第5章 期權定價理

1、2022-5-111第第5章章 期權定價理論期權定價理論22022-5-115.1 期權概述及二項式定價公式期權概述及二項式定價公式5.1.1期權及其由關概念期權及其由關概念 1期權的定義期權的定義 期權分為買入期權（期權分為買入期權（Call option）和賣出期權（）和賣出期權（Put option）買入期權又稱看漲期權、敲入期權，買入期權又稱看漲期權、敲入期權， 它是給予其持有者在給定時間，它是給予其持有者在給定時間， 或在此時間之前的任一時刻按規(guī)定的價格買入一定數(shù)量某種資產或在此時間之前的任一時刻按規(guī)定的價格買入一定數(shù)量某種資產的權利的一種法律合同。的權利的一種法律合同。 32022

2、-5-115.1 期權概述及二項式定價公式期權概述及二項式定價公式賣出期權又稱看跌期權、敲出期權，賣出期權又稱看跌期權、敲出期權， 它是給予其持有者它是給予其持有者 在給定時間，或在此時間之前的任一時刻按規(guī)定的價格在給定時間，或在此時間之前的任一時刻按規(guī)定的價格 賣出一定數(shù)量某種資產的權利的一種法律合同。賣出一定數(shù)量某種資產的權利的一種法律合同。 2期權的要素期權的要素（1）施權價）施權價 （exercise price 或或striking price） 期權合同中規(guī)定的購入或售出某種資產的價格，稱期權的施權價。期權合同中規(guī)定的購入或售出某種資產的價格，稱期權的施權價。 42022-5-11

3、5.1 期權概述及二項式定價公式期權概述及二項式定價公式（2）施權日）施權日 （maturing data ） 期權合同規(guī)定的期權的最后有效日期稱為期權的施權日或期權合同規(guī)定的期權的最后有效日期稱為期權的施權日或到期日。到期日。 （3）標的資產（）標的資產（underlying Asset） 期權合同中規(guī)定的雙方買入或售出的資產為期權的標的資產。期權合同中規(guī)定的雙方買入或售出的資產為期權的標的資產。(4) 期權費（期權費（option premium）買賣雙方購買或出售期權的價格稱為期權費或期權價格。買賣雙方購買或出售期權的價格稱為期權費或期權價格。 52022-5-115.1 期權概述及二項

4、式定價公式期權概述及二項式定價公式3歐式期權與美式期權（歐式期權與美式期權（European-style American-style） 美式期權和歐式期權對有效期性質規(guī)定的不同。美式期權和歐式期權對有效期性質規(guī)定的不同。 歐式期權只有在到期日當天或在到期日之前的某一規(guī)定的歐式期權只有在到期日當天或在到期日之前的某一規(guī)定的時間可以行使權利。時間可以行使權利。 美式期權從它一開始購買一直到到期日的任何時刻都可以美式期權從它一開始購買一直到到期日的任何時刻都可以行使的權利。行使的權利。 62022-5-115.1 期權概述及二項式定價公式期權概述及二項式定價公式4期權的購買者和出售者的權利和義務期

5、權的購買者和出售者的權利和義務任何一個期權都有購買者（任何一個期權都有購買者（buyer）和出售者（）和出售者（writer或或seller），）， 期權的購買者在購買期權時須付出一筆費用給出售者，期權的購買者在購買期權時須付出一筆費用給出售者， 以獲得以獲得 買賣某種資產的權利。買賣某種資產的權利。 這筆付出的費用，這筆付出的費用， 就是期權的價格或期權費。就是期權的價格或期權費。72022-5-115.1 期權概述及二項式定價公式期權概述及二項式定價公式看漲期權的購買者付出期權費，看漲期權的購買者付出期權費， 獲得購買某種資產的權利，獲得購買某種資產的權利， 但他并沒有到期購買的義務，但他

6、并沒有到期購買的義務， 它擁有購買和不購買的選擇權。它擁有購買和不購買的選擇權。 如果到期日標的資產的市場價格高于施權價，如果到期日標的資產的市場價格高于施權價， 則選擇從期權則選擇從期權 出售者手中購買，出售者手中購買， 否則以市場價在市場購買。否則以市場價在市場購買。 賣出期權的購買者或持有者可以出售某種資產，賣出期權的購買者或持有者可以出售某種資產， 也可以選擇不出售。也可以選擇不出售。82022-5-115.1 期權概述及二項式定價公式期權概述及二項式定價公式因此對于期權的購買者而言，因此對于期權的購買者而言， 付出期權費后，只有權利，付出期權費后，只有權利， 沒有義務，沒有義務， 對

7、期權的出售者而言，對期權的出售者而言， 接受期權費后，只有義務接受期權費后，只有義務而沒有權利。而沒有權利。 5期權的內在價值期權的內在價值買入期權在執(zhí)行日的價值買入期權在執(zhí)行日的價值C C為：為： 0SESECSE其中其中E E為施權價，為施權價，S S為標的資產的市場價。為標的資產的市場價。92022-5-115.1 期權概述及二項式定價公式期權概述及二項式定價公式賣出期權在執(zhí)行日的價值賣出期權在執(zhí)行日的價值P P為：為： 0SEPESSE期權可分為期權可分為 幣內期權（幣內期權（in the money ）、）、 幣上期權（幣上期權（at the money ） 幣外期權（幣外期權（ou

8、t of the money ） 102022-5-115.1 期權概述及二項式定價公式期權概述及二項式定價公式對于買入期權來說，對于買入期權來說， 如果如果 ES 為幣內期權，為幣內期權， 如果如果 ES 為幣上期權，為幣上期權， 如果如果 ES 為幣外期權。為幣外期權。 即如果期權的內在價值大于零為幣內期權，即如果期權的內在價值大于零為幣內期權， 如果期權的內在價值等于零則是幣上期權，如果期權的內在價值等于零則是幣上期權， 如果內在價值小于零，則是幣外期權。如果內在價值小于零，則是幣外期權。 112022-5-115.1.2買入期權與賣出期權平價買入期權與賣出期權平價買入期權、賣出期權和標

9、的資產三者之間存在著一種，買入期權、賣出期權和標的資產三者之間存在著一種， 價格依賴關系，它們之間的這種價格依賴關系，價格依賴關系，它們之間的這種價格依賴關系， 就稱為買入期權、賣出期權平價（就稱為買入期權、賣出期權平價（Call and Put Parity） 設設S為股票市價，為股票市價， C為買入期權價格，為買入期權價格， P為賣出期權市價，為賣出期權市價， E為施權價，為施權價， S*為施權日股票價格，為施權日股票價格， t為距施權日時間，為距施權日時間， r為利率（常數(shù)）。為利率（常數(shù)）。 122022-5-115.1.2買入期權與賣出期權平價買入期權與賣出期權平價以歐式股票期權為例

10、，以歐式股票期權為例， 考察一下這種平價關系?？疾煲幌逻@種平價關系。 假設投資者現(xiàn)在以價格假設投資者現(xiàn)在以價格C出售一單位買入期權，出售一單位買入期權， 以價格以價格P 購入一單位賣出期權，購入一單位賣出期權， 以以S價格購入一單位期權的標的股票，價格購入一單位期權的標的股票， 以利率以利率r借入一筆借期為的現(xiàn)金，借入一筆借期為的現(xiàn)金， 金額為金額為 rtEe132022-5-115.1.2買入期權與賣出期權平價買入期權與賣出期權平價*SE出售買入期權，出售買入期權，C購買賣出期權，購買賣出期權，-P購買股票，購買股票，-S借入現(xiàn)金，借入現(xiàn)金，Ee-rt總計總計現(xiàn)在現(xiàn)在0E-S*S*-E0E-

11、S*0S*-E0施權日施權日*SE表表5.1 投資者的先進和施權日的現(xiàn)金流量投資者的先進和施權日的現(xiàn)金流量142022-5-115.1.2買入期權與賣出期權平價買入期權與賣出期權平價如果假設市場無套利機會，它的期初價值也必然為零，即：如果假設市場無套利機會，它的期初價值也必然為零，即： 0(5.1.1)rtCPSEe-+=(5.1.2)rtCSPEe-=+-這就是買入期權和賣出期權平價。這就是買入期權和賣出期權平價。 152022-5-115.1.2買入期權與賣出期權平價買入期權與賣出期權平價再比如：再比如： 如果市場出現(xiàn)下列情況，如果市場出現(xiàn)下列情況， 有效期為有效期為1/4年，年， 施權價

12、為施權價為46元的買入期權價格元的買入期權價格C=3元，元， 賣出期權的價格為賣出期權的價格為2元，元， 股票價格股票價格39元，元， 年利率為年利率為5%， 有有14339463.502rtPCSEee-=-+=-+=因此，因此，C，P不符合買入、賣出期權平價。不符合買入、賣出期權平價。 162022-5-115.1.2買入期權與賣出期權平價買入期權與賣出期權平價如果投資者構造下述投資組合：如果投資者構造下述投資組合： 出售一單位買入期權出售一單位買入期權 +3購買一單位賣出期權購買一單位賣出期權 -2買入一單位股票買入一單位股票 -39按按5%借入現(xiàn)金借入現(xiàn)金 +39.50當前現(xiàn)金收入當前

13、現(xiàn)金收入 +1.50172022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例1.應用期權進行保值應用期權進行保值保值是指投資者將自身不愿意承擔的風險轉讓保值是指投資者將自身不愿意承擔的風險轉讓 給愿意承擔這種風險的投資者的行為。給愿意承擔這種風險的投資者的行為。 （1）持股購入看跌期權（）持股購入看跌期權（put option）例例5.1：某投資者以：某投資者以46元價格買入元價格買入100股股票，同時購入施權價股股票，同時購入施權價 （協(xié)定價格）（協(xié)定價格）45元，期權費為元，期權費為1元一份這種看跌期權和合元一份這種看跌期權和合 約（約（100股構成）。股構成）。 182022-5-1

14、15.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例1515114318111616616-表表5.2 盈虧平衡表（歐式）盈虧平衡表（歐式）期權到期日的股票價格期權到期日的股票價格 0 25 45 65買入股票每股買入股票每股46元元 購入看跌期權費購入看跌期權費17/16元元凈值（上述二者相加）凈值（上述二者相加） -46 -21 -1 19111152221716161616-192022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例14716贏利贏利虧損虧損最大贏利無限最大贏利無限45（盈虧平衡點）（盈虧平衡點）圖圖5.1 盈虧平衡點的計算盈虧平衡點的計算1216202022-5-115.1.3期

15、權的應用舉例期權的應用舉例（2）賣空，購入看漲期權的保值功能）賣空，購入看漲期權的保值功能例如，某投資人的例如，某投資人的46元價格空頭出售某公司股票，盈利和虧損情形如圖元價格空頭出售某公司股票，盈利和虧損情形如圖5.2所示。所示。 贏利贏利最大虧損最大虧損4646圖圖5.2 某股票的盈虧情況某股票的盈虧情況212022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例99977452010441616161616-77779141616161616-例如，股票每股單位價格例如，股票每股單位價格46元，購入看漲期權，實施價為元，購入看漲期權，實施價為50美元，期權費美元，期權費7/16元，元，表

16、表5.3為空頭出售與購入看漲期權組合的盈虧平衡表。為空頭出售與購入看漲期權組合的盈虧平衡表。表表5.3 空頭出售與購入看漲期權組合的盈虧平衡表空頭出售與購入看漲期權組合的盈虧平衡表期權到期時的股票價格期權到期時的股票價格空頭出售股票空頭出售股票46元元購入看漲期權，施權價購入看漲期權，施權價50元元期權費期權費7/16元元凈值凈值462111419- 0 25 35 50 65 222022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例94516購入看漲期權對空頭股票保值功能購入看漲期權對空頭股票保值功能 最大虧損最大虧損（盈虧平衡點）（盈虧平衡點）最大贏利最大贏利贏利贏利虧損虧損07416

17、圖圖5.3 購入看漲期權對空頭股票的保值功能購入看漲期權對空頭股票的保值功能232022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例2應用期權增值應用期權增值（1）出售看漲期權來獲取收益）出售看漲期權來獲取收益出售抵補看漲期權出售抵補看漲期權出售看漲期權是以已經持有的股票作為基礎時出售看漲期權是以已經持有的股票作為基礎時 我們稱這種期權為抵補看漲期權我們稱這種期權為抵補看漲期權 。例如：某投資者以每股例如：某投資者以每股46元價格買入某公司股票元價格買入某公司股票300股。股。投資經紀人建議出售投資經紀人建議出售3份該公司股票的看漲期權份該公司股票的看漲期權（期限五個月，施權價為（期限五個

18、月，施權價為50元，期權費元，期權費1元）。元）。242022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例3444-贏利贏利最大贏利最大贏利圖圖5.4 盈虧平衡點的股價盈虧平衡點的股價144450252022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例過度出售看跌期權過度出售看跌期權投資者在持有股票的同時，在出售以這種股票為投資者在持有股票的同時，在出售以這種股票為基礎的看跌期權?；A的看跌期權。 例如：某投資者以每股例如：某投資者以每股46元的價格買入某公司的股票與此同時又元的價格買入某公司的股票與此同時又以施權價以施權價50元出售該公司股票的看跌期權，期權費元出售該公司股票的看跌期

19、權，期權費4元，元，這種金融組合的盈虧如表這種金融組合的盈虧如表5.4所示。所示。 262022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例50204045608346266148-1113345255444484-表表5.4 金融組合的盈虧平衡表金融組合的盈虧平衡表股權到期時的股票價格股權到期時的股票價格多頭股票多頭股票空頭看跌期權空頭看跌期權凈值凈值11139151110184444-從表從表5.4可見，當股票價格上漲高于施權價，看跌期權到期無價值，可見，當股票價格上漲高于施權價，看跌期權到期無價值，多頭股票新產生的利潤將隨股價的上揚而不斷增加，多頭股票新產生的利潤將隨股價的上揚而不斷

20、增加，反之，如果股票價格低于施權價，將受到雙重損失，如圖反之，如果股票價格低于施權價，將受到雙重損失，如圖5.5所示。所示。272022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例3改善投資者在市場中的現(xiàn)狀改善投資者在市場中的現(xiàn)狀（1）出售看漲期權改善投資者在市場中現(xiàn)狀）出售看漲期權改善投資者在市場中現(xiàn)狀假定投資者持有假定投資者持有10000股波音公司的股票，股波音公司的股票，現(xiàn)行市場價格為現(xiàn)行市場價格為46美元，美元， 但同時有期限為標的兩個月，但同時有期限為標的兩個月， 施權價為施權價為40美元，美元， 期權費為每股期權費為每股 164美元。美元。 282022-5-115.1.3期權

21、的應用舉例期權的應用舉例如果投資者以如果投資者以46美元的價格出售美元的價格出售10000股波音股波音股票，可獲得現(xiàn)金股票，可獲得現(xiàn)金460000萬元，如果進行另一萬元，如果進行另一種選擇，出售種選擇，出售100份波音股票看漲期權，施權價份波音股票看漲期權，施權價為為40美元，期權費為美元，期權費為25/4美元，這投資者可在第美元，這投資者可在第二天獲得期權費二天獲得期權費62500元，如果期權到期時波音元，如果期權到期時波音股票的價格高于股票的價格高于40美元。按協(xié)議，投資者將以每美元。按協(xié)議，投資者將以每股股40美元價格將股票售出美元價格將股票售出10000股，可得收益股，可得收益4000

22、00美元，投資者的總收益為美元，投資者的總收益為400000+62500=462500美元，可以多得收入美元，可以多得收入2500美元。美元。292022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例(2) 出售看跌期權改善投資者在市場中現(xiàn)狀出售看跌期權改善投資者在市場中現(xiàn)狀假定某投資者以假定某投資者以71美元的價格買入股票，美元的價格買入股票， 計劃投資計劃投資71000美元，美元， 他還可以出售三個月期限的看跌期權，他還可以出售三個月期限的看跌期權， 施權價為施權價為80美元，美元， 期權費每股期權費每股10.5美元，美元， 獲得的期權費收入計獲得的期權費收入計10，500美元。美元。3

23、02022-5-115.1.3期權的應用舉例期權的應用舉例n如果該股票的價格在期權到期時，依然低如果該股票的價格在期權到期時，依然低于期權的施權價于期權的施權價80美元，投資人就要以美元，投資人就要以80美元的價格買入美元的價格買入1000股股票，由于執(zhí)行期股股票，由于執(zhí)行期權而產生的現(xiàn)金支出為權而產生的現(xiàn)金支出為8000美元，減去期美元，減去期權費權費10500美元，總支出美元，總支出69500美元。美元。 312022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型1模型的假設模型的假設（1） 資本市場是完全競爭的市場；資本市場是完全競爭的市場；（2） 不考慮交易成本的稅收；不考慮

24、交易成本的稅收；（3） 無賣空限制；無賣空限制；（4） 市場存在無風險資產，其利率是固定的；市場存在無風險資產，其利率是固定的；（5） 股票不支付紅利；股票不支付紅利；（6） 投資者是理性的；投資者是理性的；322022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型2單期二項式期權定價模型單期二項式期權定價模型存在兩個時刻，存在兩個時刻， 時刻時刻0表示現(xiàn)在，表示現(xiàn)在， 時刻時刻1表示將來，表示將來， 用用s表示在表示在0時刻的股票價格，時刻的股票價格， 在時刻在時刻1股票價格是隨機變量，股票價格是隨機變量， 設有兩種狀態(tài)：價格上漲設有兩種狀態(tài)：價格上漲u倍（倍（u1），下跌），下跌

25、d倍（倍（d+，股票上漲的概率為股票上漲的概率為 q，股票價格變化如圖股票價格變化如圖5.6所示。所示。 332022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型圖圖5.6 股票價格的變化股票價格的變化susdsq1-qt=0t=1342022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型設施權價為設施權價為 E, 當當t=1時，如果股票價格上漲，時，如果股票價格上漲，則期權的價值則期權的價值max(,0)dcdsE=-，max(,0)ucusE=-；如果股票價格下跌，如果股票價格下跌， 期權的價值期權的價值期權在期權在0時刻的價值為時刻的價值為C， 圖圖5.7 期權的價

26、格變化期權的價格變化Ccucdt=0t=1352022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型構造一個組合構造一個組合,選擇選擇份股票和無風險資產，份股票和無風險資產，使該組合復制期權的價值使該組合復制期權的價值. 和和B滿足滿足 (5.1.3)ucusrB= D+(5.1.4)dcdsrB= D+解得解得 (5.1.5)()udccs ud-D =-(5.1.6)()ducdcBud r-=-362022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型CSB (5.1.7)CSB= D+在時刻在時刻0應有應有1(5.1.8 )udrdurCccar udud-=+-注

27、意到注意到 1,rdurudud-+=-令令 ,rdpud-=-則則1urpud-=-于是于是1(1)(5.1.8 )udCpcp cbr=+-372022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型3風險中性概率風險中性概率如果原來股票上漲的概率滿足如果原來股票上漲的概率滿足()(1)(5.1.9)q usq dsrS+-=rdqpud-=-式（式（5.1.9）說明此時上漲和下跌的期望值等于無風險資產的價值，）說明此時上漲和下跌的期望值等于無風險資產的價值，因此稱為風險中性概率。因此稱為風險中性概率。382022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型4兩期二項式

28、期權定價模型兩期二項式期權定價模型圖圖5.8 股票價格變動模式股票價格變動模式susdsudsuusddst=0t=1t=2392022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型圖圖5.9 兩期二項式定價模型期權的價格變化兩期二項式定價模型期權的價格變化Ccucdcuucudcddt=0t=1t=2402022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型其中其中 2max(,0),uuCu SE=-max(,0)duudCCudsE=-max(,0)ddCddSE=-由單期模型定價公式（由單期模型定價公式（5.1.8b），得），得1(1)(5.1.10)uuuudCp

29、cp cr=+-1(1)(5.1.11)dudddCpcp cr=+-412022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型將式（將式（5.1.10）和（）和（5.1.11）代入（）代入（5.1.8b），得），得22212 (1)(1)(5.1.12)uuudddCp cpp cp cr=+-+-顯然，顯然，222 (1)(1)1pppp+-+-=公式（5.1.12）說明，對于兩期模型期權的價格等于時期權的價值用上述概率分布取期望然后再折現(xiàn)?？蓪⒖蓪?22(,2 (1),(1) )pppp-看成概率分布。看成概率分布。 422022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權

30、定價模型5一般情形（一般情形（T期）二項式期權定價模型期）二項式期權定價模型對于對于T期的情形，期的情形， 如果股票價格有如果股票價格有n次上漲，下次上漲，下T-n次下跌次下跌， 此時，期權的價值為此時，期權的價值為 max(,0),nTnu dSE-則用數(shù)學歸納法，可以證明則用數(shù)學歸納法，可以證明01(, )max,0(5.1.13)TnTdTnCB nT pu dsEr-=-其中其中()!(, )(1)(5.1.14)!()!nTnTB nT pppn Tn-=-432022-5-115.1.4二項式期權定價模型二項式期權定價模型例例5.2設設20,S =1.2,u =0.067,d =0

31、.1,fr =21E =則則max(2421,0)3,uc =-=(13.421,0)0dc =-=1.10.671.20.67rdPud-=-歐式買入期權的價格歐式買入期權的價格 () 11udCpcp rr=+-1 1.10.671.21.1301.1 1.20.671.20.67輊 -犏=+犏 -臌2.2126=442022-5-115.2 市場有效性與市場有效性與Ito引理引理452022-5-115.2.1 市場有效性市場有效性市場有效性內容市場有效性內容 （1）有效的市場就是能在資產價格中完全反映了證券價格相關的信息的市場。）有效的市場就是能在資產價格中完全反映了證券價格相關的信息

32、的市場。（2）市場對每個給定的信息集合都是有效的，把這一信息集中的所有信息公開后，）市場對每個給定的信息集合都是有效的，把這一信息集中的所有信息公開后， 不會對資產的價格產生影響。不會對資產的價格產生影響。 （3）市場對某個信息集是有效的，投資者使用這一信息進行交易不可能獲得任何利益。）市場對某個信息集是有效的，投資者使用這一信息進行交易不可能獲得任何利益。462022-5-115.2.1 市場有效性市場有效性有效市場假設分為三類：有效市場假設分為三類：弱有效市場（弱有效市場（Weak form）：）： 所采用的信息集只包含市場過去的歷史價格和收益。所采用的信息集只包含市場過去的歷史價格和收益

33、。 半強有效市場（半強有效市場（Semistrong form）: 所采用的信息包含市場所有參與者都知道的信息。所采用的信息包含市場所有參與者都知道的信息。強有效市場（強有效市場（Strong form）: 所采用的信息包含市場所有參與者都知道的信息，包括所采用的信息包含市場所有參與者都知道的信息，包括私有信息。私有信息。472022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式相關基本概念相關基本概念1.如果某變量以某種不確定的方式隨時間變化，如果某變量以某種不確定的方式隨時間變化， 則稱該變量則稱該變量 遵循某種隨機過程（遵循某種隨機過程（Stochastic process）。）。

34、 2.離散時間隨機過程：離散時間隨機過程： 是變量只能在某些確定的時間點上變化的過程。是變量只能在某些確定的時間點上變化的過程。 3.連續(xù)時間隨機過程：連續(xù)時間隨機過程： 是變量的值的變化而以在任何時刻發(fā)生。是變量的值的變化而以在任何時刻發(fā)生。 482022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式4.馬爾可夫過程（馬爾可夫過程（Markov process）：）： 是一種特殊類型的隨機過程，是一種特殊類型的隨機過程， 在這個過程中，在這個過程中， 只有變量的當前值與未來的預測有關，只有變量的當前值與未來的預測有關， 變量過去的歷史和變量過去的歷史和和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式則與未

35、來的預測不相關。和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式則與未來的預測不相關。 人們通常假設股票價格遵循馬爾可夫過程，人們通常假設股票價格遵循馬爾可夫過程， 股票行為模式可用著名的維納過程（股票行為模式可用著名的維納過程（Wiener processes）來表達，維納過程是馬爾可夫過程的一種特殊形式。來表達，維納過程是馬爾可夫過程的一種特殊形式。 492022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式1維納過程及其性質維納過程及其性質設隨機過程設隨機過程 ( ),ZZ t=在一個很小的時間間隔在一個很小的時間間隔 tD的變化用的變化用 tzD表示，表示， 如果如果 tzD具有如下性質：具有如下性

36、質：性質性質1 tzteD=D其中其中 e是服從標準正態(tài)分布的隨機變量。是服從標準正態(tài)分布的隨機變量。 性質性質2 對于不同的時間間隔對于不同的時間間隔 , tDtzD相互獨立，相互獨立，則稱則稱 ( )ZZ t=為維納過程或稱布朗運動。為維納過程或稱布朗運動。 502022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式結論：結論：tzD本身服從正態(tài)分布，本身服從正態(tài)分布， 而且而且tzD的期望值為零，的期望值為零， tzD的標準差為的標準差為 , tDtzD的方差為的方差為. tD證明：證明：考慮在一段時間間隔考慮在一段時間間隔T中中Z值的變化值的變化 ，( )( )0 .TzZ TZ

37、D=-將將 0,T作一個分割作一個分割010,NtttT=K1,iiittt-D=-1,2,iN=因此因此1( )(0)(5.2.2)NiiiZ TZte=-=D512022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式其中其中 ie服從標準正態(tài)分布，服從標準正態(tài)分布， 而且而且 ie與與je相互獨立相互獨立 ().ij由（由（5.2.2）式可知）式可知 ( )(0),Z TZ-服從正態(tài)分布，而且服從正態(tài)分布，而且()1( ( )(0)( )0NTiiiEzE Z TZEte=D=-=D=()11( ( )(0)()NNTiiiiiVarzVar Z TZVarttTe=D=-=D=D=

38、邋()1/2( ( )(0)( ( )(0)TzZ TZVar Z TZTssD=-=-=令令 0,tD把（把（5.2.1）寫成微分形式，可以得到）寫成微分形式，可以得到dZdte=522022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式2一般的維納過程一般的維納過程 (5.2.3)dxadtbdz=+其中其中a,b為常數(shù)為常數(shù) 。如果不考慮如果不考慮x的軌道上的噪聲波動率的軌道上的噪聲波動率,bdz則則dxadt=即即dxadt=或或0 xxadt=+532022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式xatbteD=D +De其中， 服從標準正態(tài)分布，xD服從正態(tài)分布，

39、且服從正態(tài)分布，且 ()ExatD=D2()VarxbtD=D()xbtsD=D542022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式經過一段時間經過一段時間T后后 x值的變化值的變化 ( )(0)x Tx-服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布， 而且均值、方差、標準差分別為而且均值、方差、標準差分別為 aT，2b T，和和Tb方程（方程（5.2.3）給出了一般維納過程其漂移率（即單位時間）給出了一般維納過程其漂移率（即單位時間的平均漂移）的期望值為的平均漂移）的期望值為a， 方差率（即單位時間的方差）的期方差率（即單位時間的方差）的期 望值為望值為b2 。552022-5-115.2.2股票

40、價格變動模式股票價格變動模式一般維納過程dx=adt+bdzX 變量x的值t圖5.10 一般維納過程圖dx=adt維納過程dz562022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式()Ito3.伊藤伊藤過程及伊藤過程及伊藤()Ito引理引理伊藤過程伊藤過程( , )( , )dxa x t dtb x t dz=+定理定理5.1伊藤引理伊藤引理 假設變量假設變量x遵循伊藤過程：遵循伊藤過程： ( , )( , )dxa x t dtb x t dz=+其中其中 dz是一個維納過程，是一個維納過程， 設設( , )GG x t=是是x和和t的函數(shù)，的函數(shù)， 函數(shù)函數(shù)G二次連續(xù)可微，二次

41、連續(xù)可微， 則則(),G x t遵循如下過程：遵循如下過程： 572022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式2221()(5.2.5)2GGGGdGab dtbdzxtxx抖抖=+抖抖證明：證明：222222211(5.2.6)22GGGGGGxtxxttxtxx tt抖抖D=D+D +D+D D +D+抖抖抖L因為因為( , )( , )(5.2.7)xa x ttb x tteD=D +D222222xatab ttbteD=D+DD+D582022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式其中其中 e服從標準正態(tài)分布，服從標準正態(tài)分布， ( )0,Ee=2()

42、1.Ee=因此因此222()E btbteD=D又因為又因為 ()2var0,xD當當0t 時時22()(5.2.8)xbtot 又由（又由（5.2.7）式）式 )()(),(),(232tottxbttxatx將（將（5.2.7），（），（5.2.8）代入（）代入（5.2.6）式，得）式，得 )(21222totbxGttGxxGG592022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式令令0t2221(5.2.9)2GGGdGdxdtb dtxtx將將dztxbdttxadx),(),(代入式（5.2.9）式，得 bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222由伊藤引理可知，如果

43、由伊藤引理可知，如果x,t遵循遵循 伊藤過程，伊藤過程，則則x,t的函數(shù)的函數(shù)G也遵循伊藤過程。也遵循伊藤過程。602022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式它的漂移率為它的漂移率為 22221bxGtGaxG它的方差率為它的方差率為 22)(bxG612022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式4. .股票價格變動模式（不付紅利股票遵循的隨機過程）股票價格變動模式（不付紅利股票遵循的隨機過程） 如果股票價格為如果股票價格為 ,S期望漂移率為期望漂移率為 ,S其中參數(shù)其中參數(shù)是股票的期望收益率，是股票的期望收益率， 在經過一個較短的時間間隔在經過一個較短的時間

44、間隔 t以后，以后， S的增長期望值為的增長期望值為 ,S t再假設股票的方差率為零，則有再假設股票的方差率為零，則有SdtdS或或dtSdS622022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式求解上述微分方程，設在時刻為求解上述微分方程，設在時刻為0時的價格為時的價格為 S0，則，則teSS0假設在很短的時間間隔假設在很短的時間間隔 t內，內，百分比收益率的方差保持不變，百分比收益率的方差保持不變， 以以2表示股價比例變化的方差率，表示股價比例變化的方差率， 則則tt 是2時間后的股票價格時間后的股票價格 S變化的方差率。變化的方差率。 因此，因此， S的瞬間方差率為的瞬間方差率

45、為 22.S632022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式結論：結論： 股票的價格股票的價格 S可用瞬時期望漂移率為可用瞬時期望漂移率為 S和瞬時方差率為和瞬時方差率為 22S的伊藤過程，即的伊藤過程，即(5.2.10)dSSdtSdz或者或者(5.2.11)dSdtdzS變量 通常被稱為股票價格的波動率， 變量 為股票價格的期望收益率。642022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式由式（由式（5.2.10）和）和Ito引理，引理， 如果如果S和和t的函數(shù)的函數(shù)G遵循的遵循的Ito過程為過程為22221()(5.2.12)2dGGGGdGSSdtSdzdSt

46、SS如果如果 ln ,GS因為因為22211,0GGGSSSSt 則由式（則由式（5.2.12），得），得 dzdtdG)2(2652022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式當前時刻當前時刻t t到將來某一時刻到將來某一時刻T T之間之間G G的變化是正態(tài)分布，的變化是正態(tài)分布， 其期望值為其期望值為 2()()(5.2.13)2Tt方差為方差為2()(5.2.14)Tt設設t t時刻時刻G G的值為的值為lnSlnS， T T時刻時刻G G的值為的值為lnSlnST T 此時從此時從t t時刻到時刻到T T時刻的時刻的G G的變化為的變化為 lnln(5.2.15)TSS6

47、62022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式因此，由式（因此，由式（5.2.13）和式（）和式（5.2.14）得得2lnln,(5.2.16)2TSSTtTt2lnln()(),(5.2.17)2TSSTtTt表明表明S ST T服從對數(shù)正態(tài)分布，服從對數(shù)正態(tài)分布， TSln的標準差與的標準差與 tT 成正比例，成正比例， 如果如果S S表示股票價格，表示股票價格， 說明股票價格的對數(shù)不確定性（用標準差來表示）與說明股票價格的對數(shù)不確定性（用標準差來表示）與未來時間長度的平方根成正比。未來時間長度的平方根成正比。 672022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模

48、式lnSTt0圖圖5.11 對數(shù)正態(tài)分布圖對數(shù)正態(tài)分布圖682022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式由式（由式（5.2.17）即對數(shù)正態(tài)分布的定義，可知）即對數(shù)正態(tài)分布的定義，可知()()(5.2.18)T tTE SSe222 ()()var()(1)(5.2.19)T tT tTSS ee如果我們用如果我們用 表示表示t t與與T T之間連續(xù)復利年收益，則之間連續(xù)復利年收益，則()(5.2.20)T tTSSe所以所以1ln(5.2.21)TSTtS692022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式由式（由式（5.2.16） 2ln ()(),(5.2.2

49、2)2TSTtTtS 因此因此2 (,)(5.2.23)2Tt 連續(xù)復合收益 服從均值為 2,2標準差為 tT 的正態(tài)分布。 702022-5-115.2.2股票價格變動模式股票價格變動模式假設股票期權的價格只與股票價格和有關，記為假設股票期權的價格只與股票價格和有關，記為 ( , ),V S t由由Ito引理得引理得 dttVSVSSVSSdzSVdV)2(2222期權價格的求解與偏微分方程有關。期權價格的求解與偏微分方程有關。712022-5-115.3 與期權定價有關的偏微分方程基礎與期權定價有關的偏微分方程基礎需要在求解之前決定求解過程，需要考慮如下問題：需要在求解之前決定求解過程，需

50、要考慮如下問題：如果在某一區(qū)間內求解方程，需要知道方程的解在區(qū)間端點的值，即邊界條件。如果在某一區(qū)間內求解方程，需要知道方程的解在區(qū)間端點的值，即邊界條件。方程解的性質，是連續(xù)的，還是間斷的。方程解的性質，是連續(xù)的，還是間斷的。擴散方程或稱熱傳導方程擴散方程或稱熱傳導方程 225.3.1uuxt抖=抖（）其中其中 ( , )uxt=是變量是變量 , xt的函數(shù)，的函數(shù)， 它是來自物理學中連續(xù)介質中的擴散過程。它是來自物理學中連續(xù)介質中的擴散過程。 722022-5-115.3 與期權定價有關的偏微分方程基礎與期權定價有關的偏微分方程基礎擴散方程有如下特性：擴散方程有如下特性：（1）如果）如果

51、1( , )uxt=，2( , )uxt=是方程（是方程（5.3.1）的解，）的解， 12,c c為常數(shù)，為常數(shù)， 則則 1 122( , )( , )c u xc uxtt+也是方程（也是方程（5.3.1）的解。）的解。 （2）擴散方程是二階方程，偏導數(shù)的最高階數(shù)為二階。）擴散方程是二階方程，偏導數(shù)的最高階數(shù)為二階。（3）方程的解是）方程的解是x的解析函數(shù)，在實用中可以認為的解析函數(shù)，在實用中可以認為u是是x的光滑函數(shù)，的光滑函數(shù)， 邊界條件可能使得解對時間產生不連續(xù)性。邊界條件可能使得解對時間產生不連續(xù)性。732022-5-115.3 與期權定價有關的偏微分方程基礎與期權定價有關的偏微分方

52、程基礎擴散方程擴散方程22uux，t抖=抖x- + 對于初始條件對于初始條件0( ,0)( )u xux和和0u ()x 的解也都是解析的。的解也都是解析的。 這類方程解的形式是這類方程解的形式是241( , )2xu xex 0742022-5-115.3 與期權定價有關的偏微分方程基礎與期權定價有關的偏微分方程基礎752022-5-115.4 布萊克布萊克-斯科爾斯期權定價公式斯科爾斯期權定價公式5.4.1布萊克司科爾斯期權定價公式布萊克司科爾斯期權定價公式 1期權定價的基本假設：期權定價的基本假設： （1）標的資產的價格）標的資產的價格S S服從對數(shù)正態(tài)分布，服從對數(shù)正態(tài)分布， 即即dS

53、S dtS dz；（2）在期權的有效期內無風險利率）在期權的有效期內無風險利率r和標的資產價格和標的資產價格S S的波動方差率是時間的已知函數(shù)；的波動方差率是時間的已知函數(shù)；（3）套期保值沒有交易成本；）套期保值沒有交易成本； （4）沒有套利機會，所有的無風險資產組合具有相同的收益率，即無風險利率）沒有套利機會，所有的無風險資產組合具有相同的收益率，即無風險利率r r； （5）在期權的有效期內不支付紅利；）在期權的有效期內不支付紅利； 762022-5-115.4.1布萊克司科爾斯期權定價公式布萊克司科爾斯期權定價公式 （6）標的資產可以連續(xù)交易；）標的資產可以連續(xù)交易； （7）允許賣空，資產

54、可以細分。）允許賣空，資產可以細分。 假定期權的價格假定期權的價格 ,V S t是標的資產的價格是標的資產的價格S S和時間和時間t t的函數(shù)。的函數(shù)。 2構造無風險資產組合構造無風險資產組合 （1 1）構造資產組合）構造資產組合 ,g S tf S tS，g滿足在充分小的時間間隔滿足在充分小的時間間隔dtdt內為無風險組合，內為無風險組合， 其中其中為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 772022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾斯期權定價公式則由則由It 引理引理 dgdfdS22221()()2ffffSdzSSdtSdzSdtSSSt 整理后，得整理后，得 22221()

55、()2ffffdgSdzSSdtSSSt782022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾斯期權定價公式fS選擇，則222212ffdgSdtSt（2 2）對于期權定價問題，可以構造投資組合）對于期權定價問題，可以構造投資組合， 一個單位期權，其價值為一個單位期權，其價值為 V，和，和單位標的資產，單位標的資產， 這一資產組合的價值為這一資產組合的價值為5.4.1VS（）792022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾斯期權定價公式5.4.2ddVdS（）VS選擇，則有222215.4.32VVdSdtSt（）這時投資組合這時投資組合是確定性資產，由無

56、套利假設，是確定性資產，由無套利假設， drdt802022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾斯期權定價公式3Black-Scholes期權微分方程期權微分方程假定無風險利率為假定無風險利率為r r， 由無套利機會假設及風險中性定價原理由無套利機會假設及風險中性定價原理， 任何無風險資產組合的收益率都等于無風險利率，任何無風險資產組合的收益率都等于無風險利率， 由式由式(5.4.3) d(5.4.3) d是無風險組合，是無風險組合， drdt，2222105.4.42VVVSrSrVtSS（）VS描述了期權價值與標的資產價值之間的關系，描述了期權價值與標的資產價值之間的

57、關系， 是構造無風險投資組合的關鍵。是構造無風險投資組合的關鍵。812022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾斯期權定價公式4BlackSholes歐式期權定價公式歐式期權定價公式( , )C S t以表示歐式買入期權的價值，由Black-Scholes公式， 2222105.4.52CCCSrSrCtSS（）0,05.4.6Ct （）S 當時，( , )C S t ( , )5.4.7C S tSS ，當（）822022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾斯期權定價公式tT 時，( , )max(,0)C S tSE邊界條件為邊界條件為( , )

58、max(,0)5.4.8C S tSE（）下面在條件（下面在條件（5.4.6）和邊界條件（）和邊界條件（5.4.7）、（）、（5.4.8）下，）下，求解方程求解方程(5.4.5) 。 xSEe令，212tT，,CEV x832022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾斯期權定價公式22115.4.922CV dVVEEEtdt （）15.4.10 xxCV dxVVEEEeeSx dSxx（）2222xxCV dxV dxeeSx dSxdS 21125.4.11xxxxVVe E ee E exx （）842022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科

59、爾斯期權定價公式將式（將式（5.4.9）、式（）、式（5.4.10）和式（）和式（5.4.11）代入式（）代入式（5.4.5），得），得22(1)5.4.12VVVkkVxx（）212kr其中其中又因為又因為21( , )( , )(ln,)2SC S tEV x tEVTE( , )(ln,0)( ,0)SC S TEVEV xEmax(,0)max(1,0)xSEe852022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾斯期權定價公式代入邊界條件( , )max(,0)C S tSE中，得到新的邊界條件式 ( ,0)max(1,0)(5.4.13)xV xe( , )xVeu

60、 x設代入（5.4.12）得到 22221uuuuuukukuxxx862022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾斯期權定價公式為消去含u的項，選擇 21(5.4.14)kk為消去 ux021(5.4.15)k由式（5.4.14）和式（5.4.15）解得112k 2114k 872022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾斯期權定價公式于是 2111124( , )kxkveu x方程（5.4.12）為22,0(5.4.16)uuxx 初始條件( ,0)max(1,0)xV xe882022-5-115.4.1布萊克斯科爾斯期權定價公式布萊克斯科爾