塑性變形力學(xué)學(xué)習(xí)教案

1、塑性變形力學(xué)塑性變形力學(xué)(l xu)第一頁，共206頁。第1頁/共206頁第二頁，共206頁。外力外力(wil)(Load)(wil)(Load)與內(nèi)力與內(nèi)力(Internal force)(Internal force) 外力外力P P：指施加在變形體上的外部載荷?？梢裕褐甘┘釉谧冃误w上的外部載荷?？梢苑殖杀砻媪腕w積力兩大類。表面力即作用于工分成表面力和體積力兩大類。表面力即作用于工件表面的力件表面的力 ，它有集中，它有集中(jzhng)(jzhng)載荷和分布載載荷和分布載荷之分，一般由加工設(shè)備和模具提供。體積力則荷之分，一般由加工設(shè)備和模具提供。體積力則是作用于工件每一質(zhì)點(diǎn)上的力，是作

2、用于工件每一質(zhì)點(diǎn)上的力， 如重力、磁力如重力、磁力、慣性力等等。、慣性力等等。 內(nèi)力內(nèi)力Q Q：內(nèi)力是材料內(nèi)部所受的力，它的產(chǎn)生：內(nèi)力是材料內(nèi)部所受的力，它的產(chǎn)生來自于外界作用和物體內(nèi)維持自身完整性的力。來自于外界作用和物體內(nèi)維持自身完整性的力。 第2頁/共206頁第三頁，共206頁。應(yīng)力（應(yīng)力（StressStress）：應(yīng)力是單位）：應(yīng)力是單位(dnwi)(dnwi)面積上的內(nèi)力面積上的內(nèi)力 （見右圖）。（見右圖）。其定義式為：其定義式為：Sn=dF/dQSn=dF/dQQFSAnlim0第3頁/共206頁第四頁，共206頁。00000dPPSdFF0102020coscoscoscos1

3、sincos sinsin2PPSFFSSPP0CCQF0C1C1S0F1NQ單向(dn xin)均勻拉伸時(shí)任意截面上的應(yīng)力第4頁/共206頁第五頁，共206頁。.xxyxzijyyzz第5頁/共206頁第六頁，共206頁。第6頁/共206頁第七頁，共206頁。 ij ij xxxx、 xyxy、 xzxz、 yxyx、 yy yy、 yzyz、 zxzx、 zyzy、 zzzz i i應(yīng)力作用面的外法線應(yīng)力作用面的外法線(f xin)(f xin)方向方向 j j應(yīng)力分量本身作用的方向應(yīng)力分量本身作用的方向 當(dāng)當(dāng) i=j i=j 時(shí)為正應(yīng)力時(shí)為正應(yīng)力 i i、j j同號(hào)為正（拉應(yīng)力），異號(hào)為

4、負(fù)（壓應(yīng)力）同號(hào)為正（拉應(yīng)力），異號(hào)為負(fù)（壓應(yīng)力） 當(dāng)當(dāng) ij ij 時(shí)為剪應(yīng)力時(shí)為剪應(yīng)力 i i、j j同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù)同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù) 第7頁/共206頁第八頁，共206頁。任意面ABC其法線的方向余弦為N（l，m，n）設(shè)微分(wi fn)面ABC的面積為dF，則有OBC=dFx=ldFOCA=dFy=mdFOAB=dFz=ndF設(shè)：ABC上的全應(yīng)力(yngl)為S，其在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為 xyxzzyyzzxyxxyzABCxyzSyNSOdFSxSz任意斜切微分面上的應(yīng)力xsyszs第8頁/共206頁第九頁，共206頁。由靜力平衡(pnghng)得， 0 xP0ndFmdFldF

5、dFSzxyxxx0yP0ndFldFmdFdFSzyxyyy0zP0ldFmdFndFdFSzxzyzzmlnSnlmSnmlSyzxzzzzyxyyyzxyxxxxyxzzyyzzxyxxyzABCxyzSyNSOdFSxSz任意斜切微分面上的應(yīng)力第9頁/共206頁第十頁，共206頁。TzyxSSSS,令Tinmll,iijjlS則2222zyxSSSSnlmnlmnmlnSmSlSzxyzxyzyxzyx2222222 SxyzlxSySzSSjT=iijl剪應(yīng)力外力(wil)全應(yīng)力(yngl)全應(yīng)力(yngl)求和約定正應(yīng)力第10頁/共206頁第十一頁，共206頁。在xyz中為 ijx

6、yzjkliijlklll，k= xyzjkl為新坐標(biāo)軸在原坐標(biāo)系的方向(fngxing)余弦。3個(gè)坐軸，共9個(gè)。 ilmn元素(yun s)求合(qi h)約定xyzxxlXy z ),(zyxjil ljiij第11頁/共206頁第十二頁，共206頁。第12頁/共206頁第十三頁，共206頁。 主應(yīng)力（主應(yīng)力（Principal stress ）：指作用面上無切應(yīng)力時(shí)所對(duì)）：指作用面上無切應(yīng)力時(shí)所對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力，該作用面稱作應(yīng)的正應(yīng)力，該作用面稱作(chn zu)主平面，法線方向?yàn)橹髦髌矫?，法線方向?yàn)橹鬏S或主方向軸或主方向 該面叫做主平面，法線(f xin)方向?yàn)橹鞣较虻?3頁/共206頁第

7、十四頁，共206頁。在任意(rny)面上 iijjlSnlmnlmnmlnSmSlSzxyzxyzyxzyx2222222 S若=0，則為主應(yīng)力(yngl)平面，即主平面上S= nSmSlSzzyyxxnSmSlSzyxxyxzzyyzzxyxxyzSzS= ABCxyzSxSyN主平面上的應(yīng)力第14頁/共206頁第十五頁，共206頁。iilS將代入mlnSnlmSnmlSyzxzzzzyxyyyzxyxxx0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx得l=m=n=0 其一組解為 1222nml不成立(chngl)條件(tiojin)：系數(shù)行列式的值=0 0)()()(z

8、yzxzzyyxyzxyxx即02)()(22222223xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyx展開(zhn ki)(1zyxJ令)(2222zxyzxyxzzyyxJ22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxJ032213JJJ第15頁/共206頁第十六頁，共206頁。例題(lt)1物體中某一點(diǎn)(y din)的應(yīng)力張量為 解： 2100100100/10010ijMN m試求主應(yīng)力值及 ,(1,2,3)jJj 1()10 xyzJ2222()10 ( 10)( 10) 10 10 10 100200 xyyzzxxyyzzxJ 22232210 10 10(

9、10) 100 xyzxyyzzxxyzyzxzxyJ 32123320102000JJJ12320,0,10 101010-10第16頁/共206頁第十七頁，共206頁。解方程組得 123)(3211J1332212J3213J232221nml由主應(yīng)力表示的任意平面(pngmin)上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力 2222zyxSSSS2232221223222221222)(nmlnmlSSyNxyxzzyyzzxyxxyzABCxyzSOdFSxSz任意斜切微分面上的應(yīng)力zxyxzzyyzzxyxxyzSzS= ABCxySxSyN主平面上的應(yīng)力(yngl)第17頁/共206頁第十八頁，共206頁。

10、nSmSlSzyx1222nml1223322222211SSS213321ss1s2s3應(yīng)力橢球面第18頁/共206頁第十九頁，共206頁。主應(yīng)力圖第19頁/共206頁第二十頁，共206頁。1. 1. 可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的；可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的；2. 2. 三個(gè)主平面是相互正交的；三個(gè)主平面是相互正交的；3. 3. 三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根，不可能為虛根；三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根，不可能為虛根；4. 4. 應(yīng)力特征方程的解是唯一的；應(yīng)力特征方程的解是唯一的；5. 5. 對(duì)于給定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力不變量也具有唯一性對(duì)于給定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力不變量也具有唯一性; ;6.

11、6. 應(yīng)力第一不變量應(yīng)力第一不變量I1I1反映反映(fnyng)(fnyng)變形體體積變形的劇烈變形體體積變形的劇烈程程 度，與塑性變形無關(guān)；度，與塑性變形無關(guān)；I3I3也與塑性變形無關(guān)；也與塑性變形無關(guān)；I2I2與塑與塑性變形無關(guān)。性變形無關(guān)。7. 7. 應(yīng)力不變量不隨坐標(biāo)而改變，是點(diǎn)的確定性的判據(jù)。應(yīng)力不變量不隨坐標(biāo)而改變，是點(diǎn)的確定性的判據(jù)。第20頁/共206頁第二十一頁，共206頁。2232221223222221222)(nmlnmlS123為應(yīng)力(yngl)主軸 2221mln將代入上式232322312322322223212)()()()(mlml， 0l0m123123SN

12、第21頁/共206頁第二十二頁，共206頁。02202232232231323123223131mmllml討論(toln) 一組解為l=m=0，n=1，=0； 123=若球應(yīng)力(yngl)狀態(tài)，0 123 =若圓柱應(yīng)力(yngl)狀態(tài) 則由第一式得l= 21一般情況 123若若l0，m0，則上式必有 12=主平面 與前提條件不符，故這時(shí)無解 若l=0，m0，則聯(lián)解得m= 21則得此斜面的方向余弦為：l=0，m=n= 21若l 0，m=0，則聯(lián)解得l = 21則得此斜面的方向余弦為：m=0， l =n= 21則得此斜面的方向余弦為：n=0， l =m= 21第22頁/共206頁第二十三頁，共2

13、06頁。將上述方向余弦(yxin)分別代入 232221nml2232221223222221222)(nmlnmlS得 222211213313223最大剪應(yīng)力面上(min shn)的主應(yīng)力 222211213313223最大剪應(yīng)力221max主剪應(yīng)力01222112221122121245設(shè)021第23頁/共206頁第二十四頁，共206頁。01222112221122121245設(shè)021主切應(yīng)力(yngl)平面上的正應(yīng)力(yngl)第24頁/共206頁第二十五頁，共206頁。213232221813218)()()(3131)(31I28288P 在主應(yīng)力空間中，每一卦限中均有一組與三個(gè)坐

14、標(biāo)軸成在主應(yīng)力空間中，每一卦限中均有一組與三個(gè)坐標(biāo)軸成等傾角的平面，八個(gè)卦限共有等傾角的平面，八個(gè)卦限共有(n yu)(n yu)八組，構(gòu)成正八面八組，構(gòu)成正八面體面。八面體表面上的應(yīng)力為八面體應(yīng)力。體面。八面體表面上的應(yīng)力為八面體應(yīng)力。正應(yīng)力正應(yīng)力(yngl)(yngl)剪應(yīng)力剪應(yīng)力總應(yīng)力總應(yīng)力 八面體上的正應(yīng)力與塑性變形無關(guān)，剪應(yīng)力與塑性變形有關(guān)八面體上的正應(yīng)力與塑性變形無關(guān)，剪應(yīng)力與塑性變形有關(guān)。第25頁/共206頁第二十六頁，共206頁。88321,),(zyxjiij21,II28122(3 )3II關(guān)鍵關(guān)鍵(gunjin)第26頁/共206頁第二十七頁，共206頁。)()()(21

15、213232221e82/ 32222221()()()6()2exyyzzxxyyzzx 為了使不同應(yīng)力為了使不同應(yīng)力(yngl)(yngl)狀態(tài)具有可比性，定義了等效狀態(tài)具有可比性，定義了等效應(yīng)力應(yīng)力(yngl)e(yngl)e（Effective stress Effective stress ），也稱相當(dāng)應(yīng)力），也稱相當(dāng)應(yīng)力(yngl)(yngl)。應(yīng)變(yngbin)能相同的條件下或或公式：公式：第27頁/共206頁第二十八頁，共206頁。321以應(yīng)力主軸(zhzhu)為坐標(biāo)軸，作一斜微分面，其方向?yàn)閘，m，n則有 232221nml232322312322322223212)()(

16、)()(mlml1222nml)()()()()()(231323221232213231212322nml通過(tnggu)求解上述三個(gè)方程得第28頁/共206頁第二十九頁，共206頁。變換(binhun)形式得到 232312122232)2()()2(l213123222213)2()()2(m2212231322221)2()()2(ml以和為軸，表示上述方程(fngchng)的圖形，便有三個(gè)圓。 O213PP213232221L、m、n分別為定值的斜微分(wi fn)面上的、 的變化規(guī)律第29頁/共206頁第三十頁，共206頁。將l=0，m=0，n=0分別(fnbi)代入 23231

17、2122232)2()()2(l213123222213)2()()2(m2212231322221)2()()2(ml2322232)2()2(2132213)2()2(2212221)2()2(得 第30頁/共206頁第三十一頁，共206頁。 2 1yzx 3321231max maxO1 O2 O3 232221231O1：l=0，m，n變化(binhu)（，）軌跡O2：m=0，l，n變化(binhu)（，）軌跡O3：n=0，m，l變化(binhu)（，）軌跡 第31頁/共206頁第三十二頁，共206頁。1. 1. 等效的實(shí)質(zhì)？等效的實(shí)質(zhì)？ 是（彈性）應(yīng)變是（彈性）應(yīng)變(yngbin)(

18、yngbin)能等效（相當(dāng)于）。能等效（相當(dāng)于）。2. 2. 什么與什么等效？什么與什么等效？ 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡單應(yīng)力狀態(tài)（一維）等效。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡單應(yīng)力狀態(tài)（一維）等效。3. 3. 如何等效？如何等效？ 等效公式（注意：等效應(yīng)力是標(biāo)量，沒有作用面）。等效公式（注意：等效應(yīng)力是標(biāo)量，沒有作用面）。4. 4. 等效的意義？等效的意義？屈服的判別、變形能的計(jì)算、簡化問題的分析等。屈服的判別、變形能的計(jì)算、簡化問題的分析等。討論討論(toln)第32頁/共206頁第三十三頁，共206頁。5.3 5.3 應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量的分解(fnji)(fnji)與幾何表與幾何

19、表示示 塑性變形時(shí)體積變化為零，只有形狀變化。因此，可以把塑性變形時(shí)體積變化為零，只有形狀變化。因此，可以把ijij（Stress tensor Stress tensor ）分解成與體積變化有關(guān)的量和形狀變化有關(guān)的）分解成與體積變化有關(guān)的量和形狀變化有關(guān)的量。前者稱為應(yīng)力量。前者稱為應(yīng)力(yngl)(yngl)球張量球張量(Spherical stress tensor) (Spherical stress tensor) ，后者稱為應(yīng)力后者稱為應(yīng)力(yngl)(yngl)偏張量偏張量(Deviatoric stress tensor) (Deviatoric stress tensor)

20、。設(shè)。設(shè)mm為平均應(yīng)力為平均應(yīng)力(yngl)(yngl)，則有，則有1()3mxyz按照按照(nzho)(nzho)應(yīng)力疊加原理，應(yīng)力疊加原理，ijij具有可分解性。因此有具有可分解性。因此有()ijijmijmij ijmi j ( , , )i jx y z 式中，當(dāng)式中，當(dāng)i ij j時(shí)，時(shí)，ijij1 1；當(dāng)；當(dāng)ijij時(shí)，時(shí)，ijij0 0第33頁/共206頁第三十四頁，共206頁。100.0 10.00 1xxyxzxxyxzyyzyyzmzz,xxmyymzzm即即: : 上式第一項(xiàng)為應(yīng)力上式第一項(xiàng)為應(yīng)力(yngl)(yngl)偏張量，其主軸方向偏張量，其主軸方向與原應(yīng)力與原應(yīng)力

21、(yngl)(yngl)張量相同；第二項(xiàng)為應(yīng)力張量相同；第二項(xiàng)為應(yīng)力(yngl)(yngl)球張球張量，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力量，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力(yngl)(yngl)相同。相同。 值得一提的是，值得一提的是，mijmij只影響體積變化，不影響形狀只影響體積變化，不影響形狀變化，但它關(guān)系到材料塑性的充分發(fā)揮。三向壓應(yīng)力變化，但它關(guān)系到材料塑性的充分發(fā)揮。三向壓應(yīng)力(yngl)(yngl)有利于材料塑性的發(fā)揮。有利于材料塑性的發(fā)揮。第34頁/共206頁第三十五頁，共206頁。 應(yīng)力偏張量仍然是一個(gè)應(yīng)力偏張量仍然是一個(gè)(y )(y )二階對(duì)稱張量，同樣有三個(gè)不二階對(duì)稱張量，

22、同樣有三個(gè)不變量，分別為變量，分別為 ， ， 。1I2I3I1xyz2222222xyyzzxxyyzzx3ijI = + + =01I =( - ) +( - ) +( - ) +6( + + )6I = 10I 表明表明(biomng)(biomng)應(yīng)力偏張量已不含平均應(yīng)力成應(yīng)力偏張量已不含平均應(yīng)力成分；分；2I與屈服準(zhǔn)則與屈服準(zhǔn)則(zhnz)(zhnz)有關(guān)有關(guān)3I反映了變形的類型：反映了變形的類型： 0 0表示廣義拉伸變形，表示廣義拉伸變形， 0 0表示廣義剪切變形，表示廣義剪切變形，0 0表示廣義壓縮變形。表示廣義壓縮變形。3I3I3I第35頁/共206頁第三十六頁，共206頁。=

23、+=+mmmmmmyxzyxxyxzzxzyyz123123xyzyzyxxyxzzyzxa)b)應(yīng)力(yngl)張量應(yīng)力(yngl)球張量應(yīng)力(yngl)偏張量應(yīng)力張量的分解 任意坐標(biāo)系主軸坐標(biāo)系第36頁/共206頁第三十七頁，共206頁。根據(jù)應(yīng)力偏張量可以判斷變形(bin xng)的類型 應(yīng)力(yngl)狀態(tài)分析a) 簡單(jindn)拉伸b) 拉拔c) 擠壓=+-8-8-2-3-33-6-6-6-2-2444-2-2-1-1-1222-26=+=+-2第37頁/共206頁第三十八頁，共206頁。第38頁/共206頁第三十九頁，共206頁。5.4 5.4 應(yīng)力應(yīng)力(yngl)(yngl)平

24、衡微分方程平衡微分方程 應(yīng)力平衡微分方程就是物體任意無限相鄰兩點(diǎn)間應(yīng)力平衡微分方程就是物體任意無限相鄰兩點(diǎn)間ijij關(guān)系關(guān)系(gun x)(gun x)，可以通過微體沿坐標(biāo)軸力平衡來得到，一般應(yīng)力平，可以通過微體沿坐標(biāo)軸力平衡來得到，一般應(yīng)力平衡方程在不同坐標(biāo)系下有不同的表達(dá)式。衡方程在不同坐標(biāo)系下有不同的表達(dá)式。 直角坐標(biāo)下的應(yīng)力(yngl)平衡微分方程* 000 xyxxzyxyyzzyzxzxyzxyzxyz簡記作0iji( , )i jx y z第39頁/共206頁第四十頁，共206頁。0, 0, 0ZYX0, 0, 0zyxMMM221( )1( )()( ).1!2!f xf xf

25、 xdxf xxxxxfxf)()(xxxdxx第40頁/共206頁第四十一頁，共206頁。dzzzyzydxxxyxydyyyydzzzzdxxxxdxxxzxzdyyyxyxdyyyzyzdzzzxzxxyzyxzxzxyyzyxzyzxoQQ靜力平衡(pnghng)狀態(tài)下六面體上的應(yīng)力Q點(diǎn)處的應(yīng)力(yngl)狀態(tài)為 ij),(zyxfx如： 在dx面上 dxxdxxfdxxfzyxfzydxxfxx22221),(),(條件是應(yīng)力連續(xù)，一階連續(xù) 第41頁/共206頁第四十二頁，共206頁。不計(jì)體力(tl)，在y方向上有 dzzzyzydxxxyxydyyyydzzzzdxxxxdxxxz

26、xzdyyyxyxdyyyzyzdzzzxzxxyzyxzxzxyyzyxzyzxoQQ靜力平衡狀態(tài)(zhungti)下六面體上的應(yīng)力0)()()(dxdydzzdydzdxxdxdzdyyzyzyzyxyxyxyyyy0zyxzyyxy同理： 0zyxzxyxx0zyxzyzxz0iijx簡化(jinhu)記為 應(yīng)力未知量有6個(gè)，三個(gè)方程無法求確定解。 第42頁/共206頁第四十三頁，共206頁。010210)(11rzrrrzrrrzrrrzzzrzrzrrrzrrr第43頁/共206頁第四十四頁，共206頁。 物體變形時(shí)，內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)都在運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻所走的物體變形時(shí)，內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)都在

27、運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻所走的距離稱作位移距離稱作位移(Displacement) (Displacement) 。而變形則是指兩點(diǎn)間距的變化。而變形則是指兩點(diǎn)間距的變化。這種變化有絕對(duì)變形與相對(duì)變形之分。應(yīng)變。這種變化有絕對(duì)變形與相對(duì)變形之分。應(yīng)變(Strain)(Strain)屬相對(duì)變屬相對(duì)變形，它是由位移引起的。形，它是由位移引起的。 研究研究(ynji)(ynji)變形通常從小變形著手。小變形是指數(shù)量級(jí)不變形通常從小變形著手。小變形是指數(shù)量級(jí)不超過超過10-310-310-210-2的彈塑性變形。大變形可以劃分成若干小變形，的彈塑性變形。大變形可以劃分成若干小變形，由小變形疊加而來。由小變

28、形疊加而來。第44頁/共206頁第四十五頁，共206頁。231010rrxyyxABCPP1x0yx0yx0yA1A1C1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1xyyx2A1C1yxxyyx2單元體在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)變xrrrrx1xxrrxryryr第45頁/共206頁第四十六頁，共206頁。例題(lt)第46頁/共206頁第四十七頁，共206頁。xxrryyrrzzrrxyyxABCPP1x0yx0yx0yA1A1C1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1xyyx2A1C1yxxyyx2單元體在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)變xrrrrx1xxrrxryryr第47頁/共206頁第四十八頁，共2

29、06頁。工程(gngchng)剪應(yīng)變xyyxxy21剪應(yīng)變xyyxxy設(shè))(21yxxyyxxy則xyyxABCPP1x0yx0yx0yA1A1C1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1xyyx2A1C1yxxyyx2單元體在xoy坐標(biāo)(zubio)平面內(nèi)的應(yīng)變xrrrrx1xxrrxryryryxxyxyrrtan第48頁/共206頁第四十九頁，共206頁。xyyx這時(shí)，在和中已包含了剛體(gngt)轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)剛體(gngt)轉(zhuǎn)動(dòng)為 z則有)(21xyyxzzyxyxzxyxyyxxyxyOxy=+xyyxxy21ABCPABCPPCBAzxyxyzxy2切應(yīng)變(yngbin)和剛性轉(zhuǎn)動(dòng)第49

30、頁/共206頁第五十頁，共206頁。同理 zyyzyzxzzxzx)(21)(21)(21xzzxxzzxzyyzzyyzyxxyyxxy剪應(yīng)變 剛體(gngt)轉(zhuǎn)動(dòng) )(21)(21)(21xyyxzzxxzyyzzyx相對(duì)(xingdu)位移張量 xxyxzijyxyyzzxzyze一般(ybn)情況下 yxxyzyyzxzzx ijjiee111()()()222ijijjijiijjiijjieeeeeeee000 xxyxzzyijyxyyzzxzxzyzyxe變形張量 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量 第50頁/共206頁第五十一頁，共206頁。( , , )( , , )( , , )( , , )

31、iiuu x y zvv x y zww x y zuu x y z(,)iiiijiijuu xdx ydy zdzuudxuux x0yzM(xi) uwM1)(idxxMiu1Miiuuuvw變形(bin xng)體內(nèi)無限接近兩點(diǎn)的位移分量及位移增量第51頁/共206頁第五十二頁，共206頁。iijjuudxxuuududxdydzxyzvvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyz如果(rgu)MM平行于某X坐標(biāo)軸uudxxvvdxxwwdxxx0yzM(xi) uwM1)(idxxMiu1Miiuuuvw第52頁/共206頁第五十三頁，共206頁。ccbbuudxxvvdx

32、xuudyyyvdyyxy2xyyxd1dyuu+uc1db(x, y+dy)ubu+ubb1b2cC1C2+cdxu+b0 xy第53頁/共206頁第五十四頁，共206頁。ccxuuuuudxdxxbbyvvvvvdydyy1 21 2tan(1)1byxbuudybbuuuyyvva bvvdyvdyyy1yvy tanyxyxuyxy2xyyxd1dyuu+uc1db(x, y+dy)ubu+ubb1b2cC1C2+cdxu+b0 xy第54頁/共206頁第五十五頁，共206頁。12jiijjiuuxx小變形(bin xng)幾何方程 同理得 tanxyxyvx因而工程(gngchng)

33、切應(yīng)變?yōu)?xyyxyxxyuvyx則切應(yīng)變(yngbin)為 1()2xyyxuvyx同樣，單元體在可得單元體在yoz和zox 坐標(biāo)平面上投影的幾何關(guān)系1()21()21()2xxyyxyyzzyzzxxzuuvxyxvvwyzywwuzxziijujijiux第55頁/共206頁第五十六頁，共206頁。柱坐標(biāo)系下幾何柱坐標(biāo)系下幾何(j h)方程：方程：rrUr1rUUrrzzUz11()2rrrUUUrrr11()2zzzUUzr1()2rzzrrzUUzr第56頁/共206頁第五十七頁，共206頁。球坐標(biāo)系下幾何球坐標(biāo)系下幾何(j h)方程：方程：UUUUUUUUUUUUUUUsin121

34、ctg1sin121121cossinsin11 第57頁/共206頁第五十八頁，共206頁。討論討論(toln)第58頁/共206頁第五十九頁，共206頁。,xyyzzxn第59頁/共206頁第六十頁，共206頁。 如已知一點(diǎn)的應(yīng)變，要根據(jù)如已知一點(diǎn)的應(yīng)變，要根據(jù)(gnj)(gnj)幾何方程確定其幾何方程確定其三個(gè)位移分量時(shí)，六個(gè)應(yīng)變分量應(yīng)有一定的關(guān)系，才能保證三個(gè)位移分量時(shí)，六個(gè)應(yīng)變分量應(yīng)有一定的關(guān)系，才能保證物體的連續(xù)性。這種關(guān)系為變形連續(xù)方程或協(xié)調(diào)方程。物體的連續(xù)性。這種關(guān)系為變形連續(xù)方程或協(xié)調(diào)方程。 從幾何方程可導(dǎo)出以下二組變形連續(xù)方程。從幾何方程可導(dǎo)出以下二組變形連續(xù)方程。 第60

35、頁/共206頁第六十一頁，共206頁。yxzyxzzxyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzx222222222222222222212121zxxzyzzyxyyxxzzxzyyzyxxy變形連續(xù)變形連續(xù)(linx)方程：方程：第61頁/共206頁第六十二頁，共206頁。xux)()(22222yuyxxuyyxyvy)()(22222xvyxyvxxyyxxvyuyxxvyxyuyxyxxyxy222222222)()()( 第62頁/共206頁第六十三頁，共206頁。同理得 yxyxyzzyyxyxxyxyzyyzxyxy222222222222222212121上

36、式表示在每個(gè)坐標(biāo)(zubio)平面內(nèi)應(yīng)變分量之間的關(guān)系 不同的坐標(biāo)平面(pngmin)中應(yīng)變之間 233xuuy zx y zx y z 尋找22332111222xyuvuvx yx zxx y zx z 22223332222221212xyxux y zx zx yvwxzxyvwxzyx 2222()xyyzxxzxyyzxzx yx zx yxxzyx 第63頁/共206頁第六十四頁，共206頁。22()()yyxxzxzyzxyzxzx zyxzyx yzyxz 同理得 ij自動(dòng)滿足連續(xù)(linx)方程（6個(gè)） ij積分必須滿足全微分條件(tiojin)，變形才是協(xié)調(diào)的 第64頁/

37、共206頁第六十五頁，共206頁。第65頁/共206頁第六十六頁，共206頁。xijxyyxzyzz( i, j = x, y, z ) 點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)(zhungti)(zhungti)：指過某一點(diǎn)任意方向上：指過某一點(diǎn)任意方向上的正應(yīng)變與切應(yīng)變的有無情況?？捎迷擖c(diǎn)截取的無限小的正應(yīng)變與切應(yīng)變的有無情況。可用該點(diǎn)截取的無限小單元體的各棱長及棱間夾角的變化來表示。單元體的各棱長及棱間夾角的變化來表示。表示表示(biosh)成張量形式：成張量形式：第66頁/共206頁第六十七頁，共206頁。NMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui

38、+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向線元的應(yīng)變第67頁/共206頁第六十八頁，共206頁。2222,dxdydzlmnrrrrdxdydz現(xiàn)求ab方向(fngxing)上的線應(yīng)變 221222()()()()rrdrdxdudydvdzdwrdrdxdudydvdzdwrrdrdudvdwlmnrrrruuududxdydzxyzvvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyzNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向線元的應(yīng)變第68頁/共206頁第六十九頁，共206頁

39、。222222()()()2()rxyzxyyzzxuvwuvvwwulmnlmmnnlxyzyxzyxzlmnlmmnnlNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向線元的應(yīng)變第69頁/共206頁第七十頁，共206頁。下面求ab變形(bin xng)后的偏轉(zhuǎn)角 r222221122()irrduNbMbNMrrr22222111iNMNbMbduMb1tanrrNMNMa Mr1rdrMbrr121122jjiiijjjjiijjiijjjijiuuuududxdxxxxxuuuudxdxx

40、xxx12jiijijjjiuududxdxxx 222()rirdu11a Ma NrNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向線元的應(yīng)變第70頁/共206頁第七十一頁，共206頁。)(21)(21)(21xyyxzzxxzyyzzyxjijiux12yxzyxuuxxNMb1(xi +dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+ dxi)ui+duiduir1r1=+drr0 xyz任意方向線元的應(yīng)變第71頁/共206頁第七十二頁，共206頁。0Vdxdydzdxdy

41、dz1(1)(1)(1)(1)xxyyzzxyzxyzVdddd d d變形(bin xng)前 變形(bin xng)后 100 xyzVVV體積變化率 xdx第72頁/共206頁第七十三頁，共206頁。Poissons rationWhen an object is under tensile stress, it usually gets longer and thinnernhence, there is a negative strain in the direction perpendicular to the applied stresslz/2l0 xlx/2l0z xz yz

42、 if material is isotropicsince the two strains are always of opposite sign, Poissons ratio is always positive彈性(tnxng)變形00.5 塑性變形=0.5 第73頁/共206頁第七十四頁，共206頁。0ijii只有(zhyu) xxyxzijyxyyzzxzyz其特征方程為 321230III1123212233 122231230()()2()XyzXyyzzXXyzxyyzzxXyzyzxzxyIIIr vv 應(yīng)變張量不變量 第74頁/共206頁第七十五頁，共206頁。主剪應(yīng)變

43、1212232331311()21()21()2rrr 方向(fngxing)為與主應(yīng)變方向(fngxing)成 45max12, 23, 31maxrr r r應(yīng)變莫爾圓，類似(li s)應(yīng)力莫爾圓 O3OO1O2123121323221232213應(yīng)變(yngbin)莫爾圓12312331c) 伸長類變形b) 剪切(平面)類變形a) 壓縮類變形三種變形類型第75頁/共206頁第七十六頁，共206頁。12311110333xyzIm（ ）= （ ）=塑性變形 00 xmxyxzmijyxymyzmijijmzxzyzmm 則 應(yīng)變偏張量反映形狀(xngzhun)變化 應(yīng)變球張量反映體積(tj

44、)變化 第76頁/共206頁第七十七頁，共206頁。八面體應(yīng)變(yngbin) 123222222222122331131()()()6()31()()()3xyyzzxxyyzzx 8m8（ ）=等效應(yīng)(xioyng)變：（廣義應(yīng)變，應(yīng)變強(qiáng)度） 22222222212233122()()()6()32()()()3xyyzzxxyyzzx8第77頁/共206頁第七十八頁，共206頁。全量應(yīng)變與增量應(yīng)變的概念全量應(yīng)變與增量應(yīng)變的概念 前面所討論的應(yīng)變是反映單元體在某一變形過程終了前面所討論的應(yīng)變是反映單元體在某一變形過程終了時(shí)的變形大小，稱作全量應(yīng)變。而增量應(yīng)變則是指變形過時(shí)的變形大小，稱作全

45、量應(yīng)變。而增量應(yīng)變則是指變形過程中某一極短階段的無限小應(yīng)變，其度量基準(zhǔn)不是程中某一極短階段的無限小應(yīng)變，其度量基準(zhǔn)不是(b (b shi)shi)原始尺寸，而是變形過程中某一瞬間的尺寸。原始尺寸，而是變形過程中某一瞬間的尺寸。第78頁/共206頁第七十九頁，共206頁。簡記(jin j)為 速度場即是位移的函數(shù)(hnsh)又是時(shí)間的函數(shù)(hnsh) tttuutuuii),(),(),(tzyxtzyxtzyxuu),(tzyxuuii 第79頁/共206頁第八十頁，共206頁。位移(wiy)增量和應(yīng)變?cè)隽克俣?sd)分量簡記(jin j)位移增量可看成小應(yīng)變位移，形式上與小應(yīng)變幾何方程相同x

46、yzduu1p pp0dtuduttttuutuuiizduxdddydzdddxdyduddxzzxxyyzyzxy)()(21)()(21)()(21zddyddxdudzyx)()()(第80頁/共206頁第八十一頁，共206頁。簡記(jin j)應(yīng)變(yngbin)增量場d表示(biosh)應(yīng)變?cè)隽?，不是微分?hào) 無限小變形 123123122331,ddddI dIdI dddijjiijxudxudd)()(21xxyxzijyyzxddddddd第81頁/共206頁第八十二頁，共206頁。單位(dnwi)時(shí)間的應(yīng)變 應(yīng)變(yngbin)速度（1/s） 11()()211()()21

47、2ijijijjiijjijijiddududtxxdtu dtu dtxxdtuuxx5.8 5.8 應(yīng)變應(yīng)變(yngbin)(yngbin)速度速度第82頁/共206頁第八十三頁，共206頁。ijijddtzduxdddydzdddxdyduddxzzxxyyzyzxy)()(21)()(21)()(21zddyddxdudzyx)()()(ijijdtdxxyxzijyyzz第83頁/共206頁第八十四頁，共206頁。例題(lt)h=100mm01/umm s 2110 xs 錘鍛050009000/umm s 1(5090)xs 單向均勻壓縮時(shí)的位移速度hx00u uhuxuxx0 x

48、huux0 第84頁/共206頁第八十五頁，共206頁。 主變形圖是定性判斷塑性變形類型主變形圖是定性判斷塑性變形類型(lixng)(lixng)的圖示方法的圖示方法。主變形圖只可能有三種形式：。主變形圖只可能有三種形式：第85頁/共206頁第八十六頁，共206頁。 變形體內(nèi)一點(diǎn)的主應(yīng)力圖與主應(yīng)變圖結(jié)合變形體內(nèi)一點(diǎn)的主應(yīng)力圖與主應(yīng)變圖結(jié)合(jih)(jih)構(gòu)構(gòu)成變形力學(xué)圖。它形象地反映了該點(diǎn)主應(yīng)力、主應(yīng)變有成變形力學(xué)圖。它形象地反映了該點(diǎn)主應(yīng)力、主應(yīng)變有無和方向。主應(yīng)力圖有無和方向。主應(yīng)力圖有9 9種可能，塑性變形主應(yīng)變有種可能，塑性變形主應(yīng)變有3 3種種可能，二者組合，則有可能，二者組合，

49、則有2727種可能的變形力學(xué)圖。但單拉種可能的變形力學(xué)圖。但單拉、單壓應(yīng)力狀態(tài)只可能分別對(duì)應(yīng)一種變形圖，所以實(shí)際、單壓應(yīng)力狀態(tài)只可能分別對(duì)應(yīng)一種變形圖，所以實(shí)際變形力學(xué)圖應(yīng)該只有變形力學(xué)圖應(yīng)該只有2323種組合方式。種組合方式。 變形變形(bin xng)(bin xng)力學(xué)圖力學(xué)圖第86頁/共206頁第八十七頁，共206頁。第87頁/共206頁第八十八頁，共206頁。第88頁/共206頁第八十九頁，共206頁。mijijIIIzyxji,), (88max321321mijijJJJzyxji,), (88max321321相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似性：張量表示、張量分析、張

50、量關(guān)系(gun x)相似相似第89頁/共206頁第九十頁，共206頁。差異性：差異性：第90頁/共206頁第九十一頁，共206頁。（ 泊松比）213232221)()()()1 ( 22e213232221)()()(32e等效等效(dn xio)關(guān)系：關(guān)系：第91頁/共206頁第九十二頁，共206頁。1 1應(yīng)力分析應(yīng)力分析 外力、內(nèi)力、應(yīng)力概念；外力、內(nèi)力、應(yīng)力概念； 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念、描述方法與性質(zhì)；斜面應(yīng)力的確定點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念、描述方法與性質(zhì)；斜面應(yīng)力的確定(qudng)(qudng)；應(yīng)力張量定義；應(yīng)力不變量；主應(yīng)力圖；應(yīng)力張量分；應(yīng)力張量定義；應(yīng)力不變量；主應(yīng)力圖；應(yīng)力張量分解；解

51、； 應(yīng)力平衡微分方程。應(yīng)力平衡微分方程。第92頁/共206頁第九十三頁，共206頁。2 2應(yīng)變分析應(yīng)變分析 位移、位移增量、應(yīng)變、幾何方程；位移、位移增量、應(yīng)變、幾何方程； 點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)概念、描述方法；任意方向上應(yīng)變的確定；應(yīng)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)概念、描述方法；任意方向上應(yīng)變的確定；應(yīng)變張量與不變量；特殊應(yīng)變；應(yīng)變張量分解；變張量與不變量；特殊應(yīng)變；應(yīng)變張量分解； 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程概念與意義，塑性變形應(yīng)變協(xié)調(diào)方程概念與意義，塑性變形(bin xng)(bin xng)體積不變體積不變，變形，變形(bin xng)(bin xng)力學(xué)圖；力學(xué)圖； 應(yīng)變速度張量定義、意義；應(yīng)變速度張量定義、意義； 應(yīng)變?cè)隽?/p>

52、定義、意義，全量應(yīng)變與增量應(yīng)變關(guān)系。應(yīng)變?cè)隽慷x、意義，全量應(yīng)變與增量應(yīng)變關(guān)系。第93頁/共206頁第九十四頁，共206頁。第94頁/共206頁第九十五頁，共206頁。設(shè)z方向(fngxing)上無應(yīng)變則=0 0zzxyzxux1()2xyyxvuxyyvy0 xyzxy 1221OL(0,1)M(0,-1)0 xy1112純切應(yīng)力狀態(tài)及其應(yīng)力莫爾圓第95頁/共206頁第九十六頁，共206頁。在z方向(fngxing)上， 0zz方向上有無(yu w)應(yīng)力？ 0zxzy平面變形時(shí)，與z軸垂直的平面始終(shzhng)不會(huì)傾斜和扭曲 1()2z2xymz方向必為主方向 01()21()2xyxx

53、yzyyxzdddddd證明 平面塑性變形時(shí) 1()2zxy,zxy與不獨(dú)立1()2mxyzz平面應(yīng)變只有三個(gè)獨(dú)立應(yīng)變分量 00 xyxyxyxyyy平面塑性變形時(shí)平衡方程 第96頁/共206頁第九十七頁，共206頁。),(yxfij3zxzy當(dāng)=0 ，i，j=x，y Yyxxyx=xy x xy yO y xy x xyOn2212221)2()2(根據(jù)(gnj)應(yīng)力莫爾圓得第97頁/共206頁第九十八頁，共206頁。yxJ2112212xyyxJ由于(yuy)則有： 2222)2()2(xyyxyx2212221)2()2(21221max maxO221第98頁/共206頁第九十九頁，共

54、206頁。切應(yīng)力(yngl)順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)xyE(y, yx )0N(0, )22yB(x , xy)x2D12yx設(shè)xy0 xyACyxxyyxN0 xySxSSyxyyx yx 第99頁/共206頁第一百頁，共206頁。222112)2(2xyyxyxxy2arctan212221)2(2xyyxyx2cos222121x2cos222121yAB=R=max=12OD+R=12OD-R=22)2(xyyxR=22)(BCDC=xyE(y, yx )0N(0, )22yB(x , xy)x2D12yx第100頁/共206頁第一百零一頁，共206頁。 x xy yxyOn O A(

55、x , xy)B( y , yx)2 nD(, xC第101頁/共206頁第一百零二頁，共206頁。平面應(yīng)力狀態(tài)下的平衡(pnghng)方程為 00yxyxyxyyxxxy x xy yO y xy x xyOn第102頁/共206頁第一百零三頁，共206頁。5.10 5.10 金屬塑性變形過程金屬塑性變形過程(guchng)(guchng)和力學(xué)和力學(xué)特點(diǎn)特點(diǎn)變形過程與特點(diǎn)變形過程與特點(diǎn) 以單向拉伸為例說明塑性變形過程與特點(diǎn)，如圖以單向拉伸為例說明塑性變形過程與特點(diǎn)，如圖2-1所示。金屬變形分為彈性、均勻塑性變形、破裂三個(gè)階段。所示。金屬變形分為彈性、均勻塑性變形、破裂三個(gè)階段。 時(shí)， 。

56、sE 當(dāng)當(dāng) 以后，變形視作塑性階段。以后，變形視作塑性階段。 是非線性關(guān)系。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到是非線性關(guān)系。當(dāng)應(yīng)力達(dá)到 之后，變形轉(zhuǎn)為不均勻塑性變形，呈不穩(wěn)定狀態(tài)。經(jīng)短暫的不穩(wěn)定變形，試樣以斷裂告終。之后，變形轉(zhuǎn)為不均勻塑性變形，呈不穩(wěn)定狀態(tài)。經(jīng)短暫的不穩(wěn)定變形，試樣以斷裂告終。sb 若在均勻塑性變形階段出現(xiàn)卸載現(xiàn)象，一部分變形得以恢復(fù)，另一部分則成為永久變形。卸載階段若在均勻塑性變形階段出現(xiàn)卸載現(xiàn)象，一部分變形得以恢復(fù)，另一部分則成為永久變形。卸載階段 呈線性關(guān)系。這說明了塑性變形時(shí)，彈性變形依然存在。呈線性關(guān)系。這說明了塑性變形時(shí)，彈性變形依然存在。彈塑性共存彈塑性共存與與加載卸載過程不同的加載卸

57、載過程不同的 關(guān)系關(guān)系是塑性變形的兩個(gè)基本特征。是塑性變形的兩個(gè)基本特征。 第103頁/共206頁第一百零四頁，共206頁。 由于加載、卸載規(guī)律不同，導(dǎo)致由于加載、卸載規(guī)律不同，導(dǎo)致 關(guān)系不唯一。只有知道變形關(guān)系不唯一。只有知道變形歷史，才能得到一一對(duì)應(yīng)的歷史，才能得到一一對(duì)應(yīng)的 關(guān)系，即塑性變形與變形歷史或路徑關(guān)系，即塑性變形與變形歷史或路徑有關(guān)。這是有關(guān)。這是第第3 3個(gè)重要特征個(gè)重要特征。 事實(shí)上，事實(shí)上， 以后的點(diǎn)都可以看成是重新加載時(shí)的屈服點(diǎn)。以以后的點(diǎn)都可以看成是重新加載時(shí)的屈服點(diǎn)。以g點(diǎn)點(diǎn)為例，若卸載則為例，若卸載則 關(guān)系為彈性。卸載后再加載，只要關(guān)系為彈性。卸載后再加載，只要

58、點(diǎn)，點(diǎn)， 關(guān)系仍為彈性。一旦超過關(guān)系仍為彈性。一旦超過g點(diǎn)，點(diǎn)， 呈非線性關(guān)系，即呈非線性關(guān)系，即g點(diǎn)也是點(diǎn)也是彈塑性變形的交界點(diǎn)，視作繼續(xù)屈服點(diǎn)。一般有彈塑性變形的交界點(diǎn)，視作繼續(xù)屈服點(diǎn)。一般有 ，這一現(xiàn)象為，這一現(xiàn)象為硬化或強(qiáng)化，是塑性變形的硬化或強(qiáng)化，是塑性變形的第第4 4個(gè)顯著特點(diǎn)個(gè)顯著特點(diǎn)。sgsg 在簡單壓縮下，忽略摩擦影響，得到的壓縮在簡單壓縮下，忽略摩擦影響，得到的壓縮 與拉伸與拉伸 基本相基本相同。但是若將拉伸屈服后的試樣經(jīng)卸載并反向加載至屈服，反向屈服同。但是若將拉伸屈服后的試樣經(jīng)卸載并反向加載至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先壓后拉也有類似現(xiàn)象。這種正向變形強(qiáng)一般

59、低于初始屈服。同理，先壓后拉也有類似現(xiàn)象。這種正向變形強(qiáng)化導(dǎo)致后繼反向變形軟化的現(xiàn)象稱作化導(dǎo)致后繼反向變形軟化的現(xiàn)象稱作Bauschinger效應(yīng)。這是金屬微觀效應(yīng)。這是金屬微觀組織變化所致。一般塑性理論分析不考慮組織變化所致。一般塑性理論分析不考慮Bauschinger效應(yīng)。效應(yīng)。 Bridgman等人在不同的靜水壓力容器中做單向拉伸試驗(yàn)。結(jié)果表等人在不同的靜水壓力容器中做單向拉伸試驗(yàn)。結(jié)果表明：靜水壓力只引起物體的體積彈性變形，在靜水壓力不很大的情況明：靜水壓力只引起物體的體積彈性變形，在靜水壓力不很大的情況下（與屈服極限同數(shù)量級(jí)）所得拉伸曲線與簡單拉伸幾乎一致，說明下（與屈服極限同數(shù)量級(jí)

60、）所得拉伸曲線與簡單拉伸幾乎一致，說明靜水壓力對(duì)塑性變形的影靜水壓力對(duì)塑性變形的影響可以忽略。響可以忽略。 ss第104頁/共206頁第一百零五頁，共206頁。第105頁/共206頁第一百零六頁，共206頁。5.11 5.11 塑性塑性(sxng)(sxng)條條件方程件方程第106頁/共206頁第一百零七頁，共206頁。ijf()=C式中式中C是與材料性質(zhì)有關(guān)是與材料性質(zhì)有關(guān)(yugun)而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)的而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)的常數(shù)常數(shù)第107頁/共206頁第一百零八頁，共206頁。123,f()=C （2-35a）討論討論(tol(toln)n)： ijf()Cijf()Cijf()C質(zhì)點(diǎn)處于