振動(dòng)第3章(1)

1、 m xkkxk xm xk xk x111212222212200() （1）這就是兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程。 m xk xkxxm xkxx111122122221()() 31 兩兩自自由由度度系系統(tǒng)統(tǒng)的的振振動(dòng)動(dòng)將振動(dòng)微分方程寫成矩陣形式 。式（1）的矩陣形式是 mmxxkkkkkxx121212222120000 （2） MxKx 0 aptpAx2sin 它的展式為 pm m pm km kpk kk21122411222211211221220 （9a）由式（10b）看出，根號(hào)內(nèi)為正值；式（10a）看出，根號(hào)內(nèi)之?dāng)?shù)值小于ad2，所以，特征根pp1222,是兩個(gè)大于零的不相等

2、的正實(shí)根。221122222111,kkkkkkkk， kp mkkkp mAA112111221222221200 0AmpkAk0AkAmpk2121)()(222222112112110bAA)a(0AA)(21221112121111pmkpmk0A)d(cA-0A)(A22122222212221ppmkmk式中的1表征了以第一固有頻率作同步諧振動(dòng)時(shí)，即作第一主振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的型態(tài)，稱為第一固有振型第一固有振型或第一主振型第一主振型；2表征系統(tǒng)作第二主振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的型態(tài)，稱為第二固有振型第二固有振型或第二主振型第二主振型 212111121pdcbpaAA 222221222pdcbpaA

3、A （12）系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)，任意瞬時(shí)的位移比和其振幅比相同，即 xxxx2111122122, （13）這表明，在振動(dòng)過程中，振幅比1、2決定了整個(gè)系統(tǒng)的相對(duì)位置。0bAA)a(0AA)(21221112121111pmkpmk0A)d(cA-0A)(A22122222212221ppmkmk 212111121pdcbpaAAbcdadaP 2222兩自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程的通解，是它的兩個(gè)主振動(dòng)的線性組合，即 xtxxAp tAp txtxxAp tAp t11112111112222212221112222( )sin()sin()( )sin()sin() （15）上式可寫成如下

4、的矩陣形式，即 xxAAp tAAp t12112111122222sin()sin() (16）或 xxAAAAp tp t12111221221122sin()sin() （17）式中 A11、 A12、1、2 由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。解：（1）建立運(yùn)動(dòng)微分方程m xkxk xxm xkxxkx11121222212()() 整理后得 mxkxkxmxkxkx11221220220或 mmxxkkkkxx00222001212質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為 Mmm002 ， Kkkkk22（3） 求主振型將p12、p22分別代入式，得 121111112111212210732 AAkp mkkp m

5、k. 222121122111222212 732 AAkp mkkp mk. bpaAA2111121 bpaAA2221222 11,1112122111221222AAAAAAv因此，有 A1112 ， A1212 ， 12 ， 22 xtp tp tkmtkmt112121212123( )coscoscoscos （cm） xtp tp tkmtkmt212121212123( )coscoscoscos （cm）這表明，其響應(yīng)為頻率p1、p2的兩種主振動(dòng)的線性組合。再將初始條件（2）代入式（16），得 AA1111220212, xtp tkmt123( )coscos （cm）

6、xtp tkmt223( )coscos （cm）這表明，由于初始位移之比等于該系統(tǒng)的第二振幅比，因此，系統(tǒng)按第二主振型以頻率p2作諧振動(dòng)。 m xk xkxxm xkxx111122122221()() 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中普遍存在的問題扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中普遍存在的問題. 在車輛、船舶和發(fā)在車輛、船舶和發(fā)電機(jī)設(shè)備中隨著高速、大功率活塞式發(fā)動(dòng)機(jī)的采用，曲軸電機(jī)設(shè)備中隨著高速、大功率活塞式發(fā)動(dòng)機(jī)的采用，曲軸和齒輪軸等傳動(dòng)系統(tǒng)由于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)引起的事故隨著增加。和齒輪軸等傳動(dòng)系統(tǒng)由于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)引起的事故隨著增加。由于扭振引起的最大附加應(yīng)力可以超過發(fā)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩所由于扭振引起的最大附加應(yīng)

7、力可以超過發(fā)動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩所產(chǎn)生的工作應(yīng)力的幾倍。產(chǎn)生的工作應(yīng)力的幾倍。扭振系統(tǒng)的固有頻率、主振型以及動(dòng)應(yīng)力的計(jì)算和測量往扭振系統(tǒng)的固有頻率、主振型以及動(dòng)應(yīng)力的計(jì)算和測量往往是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的設(shè)計(jì)和試驗(yàn)工作中不可缺少的一部分。往是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的設(shè)計(jì)和試驗(yàn)工作中不可缺少的一部分。實(shí)際旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)動(dòng)部分往往比較復(fù)雜，通常是把質(zhì)量部實(shí)際旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)動(dòng)部分往往比較復(fù)雜，通常是把質(zhì)量部分按重心不變的原則集中為若干具有等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的圓盤分按重心不變的原則集中為若干具有等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的圓盤，圓盤之間由具有等效扭轉(zhuǎn)剛度的彈性軸段連接。，圓盤之間由具有等效扭轉(zhuǎn)剛度的彈性軸段連接。1 12122211 1122212()()0

8、0IKIKIKKIKK 例如汽車發(fā)動(dòng)機(jī)和傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)在估算基頻時(shí)，可把模型例如汽車發(fā)動(dòng)機(jī)和傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)在估算基頻時(shí)，可把模型 簡化為如圖所示的兩自由度系統(tǒng)。簡化為如圖所示的兩自由度系統(tǒng)。設(shè)設(shè) 與與 分別分別 為兩圓盤繞為兩圓盤繞x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 為扭轉(zhuǎn)剛度為扭轉(zhuǎn)剛度K1I2I20Kp M1122112212:,:00KKKKabcdIIIIabcd 令得1 112221200IKKIKK20Kp M4212121 2()0()0,pac pKIIppadI I4212121 2()0()0,pac pKIIppadI I系統(tǒng)的實(shí)際基頻為p2節(jié)面的位置正好把軸段按兩圓盤的轉(zhuǎn)慣量的

9、反比例值分成兩段.1221LILI 12111121babpaAA 222212221AapIbIA 21運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程221121222221()()mlmglKamlmglKa 2121222121212()()()()2()mlmglmlmglKa 112212,令211222222mlmglmlmglKa 11222202()0glgKalml21222ggKappllml方程的解為方程的解為:11112222sin()sin()AptAp t雙擺的通解為雙擺的通解為:11211122221211122211()sin()sin()2211()sin()sin()22AptA

10、p tAptAp t120121021(0)(0),(0)(0)02,0,2A當(dāng)初始條件為: t=0, 時(shí),A系統(tǒng)的響應(yīng)為:101201cos,cosptpt即系統(tǒng)按第一階固有頻率作即系統(tǒng)按第一階固有頻率作主振動(dòng)主振動(dòng),其振幅比為其振幅比為11201212020,(0)(0),(0)(0)0,0,2,2tAA 當(dāng)初始條件為:時(shí)102202coscosp tp t 系統(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)的響應(yīng)為:系統(tǒng)按第二階固有頻率作主振動(dòng)系統(tǒng)按第二階固有頻率作主振動(dòng),振幅比為振幅比為-1S1S2式（18）為二階常系數(shù)線性非齊次的微分方程組。由微分方程理論知，其解由對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解與該非齊次方程組的特解組成。前

11、者為系統(tǒng)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)，后者為系統(tǒng)的受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。當(dāng)自由振動(dòng)部分衰減了以后，它就是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。設(shè)方程組式（18）的特解為 xBtxBt1122sinsin （19a）或簡寫成 xxBBt1212sin （19b） MxKxFtsin 21FFBBmkkkmk2122222211211211221121FBmkBkFBkBmk)()(2222221121121111111221111)(mFBmkBmk121222222222221)(mFBmkBmk21在簡諧干擾力作用下，兩自由度無阻尼的線性系統(tǒng)的受迫振動(dòng)是以干擾力的頻率為其振動(dòng)頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)。受迫振動(dòng)的振幅的大小不僅和干擾力的幅

12、值大小F1、F2有關(guān)， 而且和干擾力的頻率有關(guān)。特別是當(dāng) p1或 p2時(shí)，即當(dāng)干擾力的頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振幅B1、B2將會(huì)無限地增大，發(fā)生共振。與單自由度振動(dòng)系統(tǒng)不同，兩自由系統(tǒng)一般有兩個(gè)固有頻率，因此，可能出現(xiàn)兩次共振。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振時(shí)，譬如 p1，振幅BB211時(shí)，該系統(tǒng)的受迫振動(dòng)的位移將以第一主振型的振動(dòng)形態(tài)無限增大。振動(dòng)測量中常利用這一規(guī)律來測量系統(tǒng)的固有頻率， 并根據(jù)共振時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)來判斷該固有頻率的階次。 212111121pdcbpaAA采用質(zhì)量聚縮法或其它方法離散化，使系統(tǒng)簡化為有限多個(gè)自由振動(dòng)系統(tǒng)，它的運(yùn)動(dòng)需要 n 個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)來描述。 第二節(jié) 多自由度系統(tǒng)自

13、由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程n 個(gè)自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程具有以下形式m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xk xkxm xm xm xk xkxk xnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000 （3-1）若用矩陣表示，則可寫成 MxKx0 （3-2） x xx xxxxxxxnTnT1212， M mmmmmmmmmnnnnn n111212122212 , K kkkkkkkkknnnnn n111212122212 一一、 剛剛度度影影響響系系數(shù)數(shù) 作作用用力力方方程程方程（3-1）中各

14、項(xiàng)均為力的量綱，因此，稱之為作用力方程。 剛 度 矩 陣 中 的 元 素 稱 剛 度 影 響 系 數(shù) (在 單 自 由 度 系 統(tǒng) 中 ， 簡 稱 彈 性常 數(shù) )。 它 表 示 系 統(tǒng) 單 位 變 形 所 需 的 作 用 力 。0312212111kkkkkk同理，令xxx123010，畫出受力圖 3-1（c），則有kkkkkkk1222223323 ，。最后令xxx12301，畫出受力圖 3-1（d），有kkkkk132333330 ，。因此剛度矩陣為 K kkkkkkkkk12221333300上式表明，kkijji 。因此，剛度矩陣一般是對(duì)稱的。實(shí)際上任何多自由度線性系統(tǒng)都具有這個(gè)性質(zhì)

15、。即 KKT （3-3）二二 、 柔柔 度度 影影 響響 系系 數(shù)數(shù) 位位 移移 方方 程程在單自由度的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，若彈簧常數(shù)是 k，則1k就是物塊上作用單位力時(shí)彈簧的變形，也稱柔度影響，用表示。n 自由度系統(tǒng)的柔度矩陣 為 n 階方陣， 其元素ij稱為柔度影響系數(shù)，表示單位力產(chǎn)生的位移。具體地說，僅在第 j 個(gè)質(zhì)量的坐標(biāo)方向上受到單位力作用時(shí)相應(yīng)于在第 i 個(gè)質(zhì)量的坐標(biāo)方向上產(chǎn)生的位移，即定義為ij ?，F(xiàn)分析求出圖 3-1（a）所示的三自由度系統(tǒng)的柔度影響系數(shù)。令PPP12310，(圖 3-2（a）)，這時(shí)三物塊所產(chǎn)生的靜位移按定義應(yīng)分別是112131、。當(dāng)m1受到P1作用后，第一個(gè)彈簧

16、的變形為11k，第二和第三個(gè)彈簧的變形為零。所以三物塊的位移都是11k，111211311111kkk,再令PPP12301,，可得到131231233123111111kkkkkk,寫成矩陣形式xxxmmmxxx123111213212223313233123123000000或 xMx （3-5a） Mxx0 （3-5b）為了比較作用力方程與位移方程，將式（3-2）改寫為 KxMx 如果K是非奇異的，即K的逆矩陣K1存在，對(duì)上式兩端左乘K1，得 xKMx1() （3-6）比較式（3-6）與式（3-5）得出 K1 （3-7）上式即柔度矩陣與剛度矩陣之間的關(guān)系。即當(dāng)剛度矩陣是非奇異時(shí)，剛度矩陣

17、K與柔度矩陣 互為逆矩陣；當(dāng)剛度矩陣是奇異時(shí)，不存在逆矩陣即無柔度矩陣，此時(shí)系統(tǒng)的平衡位置有無限多或者說它有剛體運(yùn)動(dòng)。例例 3-1 試寫出圖 3-4 所示剛體 AB的剛度矩陣并建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：由其質(zhì)心 C 的坐標(biāo)yC(以水平位置 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且水平運(yùn)動(dòng)不計(jì))和繞 C 的轉(zhuǎn)角確定。圖 3-4（a）為yC10,時(shí)的受力圖，kk1121,分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡，應(yīng)加在 C 點(diǎn)的力和力偶矩，由剛體 AB的平衡條件得到 kkkkk lk l1112211 122,圖 3-4（b）為yC01,時(shí)的受力圖，kk2212,分別表示保持系統(tǒng)在該位置平衡， 應(yīng)加在鉛直平面內(nèi)的力偶矩和加在 C

18、 點(diǎn)的力。由平衡條件得 kk lk lkk lk l222 221 12121 12 2,因此，可得到剛度矩陣 K kkk lk lk lk lk lk l122 21 12 21 11 122 22()()例 3-2 試求出圖 3-5 所示懸臂梁的柔度影響系數(shù)，并建立其位移方程。(梁的彎曲剛度為 EI，其質(zhì)量不計(jì))解：取yy12,為廣義坐標(biāo)，根據(jù)柔度影響系數(shù)的定義，11表示在m1處施加單位力(沿y1方向)并在m1處產(chǎn)生的位移。按材料力學(xué)的撓度公式，則有 11332324( )lEIlEI22表示在m2處施加單位力(沿y2方向)并在m2處產(chǎn)生的位移。有 2233lEI32,32FlFlyEIE

19、I由式（3-5）得系統(tǒng)的位移方程 ym ym yym ym y111111222221112222( )( )( )( )或 yMy0 其中柔度矩陣為 1112212233181161161lEI第三節(jié) 固有頻率 主振型一一 、頻頻率率方方程程設(shè) n自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程（3-2）的特解為 xAptiniisin(), , ,12 3 （3-8）即設(shè)系統(tǒng)的各坐標(biāo)作同步諧振動(dòng)。上式又可表示為 xAsin()pt （3-9）式中 A AAAAAAnnT1212令 BKM p2 （3-13）式（3-13）稱為特征矩陣。由式（3-12）可以看出，要使A有不全為零的解，必須使其系數(shù)行列式等于零。于是得到該系統(tǒng)的頻率方程(或特征方程)。 KM0p2 （3-14） KM0p2 （3-14）關(guān)于p2的n次多項(xiàng)式，由它可以求出n個(gè)固有頻率(或稱特征值)。因此，n個(gè)自由度振動(dòng)系統(tǒng)具有n個(gè)固有頻率。下面對(duì)其取值情況進(jìn)行討論。在式（3-11）的兩端，前乘以A的轉(zhuǎn)置AT，可得到A KAA MATT p2 （A）于是，由式（A）得到 p20A KAA MATT （3-15）因此，頻率方程中所有的固有頻率值都是實(shí)數(shù)，并且是正數(shù)或?yàn)榱恪?通常剛度矩陣為正定的稱之為正定系統(tǒng)；剛度矩陣為半正定的稱之為半正定系統(tǒng)。對(duì)應(yīng)于正定系統(tǒng)的固有頻