高考數(shù)學復習專題-函數(shù)與導數(shù)綜合（解析版）

1、專題20 函數(shù)與導數(shù)綜合【母題來源一】【2019年高考全國卷理數(shù)】已知函數(shù)，為的導數(shù)證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；（2）有且僅有2個零點【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）設，則，.當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，設為.則當時，；當時，.所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.（2）的定義域為.（i）當時，由（1）知，在單調遞增，而，所以當時，故在單調遞減，又，從而是在的唯一零點.（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，而，所以存在，使得，且當時，；當時，.故在單調遞增，在單調遞減.又，所以當時，.從而，在沒有零點.（iii）

2、當時，所以在單調遞減.而，所以在有唯一零點.（iv）當時，所以<0，從而在沒有零點.綜上，有且僅有2個零點.【名師點睛】本題考查導數(shù)與函數(shù)極值之間的關系、利用導數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)的問題.解決零點問題的關鍵一方面是利用零點存在性定理或最值點來說明存在零點，另一方面是利用函數(shù)的單調性說明在區(qū)間內零點的唯一性，二者缺一不可.【母題來源二】【2018年高考全國卷理數(shù)】已知函數(shù)（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，證明：【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）的定義域為，.（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減.（ii）若，令得，或.當時，；當時，.所以在單調遞減，在單調遞增.

3、（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設，則.由于，所以等價于.設函數(shù)，由（1）知，在單調遞減，又，從而當時，.所以，即.【名師點睛】該題考查的是應用導數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及的知識點有應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、應用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及極值所滿足的條件，在解題的過程中，需要明確導數(shù)的符號對單調性的決定性作用，再者就是要先確定函數(shù)的定義域，要對參數(shù)進行討論，還有就是在做題的時候，要時刻關注第一問對第二問的影響，通過構造新函數(shù)來解決問題的思路要明確.【母題來源三】【2017年高考全國卷理數(shù)】已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.【答案

4、】（1）見解析；（2）.【解析】（1）的定義域為，（）若，則，所以在單調遞減.（）若，則由得.當時，；當時，所以在單調遞減，在單調遞增.（2）（）若，由（1）知，至多有一個零點.（）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.當時，由于，故只有一個零點；當時，由于，即，故沒有零點；當時，即.又，故在有一個零點.設正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.綜上，的取值范圍為.【名師點睛】研究函數(shù)零點問題常常與研究對應方程的實數(shù)根問題相互轉化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法

5、是直接對含參函數(shù)進行研究，研究其單調性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點.【命題意圖】考查導數(shù)的概念、導數(shù)公式、求導法則、導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的應用，考查數(shù)學式子的變形能力、運算求解能力、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想及分析問題與解決問題的能力【命題規(guī)律】從全國看，高考在逐年加大對導數(shù)問題的考查力度，問題的難度、深度與廣度在不斷加大，對本部分的要求一般有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數(shù)的幾何意義；第二層次是導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，如零點、

6、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)等，包括解決應用問題，將導數(shù)內容和傳統(tǒng)內容中有關不等式、數(shù)列及函數(shù)單調性有機結合，設計綜合題.【答題模板】求解應用導數(shù)研究函數(shù)的性質問題的一般思路：第一步：牢記求導法則，正確求導.在函數(shù)與導數(shù)類解答題中，通常都會涉及求導，正確的求導是解題關鍵，因此要牢記求導公式，做到正確求導，解題時應先寫出函數(shù)定義域 第二步：研究（1）（2）問的關系，注意利用第（1）問的結果.在題設條件下，如果第（1）問的結果第（2）問能用得上，可以直接用，有些題目不用第（1）問的結果甚至無法解決第三步：根據(jù)條件，尋找或構造目標函數(shù)，注意分類討論.高考中函數(shù)與導數(shù)解答題，一般都會涉及分類討論，并

7、且討論的步驟也是得分點，所以一定要重視分類討論第四步：選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蠼?，注意寫全得分關鍵：在函數(shù)與導數(shù)問題中，求導的結果、分類討論的條件、單調區(qū)間、零點等一些關鍵式子和結果都是得分點，在解答時一定要寫清楚【方法總結】1.函數(shù)的單調性及應用是高考中的一個重點內容，常見的題型及其解法如下：（1）利用導數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調性，實質上就是判斷或證明不等式（）在給定區(qū)間上恒成立一般步驟為：求f (x)；確認f (x)在(a，b)內的符號；作出結論，時為增函數(shù)，時為減函數(shù)注意：研究含參數(shù)函數(shù)的單調性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論（2）在利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間時，

8、首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內討論，定義域為實數(shù)集可以省略不寫.在對函數(shù)劃分單調區(qū)間時，除必須確定使導數(shù)等于零的點外，還要注意在定義域內的不連續(xù)點和不可導點.（3）由函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍的方法可導函數(shù)在某一區(qū)間上單調，實際上就是在該區(qū)間上(或)(在該區(qū)間的任意子區(qū)間內都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；可導函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調性問題轉化成了不等式問題；若已知在區(qū)間I上的單調性，區(qū)間I中含有參數(shù)時，可先求出的單調區(qū)間，令I是其單調區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的

9、取值范圍.（4）利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，一般先由零點的存在性定理說明在所求區(qū)間內至少有一個零點，再利用導數(shù)判斷在所給區(qū)間內的單調性，由此求解.2.函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略（1）函數(shù)極值的判斷：先確定導數(shù)為0的點，再判斷導數(shù)為0的點的左、右兩側的導數(shù)符號（2）求函數(shù)極值的方法：確定函數(shù)的定義域求導函數(shù)求方程的根檢查在方程的根的左、右兩側的符號，確定極值點如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果在這個根的左、右兩側符號不變，則在這個根處沒有極值（3）利用極值求參數(shù)的取值范圍：確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)，求方程的根的情況，得關于參數(shù)的方程(或不

10、等式)，進而確定參數(shù)的取值或范圍.3.求函數(shù)f (x)在a，b上最值的方法（1）若函數(shù)f (x)在a，b上單調遞增或遞減，則f (a)與f (b)一個為最大值，一個為最小值（2）若函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)內有極值，先求出函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)上的極值，與f (a)、f (b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值（3）函數(shù)f (x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個極值點時，這個極值點就是最大(或最小)值點注意：（1）若函數(shù)中含有參數(shù)時，要注意分類討論思想的應用.（2）極值是函數(shù)的“局部概念”，最值是函數(shù)的“整體概念”，函數(shù)的極值不一定是最值，函數(shù)的最值也不一定是極值.要注意

11、利用函數(shù)的單調性及函數(shù)圖象直觀研究確定.4.利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法：（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.（2）函數(shù)思想法：將不等式轉化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構建不等式求解.1【河南省八市重點高中聯(lián)盟“領軍考試”2019屆高三第五次測評數(shù)學】已知函數(shù)，曲線在點處的切線為.（1）求，的值；（2）若對任意的，恒成立，求正整數(shù)的最大值.【答案】（1），；（2）3.【解析】（1）由得：，由切線方程可知：，解得：，.

12、（2）由（1）知，則時，恒成立等價于時，恒成立，令，則.令，則，當時，則單調遞增，使得，當時，；時，即正整數(shù)的最大值為.【名師點睛】本題考查根據(jù)在某一點處的切線方程求解函數(shù)解析式、利用導數(shù)解決恒成立問題.解決恒成立問題的關鍵是能夠通過分離變量的方式將問題轉化為參數(shù)與函數(shù)最值的關系，利用導數(shù)求得函數(shù)的最值，從而求得結果.2【陜西省2019屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學】已知函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=x2，aR.（1）求函數(shù)f(x)的極值點；（2）若f(x)g(x)恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）極大值點為1a，無極小值點.（2）a-1.【解析】（1）的定義域為0,+，f'x=1x

13、-a，當a0時，f'x=1x-a>0，所以fx在0,+上單調遞增，無極值點；當a>0時，解f'x=1x-a>0得0<x<1a，解f'x=1x-a<0得x>1a，所以fx在0,1a上單調遞增，在1a,+上單調遞減，所以函數(shù)fx有極大值點，為1a，無極小值點.（2）由條件可得lnx-x2-ax0(x>0)恒成立，則當x>0時，alnxx-x恒成立，令hx=lnxx-x(x>0)，則h'x=1-x2-lnxx2，令kx=1-x2-lnx(x>0)，則當x>0時，k'x=-2x-1x<

14、0，所以kx在0,+上為減函數(shù).又k1=0，所以在0,1上，h'x>0；在1,+上，h'x<0.所以hx在0,1上為增函數(shù)，在1,+上為減函數(shù)，所以hxmax=h1=-1，所以a-1.【名師點睛】對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù).3【山東省濟寧市2019屆高三二模數(shù)學】已知函數(shù)f(x)=lnx-xex+ax(aR).（1）若函數(shù)f(x)在1,+)上單調遞減，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若a=1，求f(x)的最大值.

15、【答案】（1）a2e-1；（2）f(x)max=-1.【解析】（1）由題意知，f'(x)=1x-(ex+xex)+a =1x-(x+1)ex+a0在1,+)上恒成立，所以a(x+1)ex-1x在1,+)上恒成立.令g(x)=(x+1)ex-1x，則g'(x)=(x+2)ex+1x2>0，所以g(x)在1,+)上單調遞增，所以g(x)min=g(1)=2e-1，所以a2e-1.（2）當a=1時，f(x)=lnx-xex+x(x>0).則f'(x)=1x-(x+1)ex+1=(x+1)(1x-ex)，令m(x)=1x-ex，則m'(x)=-1x2-ex&

16、lt;0，所以m(x)在(0,+)上單調遞減.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x0>0滿足m(x0)=0，即ex0=1x0.當x(0,x0)時，m(x)>0，f'(x)>0；當x(x0,+)時，m(x)<0，f'(x)<0.所以f(x)在(0,x0)上單調遞增，在(x0,+)上單調遞減.所以f(x)max=fx0=lnx0-x0ex0+x0，因為ex0=1x0，所以x0=-lnx0，所以f(x0)=-x0-1+x0=-1，所以f(x)max=-1.【名師點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，最值，零點存在性定理及其應用，

17、分類討論的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.4【湖南省師范大學附屬中學2019屆高三下學期模擬（三）】已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設，當時，對任意，存在，使得，證明：.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，由，得或.當即時，由得，由得或；當即時，當時都有；當時，單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是，；當時，單調增區(qū)間是，沒有單調減區(qū)間.（2）當時，由（1）知在上單調遞減，在上單調遞增，從而在上的最小值為.對任意，存在，使得，即存在，使的值不超過在區(qū)間上的最小值.由得，.令，則當時，.，當時；當時，.故在上單調遞減，從而，從而得證.【名師點

18、睛】本題考查函數(shù)的單調區(qū)間，不等式有解及恒成立問題，分離參數(shù)求最值問題，轉化與化歸能力，是中檔題.5【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷性測試（一模）數(shù)學】已知函數(shù)，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）設函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，討論的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值【答案】（1）；（2）當時，在上單調遞增，無極值；當時，在和單調遞增，在單調遞減，極大值為，極小值為.【解析】（1）由題意，所以當時，因此曲線在點處的切線方程是，即.（2）因為，所以，令，則，令得，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以當時，也就說，對于恒有.當時，在上單調遞增，無極值；當時，令，可得當或時，單調遞增

19、，當時，單調遞減，因此，當時，取得極大值；當時，取得極小值.綜上所述：當時，在上單調遞增，無極值；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值為，極小值為.【名師點睛】本題考查了函數(shù)的單調性，極值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題6【湖北省荊門市沙洋中學、龍泉中學、鐘祥一中、京山一中四校2019屆高三下學期六月考前模擬】已知函數(shù)，.（1）當時，求的最小值；（2）若有兩個零點，求參數(shù)的取值范圍【答案】（1）0；（2）.【解析】（1），定義域為，當時，由于在上恒成立，故在上單調遞減，在上單調遞增，故.（2），當時，在上單調遞減，在上單調遞增，則，

20、只有一個零點；當時，故在上恒成立，故在上單調遞減，在上單調遞增，則，故當時，沒有零點；當時，令，得令，則在上單調遞減，在上單調遞增，故，在上有兩個零點且，則在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，又，此時有兩個零點，綜上，有兩個零點，則.【名師點睛】本題考查了導函數(shù)的應用，導數(shù)與函數(shù)零點的問題，掌握好分類討論思想和導函數(shù)的應用是解題的關鍵，屬于難題.7【河南省名校-鶴壁高中2019屆高三壓軸第二次考試數(shù)學】已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)（其中為的導數(shù)）；（2）若關于的不等式在上恒成立，試求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）只有一個零點；（2）.【解析】（1）函數(shù)的導數(shù)，則

21、在區(qū)間上單調遞增，又，則函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點.（2）若關于的不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，則只需，的導數(shù)，由的導數(shù)為，可得時，函數(shù)單調遞增，時，函數(shù)單調遞減，則，即，當時，則在上單調遞增，可得，則.【名師點睛】本題考查了導數(shù)的應用，函數(shù)的零點存在性定理和恒成立問題，考查了計算能力和邏輯推理能力.8【福建省龍巖市2019屆高三5月月考數(shù)學】今年3月5日，國務院總理李克強作的政府工作報告中，提到要“懲戒學術不端，力戒學術不端，力戒浮躁之風”.教育部日前公布的教育部2019年部門預算中透露，2019年教育部擬抽檢博士學位論文約6000篇，預算為800萬元.國務院學位委員會、教育部2014年印發(fā)的博士碩士學位論文抽檢辦法通知中規(guī)定：每篇抽檢的學位論文送3位同行專家進行評議，3位專家中有2位以上（含2位）專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”.有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學位論文，將再送2位同行專家進行復評，2位復評專家中有1位以上（含1位）專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”.設每篇學位論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為，且各篇學位論文是否被評議為“不合格”相互獨立.（1）記一篇抽檢的學位論文被認定為“存在問題學位論文”的概率為，求；（2）若擬定每篇抽檢論文不需要復評的評審費用為900元，需要復評的評審費