一輪復(fù)習(xí)：直線的傾斜角、斜率與直線的方程

1、授課主題直線的傾斜角、斜率與直線的方程教學(xué)目標1在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2. 理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3. 掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的二種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.4掌握兩點間的距離公式.教學(xué)內(nèi)容1. 平面直角坐標系中的基本公式(1) 兩點間的距離公式：已知平面直角坐標系中的兩點A(x1，y1),B(x2,y2)，則d(A,B)=Jx2x12+y2y12.(2) 中點公式：已知平面直角坐標系中的兩點A(x1，y1),B(x2，y2)，點M(x,y)是線段AB的中點，則工=迸產(chǎn)

2、,y=1y2.2. 直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角.傾斜角的范圍：0°，180°).3. 直線的斜率(1) 定義：直線y=kx+b中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線斜率不存在；(2) 計算公式：若由Ag,y1)，B(x2,y2)確定的直線不垂直于x軸，則仝二；21(x1x2).若直線的傾斜角為Q(毋申)，則k=tan4. 直線方程的形式及適用條件名稱幾何條件方程局限性點斜式過點(x0，y0),斜率為kyy0=k(x_x0)不含垂直于x軸的直線斜截式斜率為k,縱截距為by=k

3、x+b不含垂直于x軸的直線kBP0T=13.°.kW(g，'3U1,+«).兩點式過兩點(x1,y1),(x2,丁2),(X1工X2,丁1彷2)yy1xx1丁2-yx2x1(5,yy不包括垂直于坐標軸的直線截距式在x軸、y軸上的截距分別為a,b(a,b0)x+b=1ab不包括垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax+By+C=0平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用例2、求適合下列條件的直線的方程：3在y軸上的截距為一5,傾斜角的正弦值是孑；(2) 經(jīng)過點P(3,2)，且在兩坐標軸上的截距相等；(3) 經(jīng)過點A(-1,-3)，傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.方法點撥：根據(jù)已

4、知條件代入相應(yīng)公式，分別為斜截式、截距式、點斜式.3 解(1)設(shè)直線的傾斜角為則sin«=5-4 3.°.cosq=±5，直線的斜率k=tana=±4又直線在y軸上的截距是一5,3由斜截式得直線方程為y=±4x-5.即3x-4y-20=0或3x+4y+20=0.(2) 設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,若a=0,即l過點(0,0)和(3,2).2 l的萬程為y=3X，即2x3y=0.若a豐Q則設(shè)l的方程為產(chǎn)+7=1.aa32vi過點p(3,2),a+a=i.aa a=5,l的方程為x+y5=0.綜上可知，直線l的方程為2x3y=0或x+y5=0

5、.(3) 設(shè)直線y=3x的傾斜角為a,則所求直線的傾斜角為2a.2tana3 tana=3,tan2a=itan2a=4°又直線經(jīng)過點A(1,3),3因此所求直線方程為y+3=4(x+1)，即3x+4y+15=0.方法技巧給定條件求直線方程的思路1. 求直線方程常用的兩種方法(1) 直接法：根據(jù)已知條件，直接寫出直線的方程，如本例(1)、(3)求直線方程，則直接利用斜截式即可.(2) 待定系數(shù)法：即設(shè)定含有參數(shù)的直線方程，結(jié)合條件列出方程(組)，求出參數(shù)，再代入直線方程即可必要時要注意分類討論，如本例(2)中不要忽略過原點的情況，否則會造成漏解.2. 設(shè)直線方程的常用技巧(1) 已知

6、直線縱截距b時，常設(shè)其方程為y=kx+b或y=b.(2) 已知直線橫截距a時，常設(shè)其方程為x=my+a.(3) 已知直線過點(x0，y0)，且k存在時，常設(shè)yy0=k(xx0).【沖關(guān)針對訓(xùn)練】根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(一4,0),傾斜角的正弦值為10直線過點(5,10),且到原點的距離為5.解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式.設(shè)傾斜角為a,則sina=¥0°(0三a<n),，從而cosa=±1"0，貝Uk=tana=±3,故所求直線方程為y=±j(x+4),即x+3y+4=0或x3y+4=0.(

7、2)當斜率不存在時，所求直線方程為x5=0,滿足題意.當斜率存在時，設(shè)其為k,則所求直線方程為y10=k(x5),即kxy+(105k)=0.I10_5kl3由點線距離公式，得石7=5,解得k=3故所求直線方程為3x4y+25=0.綜上知，所求直線方程為x5=0或3x4y+25=0.題型三直線方程的綜合應(yīng)用角度1由直線方程求參數(shù)問題例3、(2018泰安模擬)已知直線l1：ax-2y=2a-4,l2：2x+a2y=2a2+4,當0<a<2時，直線l,l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，實數(shù)a=a2方法點撥：將l1，l2分別化為y2=2(x2),y2=02(x_2)，知

8、l1,l2恒過定點P(2,2).2+芍，當a=2時，面積最小.解析由題意知直線l1，12恒過定點P(2,2)，直線11的縱截距為2a，直線12的橫截距為a2+2，所以四邊形的面積S=!x2x(2a)+!x2x(a2+2)=a2a+4=角度2與直線方程有關(guān)的最值問題例4、過點P(2,1)作直線l,與x軸和y軸的正半軸分別交于A,B兩點，求:("AOB面積的最小值及此時直線l的方程；(2)求直線l在兩坐標軸上截距之和的最小值及此時直線l的方程.方法點撥：本題采用基本不等式法求最值.解設(shè)所求直線l的方程為十+：=1>0,b>0)，貝吃+*=1.2irri211i又Va+b>

9、;2Ob2ab-4，當且僅當a=b=2，即a=4，b=2時，AOB面積S=2ab有最小值為4.此時，直線l的方程是4十2=1，即x+2y4=0.(2)設(shè)所求直線l的方程為y1=k(x2).則可得A(2；1，o)B(0,12k)(k<0)，截距之和為k+12k=32k±3+2；(2k)(»)=3+22此時一2k=k=_¥故截距之和最小值為3+2邁，此時l的方程為y1=¥(x2)，即x+V2y2V2=0.方法技巧與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略1. 求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先設(shè)出直線方程，建立目標函數(shù)，再利用基本不等式求解最值或用函數(shù)的單調(diào)

10、性解決.2. 求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.【沖關(guān)針對訓(xùn)練】已知直線l過點M(1,1),且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A,B兩點，O為坐標原點.求：(1) 當IOAI+IOBI取得最小值時，直線l的方程；(2) 當IMAI2+IMBb取得最小值時，直線l的方程.解(1)設(shè)A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0).設(shè)直線l的方程為a+b=1，貝l+b=1，所以IoAI+IoBI=a+b=(a+b)e+b)=2+b+a32+2診a=4，當且僅當“a=b=2”時取等號，此時直線l的方程為x+y2=0.(2)設(shè)直線l的斜

11、率為k,則k<0，直線l的方程為y1=k(x1)，則A(1-£0),B(0,1k)，所以IMAl2+IMBl2=(11+(2+12+12+(11+k)2=2+k2+2+2k2=4.當且僅當k2=£，即k=1時取等號，此時直線l的方程為y1=(x1)，即x+y2=0.E真題模擬育就1.(2017.大慶模擬)兩直線m-n=a與nm=a(其中a是不為零的常數(shù))的圖象可能是()III't1/t1/III'答案B解析直線方程mn=a可化為y=mx-na，直線nm=a可化為尸斜必，由此可知兩條直線的斜率同號故選B.2.（2017豫南九校聯(lián)考）若0是直線l的傾斜角,

12、且sin0+cos0=則l的斜率為（A.C.1或2答案D解析*.*sin0+cos0=乞,B.2或一2D.2(sin0+cos0)2=1+sin20=15,2sin0cos0=45,(sin0cos0)2=9=5,易知sin0>0,cos0vO,Asin0cos0=35,<由解得sin0=255,5逅lcos05,.tan0=2,即l的斜率為一2,故選D.3.（2018江西南昌模擬）已知過定點P（2,0）的直線l與曲線y=*2_x2相交于A,B兩點，O為坐標原點，當AAOB的面積取到最大值時，直線l的傾斜角為（）A.150°C.120°答案AB.135°

13、;D.105°解析由y=；2x2得x2+y2=2（y>0），它表示以原點O為圓心，丫運為半徑的圓的一部分，如圖所示.I2kl由題意知直線l的斜率存在，設(shè)過點P（2,0）的直線l的方程為y=k（x2），則圓心到此直線的距離d=1，弦長吩2W®"J奈，所以"22-1當且僅當（2如22k2,即k2=3時等號成立，結(jié)合圖可知k=¥（k=¥舍去）故所求直線l的傾斜角為150°.故選A.4.（2014四川高考）設(shè)mWR，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x,y）,則PAHPBI的最大值是.

14、答案5解析易知A(0,0),B(1,3),且PA丄PB，AIPA|2+IPB12=IAB|2=10，IPAIJPBISIPAI2+IPBI22=5(當且僅當IPAI=IPBI11=-J§時取“=”).一、選擇題n1.（2018朝陽模擬）直線x+V3y+1=0的傾斜角為（A6C.2nD.5n6答案D解析直線斜率為一g3,即tana=¥，0<a<n，a=f，故選D.2.(2017正定質(zhì)檢)直線xcos140°+ysin40°+1=0的傾斜角是()A.40°B.50°答案B解析cos40°將直線xcos140°

15、;+ysin40°+10化成xcos40°ysin40°1=0，其斜率為k=sin40°=tan50°，傾斜角為50°.C.130°D.140°故選B.3.（2018哈爾濱模擬）函數(shù)y=asinx-bcosx的一條對稱軸為x=f，則直線l：ax-by+c=0的傾斜角為（）nnA.4C.2nTD.3n4答案D解析由函數(shù)y=fx)=asinxbcosx的一條對稱軸為x=f知，f(O)=f2)，即一b=a,直線l的斜率為一1,:3n傾斜角為了.故選D.4.(2018衡陽期末)已知直線PQ的斜率為一'朽，將直線繞點

16、P順時針旋轉(zhuǎn)60。所得的直線的斜率為()A.：3B.、；3D.1+V3C.0答案A解析直線PQ的斜率為則直線PQ的傾斜角為120°，所求直線的傾斜角為60。，tan60°=石.故選A.5在等腰三角形AOB中，AO=AB，點0(0,0),A(1,3)，點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()A.y一1=3(x3)B.y1=3(x3)C.y3=3(x1)答案DD.y3=3(x1)解析因為AO=AB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kAB=k0A=3，所以直線AB的點斜式方程為y3=3(x1)故選D.6.(2017河南新鄉(xiāng)一中周考)若m，n滿足m+2n1=0

17、，則直線mx+3y+n=0過定點()A.B.(2，-1d(-6£答案解析*.*m+2n1=0，m+2n=1.Vmx+3y+n=0，(mx+n)+3y=0,當x=2時，mx+n=2m+n=2，3y1I=2，*1y=66，故直線過定點|,6).故選b.7. 若經(jīng)過點P(1,4)的直線在兩坐標軸上的截距都是正的，且截距之和最小，則直線的方程為()A.x+2y6=0B.2x+y6=0C.x2y+7=0D.x2y7=0答案B解析解法一：直線過P(1,4)，代入，排除A、D；又在兩坐標軸上的截距為正，排除C,故選B.解法二：設(shè)方程為+：=1，將(1，4)代入得J+b=1.a+b=(a+b)(j+

18、4)=5+(a+4a)>9，當且僅當b=2a，即a=3,b=6時，截距之和最小.所以直線方程為3十6=1，即2x+y6=0.故選B.8. 若直線ax+by=ab(a>0,b>0)過點(1,1),貝V該直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為()A.1B.2C.4D.8答案C解析：直線ax+by=ab(a>0,b>0)過點(1,1),Aa+b=ab，即*+*=1，:。+方=+方)0+£)=2+彳+2aa=4,當且僅當a=b=2時上式等號成立.直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為4.故選C.9. (2017煙臺期末)直線mx+ny-1=0在y軸上的截距是一1

19、,且它的傾斜角是直線;3x-y-l3=0的傾斜角的2倍，貝y()A.m=；'3,n=2B.m=/3,n=2C.m=i：3,n=2D.m=逅,n=2答案A解析根據(jù)題意，設(shè)直線mx+2y-1=0為直線l,另一直線的方程為3xy3：3=0，變形可得y=3(x3)，其斜率k=込,則其傾斜角為60°，而直線l的傾斜角是直線逅xy3逅=0的傾斜角的2倍，則直線l的傾斜角為120°，且斜率k=tan120°='3,又由l在y軸上的截距是一1,則其方程為y=1'3x1；又由其一般式方程為mx+y1=0,分析可得m=3,n=2.故選A.10. 若點(m,n)

20、在直線4x+3y10=0上，則m2+n2的最小值是()A.2B.22C.4D.2詬答案C解析因為點(m,n)在直線4x+3y10=0上，所以4m+3n10=0.欲求m2+n2的最小值可先求'(m0)2+(n0)2的最小值.而為'(m0)2+(n0)2表示4m+3n10=0上的點(m,n)到原點的距離，如圖.當過原點和點(m,n)的直線與直線4m+3n10=0垂直時，原點到點(m,n)的距離最小，最小值為2.故m2+n2的最小值為4.故選C.二、填空題11.已知P(3,2),Q(3,4)及直線ax+y+3=0.若沿pQ的方向延長線段PQ與直線有交點(不含Q點)，則a的取值范圍是答

21、案解析直線I：ax+y+3=0是過點A(0,3)的直線系，斜率為參變數(shù)一a,易知PQ,QA,l的斜率分別為：kPQ1771=3，kAQ=3，kl=a.若l與PQ延長線相交，由圖可知kpQ<k<kAQ，解得一3<a<j.12.(2018石家莊期末)一直線過點A(3,4),且在兩軸上的截距之和為12,則此直線方程是答案x+3y9=0或y=4x+16解析設(shè)橫截距為a，則縱截距為12a，直線方程為a+亡=】，34把A(3,4)代入,得口+12a=1，解得a=4,a=9.a=9時，直線方程為9十3=1，整理可得x+3y9=0.a=4時，直線方程為+16=1,整理可得4xy+16=

22、0.綜上所述，此直線方程是x+3y9=0或4xy+16=0.13.過直線I：y=x上的點P(2,2)作直線m,若直線l,m與x軸圍成的三角形的面積為2,則直線m的方程為.答案x2y+2=0或x=2解析若直線m的斜率不存在，則直線m的方程為x=2,直線m,直線l和x軸圍成的三角形面積為2,符合題意； 若直線m的斜率k=0,則直線m與x軸沒有交點，不符合題意；2121 若直線m的斜率k杓,設(shè)其方程為y2=k(x2)，令y=0,得x=2，依題意有Qx2x2=2,即卩1k=1,解得k=2，所以直線m的方程為y2=2(x2)，即x2y+2=0.綜上知，直線m的方程為x2y+2=0或x=2.14在下列敘述

23、中： 若一條直線的傾斜角為則它的斜率為k=tana； 若直線斜率k=-1,則它的傾斜角為135。； 已知點A(1,-3),B(1,3)，則直線AB的傾斜角為90°； 若直線過點(1,2)，且它的傾斜角為45°，則這條直線必過點(3,4)；3 若直線斜率為4，則這條直線必過(1,1)與(5,4)兩點.其中正確的命題是(填序號)答案解析當a=90。時，斜率k不存在，故錯誤；傾斜角的正切值為一1時，傾斜角為135°，故正確；直42線AB與x軸垂直，斜率不存在，傾斜角為90°，故正確；直線過定點(1,2),斜率為1,又3一1=1，故直線必過3點(3,4),故正確

24、；斜率為4的直線有無數(shù)條，所以直線不一定過(1,1)與(5,4)兩點，故錯誤.三、解答題15. 設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2a=O(aWR).(1) 若l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程；(2) 若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)當直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零,.°.a=2,方程即為3x+y=0.當直線不經(jīng)過原點時，截距存在且均不為0.即a+1=1.a=0，方程即為x+y+2=0.綜上，l的方程為3x+y=0或x+y+2=0.(2)將l的方程化為y=(a+1)x+a2，(a+1)>0,、a2<0或一(a十1)=0,.*.a<1.

25、a2<0,綜上可知a的取值范圍是(一8,1.16. 已知直線l：kxy+1+2k=0(k£R).(1) 證明：直線l過定點；(2) 若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3) 若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程.x+2=0,1y=0，解(1)證明：直線l的方程可化為k(x+2)+(1y)=0,x=一2,解得jly=1.無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(一2,1).1+2k(2)由方程知，當砂0時，直線在x軸上的截距為一一,在y軸上的截距為1+2k，要使直線不經(jīng)過第四象限,寧<-2，則必須有k解得k&

26、gt;0；當k=0時，直線為y=1,符合題意，故k的取值范圍為0,+Q.11+2Q1,(3)由題意可知砂0,再由l的方程，得A(，°)，B(0,1+2k).依題意得1+2kk<O解得k>0.l1+2k>0.S=2.|OA|.|OBI=2.1+2kI1+2kI#3=丄4k+-1+4j>|x(2x2+4)=4,“=”成立的條件是k>0且4k=|,即k=|,.Si=4,此時直線l的方程為x-2y+4=0.in方法與技巧1.2.3.國額rj*癢要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式：k=y21，該公式與兩點順序無關(guān)，已知兩X2-X1點坐標(x#x2)時，根據(jù)該公式可求出經(jīng)過兩點的直線的斜率.當x1=x2，y#y2時，直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°.求斜率可用k=tana(a工90°)，其中a為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分割，牢記：“斜率變化分兩段，90°是分界，遇到斜率要謹記，存在與否