從認識論的課程分析看現行中小學課程的幾個問題

1、從認識論的課程分析看現行中小學課程的幾個問題香港中文學課程與教學學系黃毅英引言一九九七年，當時正值數學課程即將開展全面檢討，馮振業(yè)先生與筆者草擬了非官定數學課程(Fung & Wong, 1997)，一些人可能以爲草擬非官定數學課程之目的只是要在課程檢討中引進一種聲音。其實我們最想做到的是將現行中小學數學課程一併來作一個整體的分析，並嘗試用認識論觀點勾畫出一個由幾條主線所形成的數學化(mathematisation)的進路(上面作了粗體的幾個觀念，筆者將在下面遂一解釋)。整個構思或可追尋到梁鑑添一條龍數學課程的思想 這其實有別於後來教改提出的一條龍學制，見梁鑑添(1997)。，其中提出

2、數學課程應該最少包括有四份文件，第一份是由幼稚園到小學到中學到預科的數學教學課程大綱。這份文件應該給在職教師在半小時左右便能看完，能夠領略箇中要旨至於第二份文件，作為課程大綱的條件應該有一個圖表，表達出課程大綱內所出現的各個課題的邏輯關係，使教師易於安排教授課程的次序。非官定數學課程便有點傾向於梁博士所提的第二份文件。在數學課程全面檢討中，馮先生與筆者亦曾被邀解說其中想法，得到了認同。故在報告中(課程發(fā)展議會，2000，頁24)便有以下一段的清晰闡述：5.2 數學課程的設計，應透過課程內容所傳授的知識，培養(yǎng)學生的數學意識，及使他們逐漸能夠以數學概念，解釋在日常生活及其他學科所遇到的現象和問題，

3、更可運用數學語言表達這些問題，並以數學方法解決及作出數學上的解釋。為了達到這些目的，我們應考慮下列數點：(a) 數學課程的設計應循序漸進，先認識具體的觀念，進而學習抽象的數學概念。(b) 數學課程的內容編排，應先讓學生掌握具體的事物，在取得足夠的學習經驗後，才正式學習抽象的數學概念，教授抽象概念時，應輔以大量數學上和非數學上(日常生活)的例子。(c) 應盡量避免讓學生過早學習高於其程度的內容。(d) 學生必須先懂得利用非正式的方式(例如繪製草圖、圖表、數據表等)才可正式解決問題。(e) 內容的編排應按不同的學習範疇順序發(fā)展，例如，從數字逐漸到符號的處理；從形狀的處理到位置的描繪，進而到識別和理

4、解二維和三維空間的能力、從測量可直接量度的物件到測量只可間接量度的物件，進而到抽象的量度，例如概率和集中趨勢；從資料的處理到解決問題、闡釋和推論。近來聽到一些對中小學新數學課程的意見和批評，筆者以爲，我們若有從上述所說的認識論去探視，也許能看出一些問題之所在。這種分析不是要達到的東西究竟所謂的從認識論的課程分析是甚麼一回事，我們容後再談，先讓我們澄清這個分析所並非要達到的東西。它不是一個教學次序談到課程分析，不少人可能會馬上想到大家心中對教學有所指引的課程文件。不過話說回來，課程是甚麼一回事還可以有不同的想法。簡言之，現時大衆(zhòng)對課程的觀念恐怕至少包含教學範圍、教學次序、甚至教學法(起碼是教學示

5、例)和評核方法。然而並非理所當然的。早期的課程就只有學習範圍(六七十年代的小學數學課程便是如此)。時至今日，亦有人提出諸如教學法等應交與老師自行處理，並由各種師訓(教師教育)加以培訓 例如見黃毅英(待刊)。無論如何，這個分析並不是要制定一個教學次序，因爲我們認爲教學次序可以根據不同的教學風格和處境有所差異。例如傳統(tǒng)上，對於一條定理，往往先引入定理、正式寫出定理、加以證明、給出例題，再作練習。但老師也可以先引入定理，看它(如果得到證明後)如何得以應用，再作證明。至於特殊情況(如當角度超過90o時正弦公式之證明)的證明何時引入更可以有不同的定位，其中要考慮的因素甚多。故此，本分析並不是要得到一個教

6、學次序。它不是一個學習程序至於學習的次序，更是萬別千差。雖然數學是一個累積性之學科，往往有些預備知識未學會，確是無法學習繼後的知識。然而這亦非絕對的情況。在學習上，一個概念往往要在不同的學習階段中反覆的咀嚼，甚至在學到較高深的概念時(高班)，才反過來進一步明瞭低班的一些概念，這是常常遇到的。故此我們一向認爲由一些人(無論是中央機構還是一群學者)訂定所有人的學習計劃不只不可能亦不恰當 見黃毅英(2002b，待刊)。故此制定學習程式並不是這次分析所要達到的結果。在馮先生與筆者草擬非官定數學課程時，亦曾討論所謂認識論的分析是否意味著一種配合學童的智性發(fā)展。我們於後再談我們關於認識論的課程分析的這個想

7、法，不過明顯地，本分析是不會完全按照學童的智性發(fā)展來鋪排的。理由很簡單，又是同一個原因：學童的智性成長進度有快有慢，我們不可能認爲所有十三歲的學童均可以學習某一個抽象程度的數學概念，還不要談其他如學習風格等問題。不過話說回來，既然這個分析是按照知識論的角度去考慮，它就自然是按照從具體到抽象這麼樣的遞升去安排，故此，在先後次序上，也可以說粗略而言，是吻合學童的智性發(fā)展的。它不是一個課業(yè)分析課業(yè)分析(task analysis)大抵是行爲主義的産物。它是一個學習設計的分析，所以亦與課程(無論是整個課程或一個單元的教程)安排息息相關。它的關心點是學習每一個課題所需要的預備知識，確保在學習一個新課題前

8、有足夠的準備。所以它對教與學的次序起著指導的作用：讓教師瞭解每個單元的先後關係(例如老師未教三角形就教等腰三角形就顯然違反了這種預備知識的邏輯關係)。然而，如上所述，教學次序不是一成不變的，教師也會因應其教學手法及環(huán)境作出微調(甚或看似離經叛道之安排：例如先行組織者未必會反對先教圓錐曲線的總體關係再教其中一種曲線；又或先教一般性之方程論再逐個教一次、二次方程的解法)教與學的多元性和萬別千差是我們一再強調的。也正是統(tǒng)一的課程綱要所不能照顧到的細節(jié)。課業(yè)分析也可以很粗略，也可以很細節(jié)的。例如現行課程附件之流程圖便屬於粗略的課業(yè)分析：因爲它要函括整個課程，故此不可能弄得很細碎。但若果去到通達學習一類

9、逐個單元的設計，就往往要求把單元儘量細分(見圖一)，而且每一個學習單元均要以行爲目標表達。本文之分析並不完全是一個課業(yè)分析，因爲課業(yè)分析需要考慮每一個學習課題的先決條件(預備知識)，故此所有相關的知識都要加以連上，這也包括跨學習範圍的(例如加法、除法顯然是計算三角形面積的預備知識)。故此要考慮得十分周密，所得出之分析圖也往往很複雜。本文的分析主要是要突顯幾條發(fā)展的主線，故此不會把所有有關連的課題都會聯繫起來。那麼，這個分析想得出些甚麼？如上所述，馮振業(yè)與筆者當時是想做的事是如下的一個分析：一 首先，我們從現行的中小學課程作爲藍本(我們並不是說現行課程的課題沒有增刪的可能，只是這不是這個分析的著

10、眼點)；二 我們把中小學課程一起考慮，這是十分必要的，因爲香港過往的課程是沒有必要地把中小學分開來設計；三 我們考慮的重心是要勾畫數學化 要注意數學化是動詞而非形容詞。過程的幾條主線，看看對數學的接觸(encounter)如何由具體到抽象、如何由周遭日常的事物慢慢提煉出一些數學物件 數學物件不一定是最好的譯名，它也可包含數學對象的觀念。(mathematical object)，這就是上面所說的認識論觀點的課程分析。四 我們無意說我們所得出的結果是唯一的解答，無可避免地，任何的分析都會受分析者的觀點(數學觀、數學學習觀)所影響。例如有人若以中國古代數學的觀點進行分析，肯定會得出不一樣的結果。分

11、析：由繪畫概念圖開始於非官定數學課程的製作過程中，馮先生與筆者心中有一些概念圖的印象，但當時並沒正式的畫出作討論，也許當時認爲畫出構念圖把事情寫得太死了。故此選擇以文字表述。當中小學課程推出之後，筆者聽到一些意見，而筆者以爲其中一些問題可能出自一些課題的定位。故此筆者認爲透過畫出概念圖會將問題分析得更透徹。於是畫了如下的一幅概念圖，一幅是關於數與代數的，一幅是幾何的，一幅粗略而言是關於度量的(圖二至四)。其中筆者曾三數次與不同的同工討論並作出修訂(謹此鳴謝 尤要感謝黃家鳴先生、鄧美愉女士、鄧幹明先生及郭家強先生對本文初期版本的寶貴意見，當然還有馮振業(yè)先生，因為本文的不少意念其實源自馮先生與筆者

12、草擬的非官定數學課程。)，而事實上，透過這些概念圖，筆者看到現行中小學數學課程的一些問題。在分析這些問題之前，筆者欲補充的是這些概念圖放在課程文件未必恰當(故此筆者並不是要提倡課程文件應加入這些概念圖)，這只是協助我們分析課程的一種尚佳之習作。所以雖然上面說，這些圖不代表教學次序、又不是學習次序、不是課業(yè)分析、也不完全與智性發(fā)展有關(那繪畫這些圖又有何用？)，但筆者以爲除了透過這些圖可讓我們深入瞭解現行課程的結構和其中一些問題外，前線老師也可以透過這些圖了解每一個課題的位置和它在數學概念形成中所産生的作用。從數字到符號的主線由數字到符號的主線是比較清楚的。孩童由接觸身邊的事物開始有數量與序的感

13、覺，於是由數數等活動認識數字。數字本身就是一種頗抽象的概念。漸漸地，由數字的不同運算開始擴展數的認識。至及有理數時，單一個數開始可以有不同的表達方式(如分數、小數、百分數等)，於是便要學會不同表達方式之互換。這中間穿插著數系的擴展，然它包含了各運算定義的推廣。簡言之，分數的加法本來有別於整數的加法，中間它包含了法則上之引申而將原來的加法方式不變。這種引申於數冪之定義至爲明顯。本來a0是沒有定義的(甚麼是a自乘零次？)。那麼我們就可隨便的定義a0嗎？答案當然是否定的，因爲我們希望保留指數定理，於是得出a0 = a1-1 =a1/a1 = 1 (a 0)。同理，a-n = a0-n = a0/an

14、 = 1/an (a 0, n為正整數)。當然有理數推廣到實數是另一回事，也並非如想象中自然的(常聽見的笑話學生問何謂實數，老師答：不是虛數的數便是實數但當時學生根本未學過虛數！)。若非透過數線(有稱作數位的幾何化geometrisation)，實數不容易得到理解。雖然不少數學學習心理學的文獻提出由數字運算到代數符號運算的過渡不是想象中那麼自然，一些數字的操作規(guī)律往往不適用於代數符號而惹起混淆(例如2(34)= 2×30 + 2×4, 2(ab) 2a 2b當然 34本身就不等於3 4)，然而由數字推向符號運算仍然是理所當然的數學化的路途(尤其是當我們考慮2是代表了2個橙、

15、2個蘋果這種抽象物體，而a代表了所有合適數位的抽象物體這麼的一個想法。而事實上，大部分有關數字的運算法則(有別於上面所談的操作規(guī)律)於代數符號中仍然適用。於是a這個字母(letter)最初是數字的代號(所以最初學生只把a當作數字一般的操作，只是加上一些調整便可以了)，漸漸建立代數式加以運算；於是a的身份又變成要找出來的未知數，這涉及了方程及其解法。到後來則變成了可以變動的變數(見下面函數一節(jié))。至於方程，衆(zhòng)所周知，初小已涉及18以內的組成，雖未有正式方程的概念，但已隱隱約約涉及找未知數，高小就有簡易方程這個課題，當然以線性方程為主。由於要解高次方程，以數學之以簡馭繁的想法，透過因式分解把高次方

16、程化成線性方程的解。於是就有解二次方程及由餘式定理、因式定理解部分三次方程了。這粗略地描述了數與代數這條主線的數學化的進路。圖形有關圖形的進路也比較清楚的。學童從把弄一些圖形開始，並做出簡單的直覺分類。由一些特徵認識圖形(認識與分別通常是分不開的)，漸漸由這些分類出發(fā)，學童開始抓著圖形的一些要點，簡言之(以直線圖形而言)，就是邊和角。圖形已漸漸由一日常事物抽象爲數學物件。學生一開始以性質(而非視覺特徵)認識圖形。當我們集中考慮最基本的圖形之三角形時，我們透過ASA等引入最少決定性質(minimal defining properties)的想法。這其實不只在三角形的SSS, ASA, SAS,

17、 RHS中出現，在一些幾何作圖或找未知邊和角時，問題解決者往往意識到這樣的資料是否足以決定整個圖形？，並問自己我是否漏了某些資料呢？。又或一些圖形是除卻放大和縮細外是唯一的(圖五)(unique up to scale)。這些都涉及數學上抓著一些主要(又不重疊)的要點的這個基本想法。由於有最少決定性質的思想，對於三角形的六個特徵(三邊三角)，我們知道其一些(如ASA), 理論上，我們就有權找出其他的。這就引出三角學的一籃子技巧(當然在此之前爲將三角形分割成適當的直角三角形加以處理)?？臻g空間想象力的建立似乎是新中學數學課程重點之一。當然，空間能力與空間感也包括平面上的關係。這當然由描述位置(包

18、括利用座標、方位及羅盤角等)開始。至於立體空間一般文獻所建議的路途大抵是先由實物操作包括摺紙、模型製作等開始。之後便是利用透視圖瞭解空間位置間的關係。現時透過電腦，還可以對立體圖形加以旋轉等，這種空間中相對位置的描述其實是更進一步的(更難)的空間能力。之後就是能夠單憑文字描述，透過繪畫相應的透視圖瞭解立體圖形與空間位置，從而解決相關的問題(甚或反過來，給出圖形，用文字描述處境)。這看來是自然而然的發(fā)展進路，但卻牽動了千絲萬縷關於幾何的定位問題(見後)。幾何幾何恐怕是不容易解決的老、大、難問題。新中學數學課程也許小歔了其中之複雜性。衆(zhòng)所周知，在舊數時期，座標幾何出現的較遲。這令平面(歐氏)幾何一

19、枝獨秀。當然其中也包括實驗幾何的成分。但無論如何學生學習的主線是比較清楚的。到了新數學年代，在一股打倒歐家店的風氣下，平面幾何，由以用圓規(guī)直尺作圖、尋找未知的角與邊及幾何論證等是受壓抑的。相反的座標幾何出現比較早，尤其是座標平面一開始便用作描繪方程的解集(solution set)。故此雖然當時的中學初期仍由幾何的一些基本性質(如三角形內角和等)，相對嚴緊的歐氏幾何論證要到高中才出現。無論如何，平面幾何與座標幾何雙線發(fā)展的情況所帶來的混淆並不出現(起碼不明顯)。在新的中學數學課程裏(照筆者的解讀)，設計者其實是出於一片苦心的希望恢復平面幾何之論證(這種呼聲其實在90年代中期已經出現並表現在會考

20、試題中)，與此同時又想用較具時代感與動感的方式，利用軌跡這個概念去引入直線及各種曲線方程(座標幾何)。但又想照顧空間想象力。若中間未有足夠融合，容易做成三頭馬車的狀況。至於利用軌跡引入直線與曲線方程也是頗新鮮的做法，但亦可能帶來一些問題。在以往，直線是先以靜態(tài)的點集出現，後來才轉到變動的點。當然直線先以軌跡出現，其他如兩點式、點斜式等完全可以在軌跡這個框架中引入(在這個前提下，老師亦應以軌跡的角度引入兩點式、點斜式等)。這種引入方式，以上面知識論的角度分析，也可能是比較深刻的，不過電腦軟件展示當x變動時，y = f(x)隨之而來變動；學生應可更感受到軌跡的觀念。但要解決這個雙線(甚或多線)發(fā)展

21、的問題恐怕並不容易，故此亦非關乎今次新課程的設計水平問題。因爲明顯地，大衆(zhòng)的共識是要強化平面幾何推理，應如何與座標幾何溶合，又如何從平面幾何這個龐然大物中切割出合適的部分放入課程這恐怕還要許多的探討和細心的設計。函數函數的概念亦應是一條數學化進路的主線。這似乎亦是新中學數學課程的一個討論點。新數學時期不把函數只局限於實變函數，而衍生自關係。故此函數不一定馬上與大家心目中的變數(x)有關。這似乎有一定的道理。於是要勾畫出函數這道主線，我們首先要問函數在較早學習階段的體現是甚麼？這應該是量與量的關係和包含這些關係的列表活動等。從這個角度(與非官定數學課程吻合)，學童從認識量、開始涉及量的比較(大小

22、等)，這些比較亦包含比率(ratio)。當所涉及的量多了，就有比例(proportion, 如 a:b = c:d, a:b:c等)。而當這些量開始變動，就出現比(rate 及 variation)。這其中涉及質的變化：比如一些日本數學教育家就曾提出離散量與連續(xù)量應分開教授，而乘除等應透過連續(xù)量與比這些觀念引進，有別於加減的進路(於此姑且不討論這個想法是否合適，但可看到字母由量到比之轉變)。數字規(guī)律可能在這裏與正式引進(實變)函數中間出現，因爲數字規(guī)律多多少少涉及無窮的模型(然說是有窮序列finite sequence，但其實以到達無窮序列的門檻！)，故此作爲一種遊戲或活動(課程問題見後)，在

23、高小或初中引入數學規(guī)律(數型)未嘗不可，但個中觀念按照上面的分析，其位置不會是很初階的。老師在處理這個課題時，可多側重一種經歷和初步接觸，當然亦要留意淡水以往學能測試數字推理題遺下的不良印象。統(tǒng)計與概率統(tǒng)計與概率於許多人的印象是有著密切關係的，然而在非官定數學課程中，我們已把它們安放在不同的進路裏。當然，兩者的技巧有著密切的關係，概率的計算也往往利用過往搜集得來的統(tǒng)計資料。但若果我們回到最原先的問題：就是要勾畫由具體到抽象、由日常事物到數學物件這種數學化過程的進路，從這個角度，不見得統(tǒng)計是概率的預設或先導概念，反過來亦如是。在非官定數學課程中我們把一籃子長度、面積等都放進度量裏，並分出直接量度

24、、間接量度與對可能性的量度(measure of likelihood)。直接量度就是包括用密鋪的動手測量，間接量度包含衆(zhòng)多周界、面積和體積公式，對可能性的量度便是概率。無疑地，這些觀念，甚至包括時間、貨幣等均屬於數學與現實世界之關係。這在一些地區(qū)的課程中亦有這些提法。不只如此，與其說是利用數學認識世界，不如說這些是對現實世界的一層層的數學建模。簡言之，以時間爲例，時間的實質是甚麼仍有不少哲學上的討論，現時是將時間建模到數線來。這些量度涉及刻度尺(scale)、單位及刻度尺的互化(包括平移：起點不同，倍數互化如尺與公尺及兩者之組合如華氏與攝氏等)、估算、誤差等。顯然，概率涉及的數學比直接與間接

25、量度的多，但若果重回上面進路的問題，筆者對前者是否建基於後者還有點質疑。中學階段不直接涉及概率空間、隨機變數或概率分佈，這個課題是否包含許多深刻的數學(使得它放在進路中較高的位置)？筆者以爲，尚待進一步的考察。一些想法課程與教學問題雖然本文前面已表明，本分析並不能直接得出教與學的次序，然而也許能對課程的鋪排帶來一些啓示。上面集中學科知識結構從認識論角度嘗試刻畫由具體到抽象的數學化道路，當然，課程安排是另一回事，因爲所要考慮的因素會更多。以三角爲例，用上面的分析，它多多少少(只)屬於最少決定性質這個理念下的應用，所以其位置放得較後。這就是否表示它理所當然地在高中才教授呢？這亦未嘗不可，舊數時期就

26、是這樣了。但與此同時，簡易三角學(如正弦、餘弦及簡單直角三角形的解)，不少初中學生完全有能力學習的，這也就是新數學時期以後的安排。不少人也曾提出，在正規(guī)學習某些概念時，可在較早前有直觀性的、非正式的初步接觸。實驗幾何與論證幾何、數學概率與極限等便是一些例子。近年於學習早期引入概論便惹起一些爭論。事實上，新小學數學課程之初稿是提出於高小教授概率的，而一些國家刻意在初小的階段引入概率以平衡一切事件均爲肯定的觀念。所以我們可以看到，課程要考慮的範圍更廣，除了上面認識結構外，還要看學生是否準備好學習(這包括智性發(fā)展階段例如年幼學生未有足夠的智性成熟程度學較抽象的概念)，學生可否早點有些初步接觸。有了初

27、步接觸後，它與正式學習的差距如何安排(所謂螺旋式學習之弊端)。高層次思維能力與其他在非官定數學課程中，我們把統(tǒng)計放於處理資訊(handling information)的主線，而且把列表、圖示等放在收集和整理資訊的方法，並提出這個主線同時有著結果與過程的成分，筆者對這個想法沒有改變。再者，我們不認爲應該把所謂高層次思維能力或過程能力當作獨立的主線去處理，因爲我們認同數學課程全面檢討(課程發(fā)展議會，2000，頁26)的提法：5.5 由於高層次思維能力必須紮根於不同內容範疇的數學知識，我們應把這些知識融入以內容為本的學習範疇，作為日後設計數學課程的參考。從上面的分析，以上觀點更加明顯，因爲沿著這個

28、主線的數學化進路，其實已代表了數學認識和數學方法的深化。而這種具體與抽象的過程是所謂之字上升的(筆者刻意避免用螺旋這個名詞，以免混淆)。簡言之，如上所述，數學在初階段已是一種抽象概念，但相對於代數運算，數字不只是具體物件，而且必須把數字運算變得自動化，按照其運算規(guī)律(而非概念認識)去進行。同理，由代數符號這個相對具體的運作進入多項式似乎是由具體事物轉進數學物件，但未幾，多項式又會變成好像具體物體般去操作(詳見黃毅英，2002b概念與運算：不可踰越的鴻溝？)。不過，其中一個關高層次思維能力的問題還值得我們深思的。雖然說現時課程不把過程能力當成獨立的學習範疇(並不是說筆者不贊同)，但無可避免地(也

29、理所當然地)一些高層次思維能力不是零碎地依附在數學內容上而確有其本身的發(fā)展主線?？臻g想像力、處理資訊，甚至與數字規(guī)律有關的符號感就是了。如何把這些過程能力安放在數學內容的主線上使得我們無須另闢一些獨立的過程能力主線但又讓過程能力有其發(fā)展的進路呢，也許需要進一步深思。故此本文是希望帶來大眾的繼續(xù)討論多於作些實質的總結。此外，我們不贊成把應用題(文字題)作爲一個課題(這其實是受了馮源先生 1971至1984年間為數學督學，經歷1973及1983小學數學課程的發(fā)展過程，筆者與鄧國俊、黃家樂、顏明仁曾於18/6/2002向馮先生進行訪問。的啓發(fā))，因爲每個課題均有其相關概念於數學及日常處境的應用，這麼

30、應用題又轉過來強化概念的理解(故理解應用並非單向)。在現時的構思，我們把資訊科技與專題研習等視作教學手段多於結果或獨立課題(雖然漸漸有人提出電腦環(huán)境下的數學定有別於傳統(tǒng)的數學)。至於圖像(graph)表示及圖解等，筆者暫且把之看成同一概念的不同表像(representation)，當然筆者也意識到有將圖像看成可獨立發(fā)展的數學方法之可能。數學教育之目的數學教育之目的好像是清楚的東西，然而，我們若看課程文件，不是給出很普遍之目的 例如課程發(fā)展議會。(2002)所表述的數學課程的宗旨如下：爲使學生能夠在這個科技與資訊發(fā)達的社會從容地應付日後在升學、工作或日常生活方面對數學的需求，並對終身學習有充分的

31、準備，本課程旨在培養(yǎng)學生以下的能力及態(tài)度。(a)批判性思考、創(chuàng)意、構思、探究及數學推理的能力，以及利用數學來建立及解決日常生活問題、數學問題、及其他有關學科的問題的能力；(b)與別人溝通及能以數學語言清楚和邏輯地表達意見的能力；(c)運用數位、符號及其他數學物件的能力；(d)建立數位感、符號感、空間感及度量感和鑒賞結構和規(guī)律的能力；(e)對數學學習採取正面的態(tài)度，以及從美學和文化的角度欣賞數學的能力。便是最具體的逐點教學任務。如果我們認定數學教育之一個主要目的是讓學生具有一雙數學眼，會得出用數學的角度看得、形成(formation)及解決數學上、其他學科上及日常生活中之問題，那麼，這個目標的具

32、體數學化的內容是甚麼呢？上面的分析容許我們從下面幾個方向作進一步的探討(筆者不敢輕言以下就是數學教育之目的)：一 學生從認識數字(自然數)開始，認識序、量及其運算法則，由是逐漸擴展對數的認識。數字運算方式，隨著數系的擴展亦得到延申。當中包括數字的不同表示方式及中間之互換。由數字的認識漸漸轉移到符號的運算，由代數符號的組合延伸到代數式、多項式，進而透過代數方程設未知數求解。不等式亦在中間得到引進。二 學生從圖形的(直觀)認識，繼而進行分類活動，從而認識圖形的一些性質，由這些幾何性質進一步瞭解圖形，逐漸學會從數少決定性質認識圖形並進行在知道一些圖形特徵(主要爲角和邊)後找出其餘的特徵。從這個路線漸

33、漸邁向幾何推導。透過與代數方法的結合，由早期在平面上透過方位角等描述位置，在適當的學習時期引入座標幾何，由此學會代數的處理幾何方式，亦爲將來學習向量、複數平面等的基礎。與此同時，由基本形狀的認識及各種摺紙、模型製作等活動建立空間想象力，亦逐步正規(guī)化的利用透視圖及文字描述等處理涉及空間立體的問題。三 由量的比較和衆(zhòng)多量的概率、慢慢看到變動的量及一個量的變動(所謂自變數)下，另一個量(所謂依變數dependent variation)的變動，函數的概念得以漸漸形成。四 隨著數學工具的日漸豐富，學生對外在世界(包括物理世界與社會)有更 多認識之機會，由數量、長度、面積這些較具體的量到貨幣、時間這些較人爲的量；漸漸可以認識及量度較間接的量如複雜圖形之長度、面積、體積等以及可能性的測度。五 學生由處理及整理簡單的資料和資料，慢慢利用更強力的數學技法處理較大量及複雜的數據。除了衆(zhòng)多統(tǒng)計技巧外，亦包括了一般的問題解決能力之建立。結