《數(shù)值計(jì)算引論》ppt課件

1、數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法本課程的性質(zhì)、目的和義務(wù)：本課程的性質(zhì)、目的和義務(wù)： 本課程是電氣工程及其自動(dòng)化專業(yè)本課程是電氣工程及其自動(dòng)化專業(yè)一門專業(yè)根底課。其目的是經(jīng)過(guò)本課程的學(xué)一門專業(yè)根底課。其目的是經(jīng)過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握利用計(jì)算機(jī)計(jì)算各種數(shù)學(xué)模習(xí)，使學(xué)生掌握利用計(jì)算機(jī)計(jì)算各種數(shù)學(xué)模型的數(shù)值計(jì)算方法，并經(jīng)過(guò)數(shù)值上機(jī)實(shí)驗(yàn)提型的數(shù)值計(jì)算方法，并經(jīng)過(guò)數(shù)值上機(jī)實(shí)驗(yàn)提高學(xué)生程序設(shè)計(jì)的根本技藝。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高學(xué)生程序設(shè)計(jì)的根本技藝。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)課和畢業(yè)后從事專業(yè)任務(wù)打下必要的根專業(yè)課和畢業(yè)后從事專業(yè)任務(wù)打下必要的根底。底。課時(shí)安排：課時(shí)安排： 講課：講課：2424學(xué)時(shí)學(xué)時(shí) 上機(jī)：上機(jī)：8 8學(xué)時(shí)

2、學(xué)時(shí) 第一章第一章 數(shù)值計(jì)算引論數(shù)值計(jì)算引論主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 數(shù)值計(jì)算方法的概念、研討對(duì)象及特點(diǎn)數(shù)值計(jì)算方法的概念、研討對(duì)象及特點(diǎn) 數(shù)值計(jì)算中的誤差；數(shù)值計(jì)算中的誤差； 近似數(shù)的誤差表示法；近似數(shù)的誤差表示法； 運(yùn)算誤差分析；運(yùn)算誤差分析； 減小運(yùn)算誤差的原那么；減小運(yùn)算誤差的原那么；數(shù)值計(jì)算方法研討的對(duì)象數(shù)值計(jì)算方法研討的對(duì)象 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的開(kāi)展和科學(xué)研討、消費(fèi)實(shí)際的需隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的開(kāi)展和科學(xué)研討、消費(fèi)實(shí)際的需求，利用計(jì)算機(jī)作為科學(xué)計(jì)算的主要工具越來(lái)越不可短求，利用計(jì)算機(jī)作為科學(xué)計(jì)算的主要工具越來(lái)越不可短少，因此要求研討適宜計(jì)算機(jī)運(yùn)用的數(shù)值計(jì)算方法。為少，因此要求研討適宜計(jì)算機(jī)運(yùn)用的

3、數(shù)值計(jì)算方法。為了更詳細(xì)地闡明數(shù)值計(jì)算方法的研討對(duì)象，我們調(diào)查用了更詳細(xì)地闡明數(shù)值計(jì)算方法的研討對(duì)象，我們調(diào)查用計(jì)算機(jī)處文科學(xué)計(jì)算問(wèn)題的普經(jīng)過(guò)程。計(jì)算機(jī)處文科學(xué)計(jì)算問(wèn)題的普經(jīng)過(guò)程。 1.1 1.1 數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法處文科學(xué)計(jì)算問(wèn)題的過(guò)程處文科學(xué)計(jì)算問(wèn)題的過(guò)程數(shù)值數(shù)值分析分析 計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)近似解近似解實(shí)踐問(wèn)題實(shí)踐問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax計(jì)算機(jī)計(jì)算的特點(diǎn)：計(jì)算機(jī)計(jì)算的特點(diǎn)：運(yùn)算速度快運(yùn)算速度快 只能完成加、減、乘、除和一些邏輯運(yùn)算只能完成加、減、乘、除和一些邏輯運(yùn)算 計(jì)算機(jī)計(jì)算數(shù)學(xué)問(wèn)題的步驟：計(jì)算機(jī)計(jì)算數(shù)學(xué)問(wèn)題的步驟：數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題四

4、那么運(yùn)算四那么運(yùn)算編程指令編程指令 數(shù)值計(jì)算方法，又稱數(shù)值分析或計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法，又稱數(shù)值分析或計(jì)算方法, 它是它是研討用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及其實(shí)際研討用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及其實(shí)際的一門學(xué)科，是程序設(shè)計(jì)和對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)展分析的根的一門學(xué)科，是程序設(shè)計(jì)和對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)展分析的根據(jù)和根底。據(jù)和根底。 根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，必需把對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法歸根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)，必需把對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法歸結(jié)為結(jié)為及邏輯運(yùn)算，并對(duì)運(yùn)算順序有完好、準(zhǔn)及邏輯運(yùn)算，并對(duì)運(yùn)算順序有完好、準(zhǔn)確的描畫(huà)的算法。確的描畫(huà)的算法。 數(shù)值計(jì)算方法定義：數(shù)值計(jì)算方法定義：處理的數(shù)學(xué)問(wèn)題處理的數(shù)學(xué)問(wèn)題 計(jì)算方法課是研

5、討各種數(shù)值算法及其有關(guān)計(jì)算方法課是研討各種數(shù)值算法及其有關(guān)實(shí)際的一門課程。從工程實(shí)踐出發(fā)，本課程所實(shí)際的一門課程。從工程實(shí)踐出發(fā)，本課程所要處理的數(shù)學(xué)問(wèn)題主要是：要處理的數(shù)學(xué)問(wèn)題主要是： 非線性方程的數(shù)值求解非線性方程的數(shù)值求解 線性方程組的數(shù)值求解線性方程組的數(shù)值求解 插值和曲線擬合插值和曲線擬合 數(shù)值積分和微分?jǐn)?shù)值積分和微分 常微分方程的數(shù)值求解。常微分方程的數(shù)值求解。 數(shù)值算法特點(diǎn)：數(shù)值算法特點(diǎn)： 1面向計(jì)算機(jī) 根據(jù)計(jì)算機(jī)特點(diǎn)提供實(shí)踐可行的有效算法，即算法只能包括加，減，乘，除運(yùn)算和邏輯運(yùn)算，是計(jì)算機(jī)能直接處置的； 2保證算法的收斂性和穩(wěn)定性 數(shù)值算法的數(shù)值解能恣意逼近準(zhǔn)確解到要求的程度

6、；還要保證算法的數(shù)值穩(wěn)定性。例如，求解一個(gè)例如，求解一個(gè)20階線性方程組，用加減消元法需階線性方程組，用加減消元法需3000次乘法運(yùn)算，而用克萊姆法那么要進(jìn)展次乘法運(yùn)算，而用克萊姆法那么要進(jìn)展 次運(yùn)算，如用每秒次運(yùn)算，如用每秒1億次乘法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)要億次乘法運(yùn)算的計(jì)算機(jī)要30萬(wàn)年。萬(wàn)年。209.7 10計(jì)算方法中常用的一些概念計(jì)算方法中常用的一些概念n數(shù)值問(wèn)題：由一組知數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)，求出一數(shù)值問(wèn)題：由一組知數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)，求出一組結(jié)果數(shù)據(jù)輸出數(shù)據(jù)，使得這兩組數(shù)據(jù)之間組結(jié)果數(shù)據(jù)輸出數(shù)據(jù)，使得這兩組數(shù)據(jù)之間滿足預(yù)先制定的某種關(guān)系的問(wèn)題。滿足預(yù)先制定的某種關(guān)系的問(wèn)題。 n數(shù)值解：經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)的計(jì)算求出的

7、解，或由數(shù)值數(shù)值解：經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)的計(jì)算求出的解，或由數(shù)值計(jì)算公式得出的解稱為數(shù)值解。普通為近似值。計(jì)算公式得出的解稱為數(shù)值解。普通為近似值。n算法：由給定的知量，經(jīng)過(guò)有限次的四那么運(yùn)算算法：由給定的知量，經(jīng)過(guò)有限次的四那么運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序，求出所關(guān)懷的未知量的數(shù)值及規(guī)定的運(yùn)算順序，求出所關(guān)懷的未知量的數(shù)值解，這樣所構(gòu)成的整個(gè)計(jì)算步驟，稱為算法。解，這樣所構(gòu)成的整個(gè)計(jì)算步驟，稱為算法。 1.2 數(shù)值計(jì)算中誤差的來(lái)源數(shù)值計(jì)算中誤差的來(lái)源 從實(shí)踐問(wèn)題中籠統(tǒng)出數(shù)學(xué)模型從實(shí)踐問(wèn)題中籠統(tǒng)出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差 經(jīng)過(guò)丈量得到模型中參數(shù)的值經(jīng)過(guò)丈量得到模型中參數(shù)的值 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 求近似解求近似解

8、 方法誤差方法誤差 (截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 機(jī)器字長(zhǎng)有限機(jī)器字長(zhǎng)有限 舍入誤差舍入誤差dxex 102 近近似似計(jì)計(jì)算算: :例例大家一同猜？大家一同猜？ dxe2x1011 / e解法之一：將解法之一：將 作作Taylor展開(kāi)后再積分展開(kāi)后再積分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4,104 Sdxe2x取取那那么么 111!5191!414R稱為截?cái)嗾`差稱為截?cái)嗾`差005091!414.R 這這里里7430024010333014211013114.S = 0.747 1.3 誤差與有效數(shù)字誤差與有效數(shù)字|*e*100050

9、74302.dxex*xx ，例如：，例如：工程上常記為工程上常記為，稱為絕對(duì)誤差限，稱為絕對(duì)誤差限 ，簡(jiǎn)稱誤差、精度，簡(jiǎn)稱誤差、精度的上限記為的上限記為由于無(wú)法準(zhǔn)確地知道絕對(duì)誤差由于無(wú)法準(zhǔn)確地知道絕對(duì)誤差 的大小，但根據(jù)詳細(xì)情的大小，但根據(jù)詳細(xì)情況可估計(jì)出誤差范圍。況可估計(jì)出誤差范圍。誤差限不獨(dú)一，實(shí)踐中常用四舍五入來(lái)取近似值。誤差限不獨(dú)一，實(shí)踐中常用四舍五入來(lái)取近似值。例如丈量數(shù)據(jù)、四舍五入數(shù)據(jù)例如丈量數(shù)據(jù)、四舍五入數(shù)據(jù)四舍五入的誤差限是末位的半個(gè)單位四舍五入的誤差限是末位的半個(gè)單位 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差*xxxe）（其中其中x x為準(zhǔn)確值，為準(zhǔn)確值，x x* *為為x x的近似值。簡(jiǎn)記為的近

10、似值。簡(jiǎn)記為*e 有效數(shù)字有效數(shù)字用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記 其中其中 。假。假設(shè)設(shè) ，那么稱，那么稱 為有為有n n 位有效數(shù)字，準(zhǔn)確位有效數(shù)字，準(zhǔn)確到到 。mnaa.ax10021* 01 anm.xx 1050|*xnm 10有效數(shù)字即有效數(shù)字位數(shù)，它是由絕對(duì)誤差決議的。有效數(shù)字即有效數(shù)字位數(shù)，它是由絕對(duì)誤差決議的。等價(jià)定義：一個(gè)四舍五入的近似數(shù)，從左向右第一位非零等價(jià)定義：一個(gè)四舍五入的近似數(shù)，從左向右第一位非零數(shù)數(shù) 字到最后一位數(shù)字的個(gè)數(shù)就是有效數(shù)字位數(shù)。字到最后一位數(shù)字的個(gè)數(shù)就是有效數(shù)字位數(shù)。 定義：定義： 1415389793214159265353.*;.例：例：?jiǎn)枺簡(jiǎn)枺?/p>

11、 有幾位有效數(shù)字？請(qǐng)證明他的結(jié)論。有幾位有效數(shù)字？請(qǐng)證明他的結(jié)論。* 131 40 3141510*0 5100 510*.,| |. 證明：證明：有有 位有效數(shù)字，準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第位有效數(shù)字，準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第 位。位。43關(guān)于有效數(shù)字還要指出以下幾點(diǎn)：關(guān)于有效數(shù)字還要指出以下幾點(diǎn)：1)用四舍五入取準(zhǔn)確值的前用四舍五入取準(zhǔn)確值的前 n 位作為近似值，那么必有位作為近似值，那么必有 n位位有效數(shù)字。有效數(shù)字。2) 把任何數(shù)乘以把任何數(shù)乘以10p，等于挪動(dòng)該數(shù)的小數(shù)點(diǎn)。這樣不影響其，等于挪動(dòng)該數(shù)的小數(shù)點(diǎn)。這樣不影響其有效數(shù)字位數(shù)。有效數(shù)字位數(shù)。 例如：例如： 9.80 寫成寫成0.00980 10

12、-33數(shù)字末尾的數(shù)字末尾的0不可隨意省去不可隨意省去0.2300有有4位有效數(shù)字，而位有效數(shù)字，而00023只需只需2位有效。位有效。12300假設(shè)寫假設(shè)寫成成0.123105，那么表示只需，那么表示只需3位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。準(zhǔn)確值被以為具有無(wú)窮多位有效數(shù)字準(zhǔn)確值被以為具有無(wú)窮多位有效數(shù)字 相對(duì)誤差相對(duì)誤差*r*e ()()|rrexxxx x 的相對(duì)誤差上限的相對(duì)誤差上限 定義為定義為:絕對(duì)誤差還缺乏以刻劃近似數(shù)的準(zhǔn)確程度，例如，有兩個(gè)量絕對(duì)誤差還缺乏以刻劃近似數(shù)的準(zhǔn)確程度，例如，有兩個(gè)量 yx, 110101000哪個(gè)近似程度哪個(gè)近似程度 好？好？*( *)rexxexxx 定義：定義

13、：實(shí)踐運(yùn)用：實(shí)踐運(yùn)用：*( *)rexxexxx 相對(duì)誤差限在實(shí)踐計(jì)算中常稱為相對(duì)誤差。相對(duì)誤差限在實(shí)踐計(jì)算中常稱為相對(duì)誤差。由相對(duì)誤差限的定義可知，相對(duì)誤差限可由絕對(duì)誤差限求出。由相對(duì)誤差限的定義可知，相對(duì)誤差限可由絕對(duì)誤差限求出。反之，絕對(duì)誤差限也可由相對(duì)誤差限求出，即。反之，絕對(duì)誤差限也可由相對(duì)誤差限求出，即。*rx 1.4 函數(shù)的誤差估計(jì)函數(shù)的誤差估計(jì)問(wèn)題：對(duì)于問(wèn)題：對(duì)于 y = f (x) y = f (x)，假設(shè)用，假設(shè)用 x x* * 取代取代 x x，將對(duì)，將對(duì)y y 產(chǎn)生什么產(chǎn)生什么影響？影響？ 設(shè)一元函數(shù)設(shè)一元函數(shù) 的自變量的自變量 的近似值為的近似值為 ， 的近似值為的近

14、似值為 ，其誤差限記為，其誤差限記為 。將。將 在在近似值近似值 作泰勒展開(kāi)作泰勒展開(kāi) 介于介于 ， 之間。取絕對(duì)值得之間。取絕對(duì)值得其中：其中： 為近似數(shù)為近似數(shù) 的絕對(duì)誤差限。的絕對(duì)誤差限。 xf*x fx *fx *fx fx*x 2*2ff xf xfxxxxx x*x 2*2ffxfxfx *xx分析：利用函數(shù)的泰勒展開(kāi)式可分析這種誤差。分析：利用函數(shù)的泰勒展開(kāi)式可分析這種誤差。1.4 函數(shù)的誤差估計(jì)函數(shù)的誤差估計(jì)注：關(guān)于多元函數(shù)注：關(guān)于多元函數(shù) 的討論，請(qǐng)參閱教的討論，請(qǐng)參閱教材第材第10頁(yè)。頁(yè)。).,(21nx,x,xfy 忽略忽略 高次項(xiàng)，可得到高次項(xiàng)，可得到 *rfxfxfx

15、 函數(shù)運(yùn)算相對(duì)誤差函數(shù)運(yùn)算相對(duì)誤差: *f xfx 函數(shù)運(yùn)算絕對(duì)誤差函數(shù)運(yùn)算絕對(duì)誤差:利用多元函數(shù)的誤差估計(jì)公式可得和、差、積、商的利用多元函數(shù)的誤差估計(jì)公式可得和、差、積、商的誤差估計(jì)誤差估計(jì)1.5 減小運(yùn)算誤差的假設(shè)干原那減小運(yùn)算誤差的假設(shè)干原那么么1. 防止相近二數(shù)相減防止相近二數(shù)相減 (詳細(xì)分析請(qǐng)參閱教材詳細(xì)分析請(qǐng)參閱教材P11)例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 幾種閱歷性防止方法：幾種閱歷性防止方法：;xxxx ;1lnlnln xxx當(dāng)當(dāng)

16、| x | 1 時(shí)：時(shí)：;2sin2cos12xx .6121112xxxexl公式變換公式變換l假設(shè)計(jì)算公式不能改動(dòng)時(shí)，添加有效位數(shù)；假設(shè)計(jì)算公式不能改動(dòng)時(shí)，添加有效位數(shù)；l 當(dāng)當(dāng) 很接近時(shí)，采用泰勒展開(kāi)；很接近時(shí)，采用泰勒展開(kāi)； *fxfx 1.5 減小運(yùn)算誤差的原那減小運(yùn)算誤差的原那么么2. 防止小分母防止小分母 : 分母小會(huì)呵斥浮點(diǎn)溢出分母小會(huì)呵斥浮點(diǎn)溢出3. 防止大數(shù)吃小數(shù)防止大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計(jì)算例：用單精度計(jì)算 的根。的根。010)110(992 xx準(zhǔn)確解為準(zhǔn)確解為110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式：利用求根公式aacbbx242 在計(jì)算機(jī)內(nèi)，在計(jì)算機(jī)內(nèi)，1

17、09存為存為0.11010，1存為存為0.1101。做加法。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即即1 的指數(shù)部分須變?yōu)榈闹笖?shù)部分須變?yōu)?010，那么：，那么：1 = 0.0000000001 1010，取單精度時(shí)就成為：，取單精度時(shí)就成為： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大數(shù)吃小數(shù)大數(shù)吃小數(shù)024,102422921 aacbbxaacbbx算法算法2 2：先解出：先解出 再利用再利用9211024aacbbx11010991221 xacxacxx

18、例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094. 減少步驟，減少運(yùn)算次數(shù)，防止誤差積累。減少步驟，減少運(yùn)算次數(shù)，防止誤差積累。例例1：計(jì)算：計(jì)算x255的值的值 5. 選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。1.5 減小運(yùn)算誤差的原那減小運(yùn)算誤差的原那么么數(shù)值穩(wěn)定性定義：假設(shè)在執(zhí)行算法的過(guò)程中舍入誤差在一數(shù)值穩(wěn)定性定義：假設(shè)在執(zhí)行算法的過(guò)程中舍入誤差在一定條件下可以得到控制結(jié)果是可靠的，那么該算法是定條件下可以得到控制結(jié)果是可靠的，那么該算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否那么就是數(shù)值不穩(wěn)定的。數(shù)值穩(wěn)定的，否那么就是數(shù)

19、值不穩(wěn)定的。 在實(shí)踐運(yùn)算過(guò)程中，參與運(yùn)算的各種數(shù)據(jù)普通都帶有一定的誤差，這些誤差即使很小，也會(huì)隨著計(jì)算過(guò)程的進(jìn)展不斷傳播或積累下去，對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。 假設(shè)計(jì)算結(jié)果對(duì)初值誤差不敏感，那么以為算法是數(shù)值穩(wěn)定的。 算法數(shù)值穩(wěn)定的一個(gè)必要條件是原始數(shù)據(jù)小的變化只會(huì)引起最后結(jié)果有小的變化。.210110,n,dxexeIxnn 例：計(jì)算例：計(jì)算11 nnInI 公式公式一：一：留意此公式準(zhǔn)確成留意此公式準(zhǔn)確成立立632120560111100.edxeeIx 記為記為*0I80001050 .IIE那么初始誤差那么初始誤差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.I