.fgSSS /.aS /gSS /()g aa /,aS /fSS /( )f aa ,aS ( )( ( )gf ag f a/()g a