固體物理學(xué)_能帶理論之能態(tài)密度及費(fèi)密面

1、04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論04_07 能態(tài)密度和費(fèi)密面能態(tài)密度和費(fèi)密面 1 能態(tài)密度函數(shù)能態(tài)密度函數(shù) 固體中電子的能量由一些準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)形成的能帶固體中電子的能量由一些準(zhǔn)連續(xù)的能級(jí)形成的能帶 能量在能量在E E+ E之間之間 能態(tài)數(shù)目能態(tài)數(shù)目 Z能態(tài)密度函數(shù)能態(tài)密度函數(shù)0( )limEZN EE E01/3604_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論等能面等能面 3)2(V3(2 )VZdSdk 狀態(tài)在狀態(tài)在k空間是均勻分布的空間是均勻分布的 動(dòng)量標(biāo)度下的能態(tài)密度動(dòng)量標(biāo)度下的能態(tài)密度 EE+ E之間的能態(tài)數(shù)目之間的能態(tài)數(shù)目應(yīng)用關(guān)系應(yīng)用關(guān)系kdkEE 狀態(tài)密度狀態(tài)密度( )Econsta

2、ntk04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論能態(tài)密度能態(tài)密度kEdkE3(2 )VZdSdk3(2 )kVdSZEE3( )2(2 )kVdSN EEEdSVENk3)2()(考慮到電子的自旋，能態(tài)密度考慮到電子的自旋，能態(tài)密度kdkEE 04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論1) 自由電子的能態(tài)密度自由電子的能態(tài)密度22( )2kEmk電子的能量電子的能量k空間空間, 等能面是半徑等能面是半徑22mEk 的球面的球面04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論dkdEEkmk2在球面上在球面上能態(tài)密度能態(tài)密度EdSVENk34)(24dSk22( )2kEmk3/22222( )(2 )VmN E

3、E05/3604_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論2) 近自由電子的能態(tài)密度近自由電子的能態(tài)密度 晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)對(duì)能量的影響表現(xiàn)在布里淵區(qū)附近晶體的周期性勢(shì)場(chǎng)對(duì)能量的影響表現(xiàn)在布里淵區(qū)附近等能面的變化等能面的變化 二維正方格子二維正方格子第一布里淵區(qū)的等能面第一布里淵區(qū)的等能面04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論第一布里淵區(qū)的等能面第一布里淵區(qū)的等能面 接近布里淵區(qū)的接近布里淵區(qū)的A點(diǎn)，能量受到周期性勢(shì)場(chǎng)的微擾點(diǎn)，能量受到周期性勢(shì)場(chǎng)的微擾 能量下降，等能面向邊界凸現(xiàn)能量下降，等能面向邊界凸現(xiàn) 在在A點(diǎn)到點(diǎn)到C點(diǎn)之間點(diǎn)之間 等能面不再是完整的閉合面等能面不再是完整的閉合面 分割在各個(gè)頂點(diǎn)附近

4、的曲面分割在各個(gè)頂點(diǎn)附近的曲面 04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論能態(tài)密度的變化能態(tài)密度的變化 k接近接近A點(diǎn)，等能面向邊界凸現(xiàn)點(diǎn)，等能面向邊界凸現(xiàn) 兩個(gè)等能面間的體積不斷增大兩個(gè)等能面間的體積不斷增大, 能態(tài)密度增大能態(tài)密度增大 在在A點(diǎn)到點(diǎn)到C點(diǎn)之間，等能面發(fā)生殘缺點(diǎn)之間，等能面發(fā)生殘缺 達(dá)到達(dá)到C點(diǎn)時(shí)等能面縮成一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)時(shí)等能面縮成一個(gè)點(diǎn), 能態(tài)密度減小為零能態(tài)密度減小為零04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論第二布里淵區(qū)能態(tài)密度第二布里淵區(qū)能態(tài)密度 能量能量E越過第一布里淵區(qū)邊界越過第一布里淵區(qū)邊界A點(diǎn)點(diǎn) 從從B點(diǎn)開始能態(tài)密度由零迅速增大點(diǎn)開始能態(tài)密度由零迅速增大能帶不重疊能帶不重疊

5、04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論第二布里淵區(qū)能態(tài)密度第二布里淵區(qū)能態(tài)密度 能量能量E越過第一布里淵區(qū)邊界越過第一布里淵區(qū)邊界A點(diǎn)點(diǎn) 從從B點(diǎn)開始能態(tài)密度由零迅速增大點(diǎn)開始能態(tài)密度由零迅速增大能帶重疊能帶重疊10/3604_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論3) 緊束縛模型的電子能態(tài)密度緊束縛模型的電子能態(tài)密度 簡(jiǎn)單立方格子的簡(jiǎn)單立方格子的s帶帶 等能面為球面等能面為球面 k=0附近附近)coscos(cos2)(10akakakJEkEzyxs)(2)(222*2minzyxkkkmEkE 隨著隨著E的增大，等能面與近自由電子的情況類似的增大，等能面與近自由電子的情況類似04_07_能態(tài)密

6、度和費(fèi)米面 能帶理論32221( )8(sinsinsin)xyzVdSN EaJk ak ak a等能面能態(tài)密度能態(tài)密度)sinsin(sin22221akakakaJEzyxk)coscos(cos2)(10akakakJEkEzyxsEdSVENk34)(04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論102JEEX出現(xiàn)微商不連續(xù)的奇點(diǎn)出現(xiàn)微商不連續(xù)的奇點(diǎn) 等能面與布里淵區(qū)相交等能面與布里淵區(qū)相交帶底帶底106JEE102JEE和和)sinsin(sin22221akakakaJEzyxkX點(diǎn)點(diǎn),0,0ka04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論出現(xiàn)微商不連續(xù)的奇點(diǎn)出現(xiàn)微商不連續(xù)的奇點(diǎn) 等能面與布里

7、淵區(qū)相交等能面與布里淵區(qū)相交22212(sinsinsin)kxyzEaJk ak ak a04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論0EE 的等能面的等能面102JEEX的等能面的等能面15/3604_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論2 費(fèi)米面費(fèi)米面 固體中有固體中有N個(gè)自由電子個(gè)自由電子 按照泡利原理它們基態(tài)按照泡利原理它們基態(tài) N個(gè)電子由低到高填充的個(gè)電子由低到高填充的N個(gè)量子態(tài)個(gè)量子態(tài)mkE2)(22k3334)2(2FkVN電子的能級(jí)電子的能級(jí) 電子填充電子填充k空間半徑為空間半徑為kF的球的球 球內(nèi)的狀態(tài)數(shù)球內(nèi)的狀態(tài)數(shù)04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論3334)2(2FkVN1/3

8、1/3328FNkV1/3328Fnk 球內(nèi)的狀態(tài)數(shù)球內(nèi)的狀態(tài)數(shù)球的半徑球的半徑NnV電子密度電子密度04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論 費(fèi)米波矢費(fèi)米波矢 費(fèi)米動(dòng)量費(fèi)米動(dòng)量 費(fèi)米速度費(fèi)米速度 費(fèi)米溫度費(fèi)米溫度 費(fèi)米能量費(fèi)米能量22/2FFEkm 費(fèi)米球半徑費(fèi)米球半徑2FFkmE費(fèi)米動(dòng)量費(fèi)米動(dòng)量費(fèi)米速度費(fèi)米速度FFkp/FFmvp費(fèi)米溫度費(fèi)米溫度/FFBTEk04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論 自由電子球半徑自由電子球半徑3341srnNV133()4srn1.92Fskr343srn3/1832nkF 電子密度電子密度 費(fèi)米半徑費(fèi)米半徑FFpvm604.2010/Fsvm sra 費(fèi)米

9、速度費(fèi)米速度04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論10023300.529 1010/2 6samncmr a222FFkEm20)/(1 .51areVEsFFE1.515eVeV1.92Fskr 費(fèi)米半徑費(fèi)米半徑 費(fèi)米能量費(fèi)米能量20/3604_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論 晶體中的電子晶體中的電子 滿帶滿帶 電子占據(jù)了一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)電子占據(jù)了一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)空帶空帶 沒有任何電子占據(jù)沒有任何電子占據(jù)(填充填充)的能帶的能帶導(dǎo)帶導(dǎo)帶 一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)沒有被電子占滿一個(gè)能帶中所有的狀態(tài)沒有被電子占滿 即不滿帶，或說最下面的一個(gè)空帶即不滿帶，或說最下面的一個(gè)空帶價(jià)帶價(jià)帶 導(dǎo)帶

10、以下的第一個(gè)滿帶導(dǎo)帶以下的第一個(gè)滿帶禁帶禁帶 兩個(gè)能帶之間不允許存在的能級(jí)寬度兩個(gè)能帶之間不允許存在的能級(jí)寬度04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論 周期性勢(shì)場(chǎng)的影響使得電子的能級(jí)周期性勢(shì)場(chǎng)的影響使得電子的能級(jí) 形成一系列的準(zhǔn)連續(xù)的能帶形成一系列的準(zhǔn)連續(xù)的能帶 N個(gè)電子填充這些能帶中最低的個(gè)電子填充這些能帶中最低的N個(gè)狀態(tài)個(gè)狀態(tài)半導(dǎo)體和絕緣體半導(dǎo)體和絕緣體 電子剛好填滿最低的一系列能帶，形成滿帶電子剛好填滿最低的一系列能帶，形成滿帶 導(dǎo)帶中沒有電子導(dǎo)帶中沒有電子 半導(dǎo)體帶隙寬度較小半導(dǎo)體帶隙寬度較小 1 eV 絕緣體帶隙寬度較寬絕緣體帶隙寬度較寬 10 eV04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理

11、論金屬金屬 電子除了填滿一系列的能帶形成滿帶電子除了填滿一系列的能帶形成滿帶 還有部分電子填充其它能帶形成導(dǎo)帶還有部分電子填充其它能帶形成導(dǎo)帶 電子填充的最高能級(jí)為費(fèi)密能級(jí)電子填充的最高能級(jí)為費(fèi)密能級(jí) 位于一個(gè)或幾個(gè)能帶范圍內(nèi)位于一個(gè)或幾個(gè)能帶范圍內(nèi) 在不同能帶中在不同能帶中 形成一個(gè)占有電子與不占有電子區(qū)域的分解面形成一個(gè)占有電子與不占有電子區(qū)域的分解面 面的集合稱為面的集合稱為費(fèi)密面費(fèi)密面04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論金屬金屬_半導(dǎo)體半導(dǎo)體_絕緣體的能帶絕緣體的能帶04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論堿金屬堿金屬 體心立方格子，一個(gè)原胞有體心立方格子，一個(gè)原胞有1個(gè)原子個(gè)原子n2

12、的能級(jí)的能級(jí) 原子的量子態(tài)數(shù)為原子的量子態(tài)數(shù)為8，電子填充數(shù)為，電子填充數(shù)為8個(gè)個(gè) 晶體中相應(yīng)的能帶晶體中相應(yīng)的能帶2s_1個(gè)、個(gè)、2p_3個(gè)，共個(gè)，共4個(gè)能帶個(gè)能帶 N個(gè)原子構(gòu)成的晶體個(gè)原子構(gòu)成的晶體 各滿層電子能級(jí)相應(yīng)分成各滿層電子能級(jí)相應(yīng)分成2N個(gè)量子態(tài)的能帶個(gè)量子態(tài)的能帶 內(nèi)層電子剛好填滿了相應(yīng)的能帶內(nèi)層電子剛好填滿了相應(yīng)的能帶 每個(gè)能帶所容許的量子態(tài)每個(gè)能帶所容許的量子態(tài)2N _ 8N個(gè)量子態(tài)個(gè)量子態(tài) 可以填充可以填充8N個(gè)電子個(gè)電子25/3604_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論堿金屬堿金屬 體心立方格子，一個(gè)原胞有體心立方格子，一個(gè)原胞有1個(gè)原子個(gè)原子 ns態(tài)所對(duì)應(yīng)的能帶可以填充

13、態(tài)所對(duì)應(yīng)的能帶可以填充2N電子電子 N個(gè)電子只填充了半個(gè)布里淵區(qū)個(gè)電子只填充了半個(gè)布里淵區(qū) 費(fèi)密球與布里淵區(qū)邊界不相交費(fèi)密球與布里淵區(qū)邊界不相交 費(fèi)米面接近球面費(fèi)米面接近球面 N個(gè)自由電子，只填充了半個(gè)能帶而形成個(gè)自由電子，只填充了半個(gè)能帶而形成導(dǎo)帶導(dǎo)帶04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論二價(jià)堿土金屬二價(jià)堿土金屬 最外層最外層2個(gè)個(gè)s態(tài)電子態(tài)電子 2N個(gè)電子個(gè)電子剛好填充滿和剛好填充滿和s相應(yīng)的能帶相應(yīng)的能帶 ns態(tài)所對(duì)應(yīng)的能帶可以填充態(tài)所對(duì)應(yīng)的能帶可以填充2N電子電子 與與s對(duì)應(yīng)的能帶和上面的能帶發(fā)生重疊對(duì)應(yīng)的能帶和上面的能帶發(fā)生重疊 2N個(gè)電子尚未填充滿個(gè)電子尚未填充滿s態(tài)能帶，開始填充

14、上面的能帶態(tài)能帶，開始填充上面的能帶 兩個(gè)能帶都是部分填充兩個(gè)能帶都是部分填充二價(jià)堿土金屬二價(jià)堿土金屬 是絕緣體！是絕緣體！04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論 第一布里淵區(qū)尚未填滿第一布里淵區(qū)尚未填滿 堿土金屬為金屬導(dǎo)體堿土金屬為金屬導(dǎo)體二價(jià)堿土金屬二價(jià)堿土金屬 最外層最外層2個(gè)個(gè)s態(tài)電子態(tài)電子 費(fèi)米面由兩部分構(gòu)成費(fèi)米面由兩部分構(gòu)成 第二布里淵區(qū)已填充電子第二布里淵區(qū)已填充電子04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論金剛石結(jié)構(gòu)的金剛石結(jié)構(gòu)的IVB族元素族元素 C、Si和和Ge電子的填充電子的填充 IVB原子外層有原子外層有4個(gè)電子個(gè)電子 形成晶體后成鍵態(tài)對(duì)應(yīng)形成晶體后成鍵態(tài)對(duì)應(yīng)4個(gè)能帶在下面

15、個(gè)能帶在下面 反鍵態(tài)對(duì)應(yīng)反鍵態(tài)對(duì)應(yīng)4個(gè)能帶在上面?zhèn)€能帶在上面 每個(gè)能帶每個(gè)能帶 可容納可容納2N個(gè)電子個(gè)電子 成鍵態(tài)的成鍵態(tài)的4個(gè)能帶剛個(gè)能帶剛 好可以容納好可以容納 8N 電子電子04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論每個(gè)原胞有兩個(gè)原子每個(gè)原胞有兩個(gè)原子 共共8個(gè)電子個(gè)電子 Si和和Ge為半導(dǎo)體為半導(dǎo)體 成鍵態(tài)的成鍵態(tài)的4個(gè)能帶剛好可以容納個(gè)能帶剛好可以容納8N電子電子 晶體中晶體中8N個(gè)電子全部填充成鍵態(tài)的個(gè)電子全部填充成鍵態(tài)的4個(gè)能帶形成滿帶個(gè)能帶形成滿帶 反鍵態(tài)則是空帶反鍵態(tài)則是空帶 金剛石為絕緣體金剛石為絕緣體 30/3604_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論能態(tài)密度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果能態(tài)密

16、度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 X射線將原子內(nèi)層電子激發(fā)射線將原子內(nèi)層電子激發(fā) 產(chǎn)生空的內(nèi)層能級(jí)產(chǎn)生空的內(nèi)層能級(jí) 導(dǎo)帶中的電子躍遷填充內(nèi)層能級(jí)時(shí)發(fā)射導(dǎo)帶中的電子躍遷填充內(nèi)層能級(jí)時(shí)發(fā)射X射線光子射線光子04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論 X射線將射線將Na原子的內(nèi)層電子激發(fā)后原子的內(nèi)層電子激發(fā)后 產(chǎn)生了諸如產(chǎn)生了諸如1s, 2s和和2p等空的內(nèi)層能級(jí)等空的內(nèi)層能級(jí) K : 電子到電子到1s能級(jí)的躍遷能級(jí)的躍遷 LI : 電子到電子到2s能級(jí)的躍遷能級(jí)的躍遷 LII : 電子到電子到2p能級(jí)的躍遷能級(jí)的躍遷 LIII: 電子到電子到3s能級(jí)的躍遷能級(jí)的躍遷04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論 導(dǎo)帶中電子能量從

17、帶底能量到最高能量導(dǎo)帶中電子能量從帶底能量到最高能量E0 各種能量的電子均可發(fā)生躍遷產(chǎn)生不同能量的各種能量的電子均可發(fā)生躍遷產(chǎn)生不同能量的X光子光子 發(fā)射出發(fā)射出X光子能量形成一個(gè)連續(xù)能量譜光子能量形成一個(gè)連續(xù)能量譜X光子發(fā)射強(qiáng)度決定于光子發(fā)射強(qiáng)度決定于（能態(tài)密度）（能態(tài)密度）（發(fā)射幾率）（發(fā)射幾率） 根據(jù)不同固體的根據(jù)不同固體的X光子光子 發(fā)射譜可以獲知能態(tài)密發(fā)射譜可以獲知能態(tài)密 度的信息度的信息04_07_能態(tài)密度和費(fèi)米面 能帶理論 在低能量區(qū)域在低能量區(qū)域, , X光子發(fā)射能量逐漸上升的光子發(fā)射能量逐漸上升的 電子的能量從帶底逐漸增大，能態(tài)密度逐漸增大電子的能量從帶底逐漸增大，能態(tài)密度逐漸增大 在高能量的一端，在高能量的一端， X光子發(fā)射譜陡然下降光子發(fā)射譜陡然下降 導(dǎo)帶未填充滿，最高能量的電子對(duì)應(yīng)的能態(tài)密度最大導(dǎo)帶未填充滿，最高能量的電子對(duì)應(yīng)的能