理論力學(xué)之動(dòng)力學(xué)習(xí)題答案 北航

1、動(dòng)力學(xué)13 解：（MADE BY水水）運(yùn)動(dòng)方程：y=ltan，其中=kt。將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將=300代入得l lk4lk =v=y=3 cos2cos22lk2sin83lk2=-a= y=9 cos316證明：質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，所以質(zhì)點(diǎn)的加速度為：a=at+an,設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度為v，由圖可知:avacos=n，所以: a=nvavy將vy=c，an=vyxv2ov3代入上式可得 a=c證畢 172avv證明：因?yàn)?，an=asin= van3v所以：= av證畢110y解：設(shè)初始時(shí),繩索AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng),時(shí)刻t時(shí)的長(zhǎng)度 為s,則有關(guān)系式：s=L-v0t，并且 s2=l2+x2將上面兩式對(duì)時(shí)間

2、求導(dǎo)得：=2xx =-v0，2sssvoFvoFNsv0（a） x(a)式可寫(xiě)成：xx =-v0s，將該式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得：由此解得：x =-2 (b) x+x 2=-s v0=v0x2222v0-xv0l將(a)式代入(b)式可得：ax= =x=-3（負(fù)號(hào)說(shuō)明滑塊A的加速度向上）xx取套筒A為研究對(duì)象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程有：ma=F+FN+mg將該式在x,y軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程：其中：=mg-Fcosm x=-Fsin+FN m ycos=xx2+l2,sin=lx2+l2將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程可得：22v0llF=m(g+3)+()2x

3、x22v0l =-3, =0xyx111解：設(shè)B點(diǎn)是繩子AB與圓盤(pán)的切點(diǎn)，由于繩子相對(duì)圓盤(pán)無(wú)滑動(dòng)，所以vB=wR，由于繩子始終處于拉直狀態(tài)，因此繩子上A、B兩點(diǎn)的速度在 A、B兩點(diǎn)連線上的投影相等，即：vB=vAcosq （a） 因?yàn)閷⑸鲜酱耄╝）式得到A點(diǎn)速度的大小為：cosq=x2-R2x （b）vA=wRxx2-R2 （c）&，由于vA=-x（c）式可寫(xiě)成：-x&x2-R2=wRx，將該式兩邊平方可得：將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：&后，可求得： 將上式消去2x&2(x2-R2)=w2R2x2 x&(x2-R2)-2xx&3=2w2R2xx& 2xx(x2-R2)2 (d)w2R4x由上式

4、可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為 aA=2 22(x-R)取套筒A為研究對(duì)象，受力如圖所示，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)矢量形式的運(yùn)動(dòng)微分方程有：&=-xw2R4xma=F+FN+mg將該式在x,y軸上投影可得直角坐標(biāo)形式的 運(yùn)動(dòng)微分方程：其中：&=-Fcosqm&x&=Fsinq+FN-mg m&yRsinq=,cosq=xw2R4xx2-R2&=-2&=0x,&y22(x-R)x,將其代入直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程可得F=m2R4x2(x-R)222,FN=mg-m2R5x(x2-R2)2113解：動(dòng)點(diǎn)：套筒A；動(dòng)系：OC桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

5、。根據(jù)速度合成定理vevavr有：vacos=ve，因?yàn)锳B桿平動(dòng)，所以va=v，va=ve+vrvelvcos2由此可得：vcos=ve，OC桿的角速度為=，OA=，所以 = OAcoslavcos2450av當(dāng)=45時(shí)，OC桿上C點(diǎn)速度的大小為： vC=a= =l2l115解：動(dòng)點(diǎn)：銷子M動(dòng)系1：圓盤(pán)動(dòng)系2：OA桿定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：曲線運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)ve1vr1ve2vr2x牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)根據(jù)速度合成定理有va1=ve1+vr1， va2=ve2+vr2由于動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度與動(dòng)系的選取無(wú)關(guān)，即va2=va1，由上兩式可得：ve1+vr1=ve2+vr2 (a)將（

6、a）式在向在x軸投影,可得：由此解得： -ve1sin300=-ve2sin300+vr2cos300bsin300vr2=tan30(ve2-ve1)=OMtan30(2-1)=(3-9)=-0.4m/scos2300 00ve2=OM2=0.2117解：動(dòng)點(diǎn)：圓盤(pán)上的C點(diǎn)；動(dòng)系：O1A桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)（平行于O1A桿）；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理有2vM=va2=ve2+vr22=0.529m/s va=ve+vr （a）將（a）式在垂直于O1A桿的軸上投影以及在O1C軸上投影得：vacos300=vecos300，vasin300

7、=vrsin300ve=va=R，va=vr=R， 1=veR=0.5O1C2R根據(jù)加速度合成定理有tnaa=ae+ae+ar+aC （b）將（b）式在垂直于O1A桿的軸上投影得tn-aasin300=aecos300+aesin300-aC2ne21，aC其中：aa=R，a=2RaC=21vraet32由上式解得：1=2R12119解：由于ABM彎桿平移，所以有vA=vM,aA=aM?。簞?dòng)點(diǎn)：滑塊M；動(dòng)系：OC搖桿；定系：機(jī)座；運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)速度合成定理 可求得：vrvevava=ve+vrvM=vA=va=2ve=2b=22m/s

8、，vr=ve=b=2m/s，1=根據(jù)加速度合成定理tanavA2242=rad/sO1A1.53aeta+a=a+a+ar+aCtene將上式沿aC方向投影可得：aan araenaaaCtntaacos450-aasin450=-ae+aC n由于aa=12l=ta16tm/s2，ae=b=1m/s2，aC=2vr=8m/s2，根據(jù)上式可得： 3taa1621=10.16rad2/sa=+7=15.23m/sl3，1-20解：取小環(huán)M為動(dòng)點(diǎn)，OAB桿為動(dòng)系B 運(yùn)動(dòng)分析 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由運(yùn)動(dòng)分析可知點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度的方向如圖所示，其

9、中：ve=OM=根據(jù)速度合成定理：r=2r0cos60可以得到： va=ve+vrva=tanve=2rtan600=2r ，vr=加速度如圖所示，其中： ve=4r 0cos60rae=OM=2r20cos60， 22OaC=2vr=8r根據(jù)加速度合成定理：2Baa=ae+ar+aC將上式在x軸上投影，可得：aacos=-aecos+aC,由此求得：aa=14r2121解：求汽車B相對(duì)汽車A的速度是指以汽車A為參考系觀察汽車B的速度。y r ?。簞?dòng)點(diǎn)：汽車B； va動(dòng)系：汽車A（Oxy）；定系：路面。運(yùn)動(dòng)分析x 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； O牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（汽車A繞O做定

10、軸轉(zhuǎn)動(dòng)）求相對(duì)速度，根據(jù)速度合成定理ve將上式沿絕對(duì)速度方向投影可得：因此 vr=ve+va 其中：va=vB,va=ve+vr va=-ve+vr y vA， RAR380由此可得：vr=BvA+vB=m/s RA9ve=RB,=arn x 求相對(duì)加速度，由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)速度的大小為常值，因此有：1-23 質(zhì)量為m銷釘M由水平槽帶動(dòng)，使其在半徑為r的固定圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)。設(shè)水平槽以勻速v向上運(yùn)動(dòng)，不計(jì)摩擦。求圖示瞬時(shí)，圓槽作用在銷釘M上的約束力。v v解：銷釘M上作用有水平槽的約束力F和圓槽的約束力FO（如圖所示）。由于銷釘M的運(yùn)動(dòng)是給定的，所以先求銷釘?shù)募铀俣龋诶觅|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

11、求約束力。取銷釘為動(dòng)點(diǎn)，水平槽為動(dòng)系。由運(yùn)動(dòng)分析可知銷釘?shù)乃俣葓D如圖所示。 vr2ar=a=1.78m/s2RB nrva=ve+ 由此可求出：va=vev 。再根據(jù)加速度合成定理有：aa=ae+ar =coscos由于絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是圓周運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)是勻速直線平移，所以ae=0，并且上式可寫(xiě)成：tnaa+aa=arva2v2v2sintn因?yàn)?a=，所以根據(jù)上式可求出: aa=aatan=。 =32rrcosrcosna根據(jù)矢量形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程有：tnm(aa+aa)=F+FO+mgtn將該式分別在水平軸上投影： m(aasin+aacos)=FOcos由此求出：1-24 圖示所示吊車下掛

12、一重物M，繩索長(zhǎng)為l，初始時(shí)吊車與重物靜止。若吊車從靜止以均加速度a沿水平滑道平移。試求重物M相對(duì)吊車的速度與擺角的關(guān)系式。解：由于要求重物相對(duì)吊車的速度，微分方程有mv2 FO=4rcosmar=F+mg+Fe將上式在切向量方向投影有t =-mgsin+Fcosmar=mle=因?yàn)镕e=mae=ma, d d dd ，所以上式可寫(xiě)成 =dtddtd整理上式可得 d ml=-mgsin+macosdd =-gsind+acosdl將上式積分：l 2=gcos+asin+c2，上式可寫(xiě)成 其中c為積分常數(shù)（由初始條件確定），因?yàn)橄鄬?duì)速度vr=lvr2=gcos+asin+c2l初始時(shí)=0，系統(tǒng)靜

13、止，va=ve=0，根據(jù)速度合成定理可知vr=0，由此確定c=-g。重物相對(duì)速度與擺角的關(guān)系式為：1-26 水平板以勻角速度繞鉛垂軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，小球M可在板內(nèi)一光滑槽中運(yùn)動(dòng)（如圖7-8），初始時(shí)小球相對(duì)靜止且到轉(zhuǎn)軸O的距離為RO，求小球到轉(zhuǎn)軸的距離為RRO時(shí)的相對(duì)速度。 vre C解：取小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，板為動(dòng)系，小球在水平面的受力如圖所示（鉛垂方向的力未畫(huà)出）。根 據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程有：vr2=2lg(cos-1)+asinmar=F+Fe+FC將上式在vr上投影有 mart=m因?yàn)镕e=mR2，dvr=Fecos dtdvrdvrdRdR，=vrcos，所以上式可寫(xiě)成 =dtdtdRdtmvrc

14、os整理該式可得：將該式積分有：vrdvr=mR2cosdRdvr=R2 dR12122vr=R+c 22122初始時(shí)R=RO,vr=0,由此確定積分常數(shù)c=-2RO，因此得到相對(duì)速度為2vr=R2-RO1-27 重為P的小環(huán)M套在彎成xy=c2形狀的金屬絲上，該金屬絲繞鉛垂軸x以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。試求小環(huán)M的相對(duì)平衡位置以及金屬絲作用在小環(huán)上的約束力。Fy yx解：取小環(huán)為動(dòng)點(diǎn)，金屬絲為動(dòng)系，根據(jù)題意，相對(duì)平衡位置為ar=0，因?yàn)榻饘俳z為曲線，所以vr=0，因此在本題中相對(duì)平衡位置就是相對(duì)靜止位置。小環(huán)受力如圖所示。其中F,Fe,P分別為約束力、牽連慣性力和小環(huán)的重力。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)

15、微分方程有：F+Fe+P=0其中：Fe=Py2，將上式分別在x,y軸上投影有 gP-Fsin=0Fe-Fcos=0（a）c2dyc2dy以為tan=-，y=,=-2,因此dxxdxxc2tan=2x（b）由（a）式可得tan=（c）PFe將Fe=P，并利用 xy=c2，可得： y2和式（b）代入式（c）gcx= g再由方程（a）中的第一式可得42cg ,y= 213213F=cP1x=P+=P+=P1+24 singtanc42432-1 解：當(dāng)摩擦系數(shù)f足夠大時(shí)，平臺(tái)AB相對(duì)地面無(wú)滑動(dòng)，此時(shí)摩擦力FfFN取整體為研究對(duì)象，受力如圖，系統(tǒng)的動(dòng)量：p=m2vr將其在x軸上投影可得：px=m2vr

16、=m2bt根據(jù)動(dòng)量定理有： vv m2g F FN 1g x dpx=m2b=FfFN=f(m1+m2)gdt m2b即：當(dāng)摩擦系數(shù)f時(shí)，平臺(tái)AB的加速度為零。 (m1+m2)g當(dāng)摩擦系數(shù)f1時(shí)圓環(huán)已脫離地面，因此而2=arccos- 332m=2不是圓環(huán)脫離地面時(shí)的值。 3cos2-2cos+219 取圓柱、細(xì)管和小球?yàn)檠芯繉?duì)象。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線通過(guò)鉛垂軸。根據(jù)受力分析可知：系統(tǒng)對(duì)鉛垂軸的動(dòng)量矩守恒。設(shè)小球相對(duì)圓柱的速度為vr，牽連速度為ve，由系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒，有：其中：ve=r，則上式可表示成：Lz=-m0r2-mver+mvrcosr=0 (m0+m)r

17、2=mvrcosrmvrcosvcos由此解得：= =r(m0+m)rrve其中：=hm， tan=2rm0+m根據(jù)動(dòng)能定理積分式，有：T2-T1=W1-2 11m0r22+mva2W1-2=mgnh222其中：va=(ve-vrcos)2+(vrsin)2，將其代入動(dòng)能定理的積分式，可得： T1=0,T2=m0r22+m(r-vrcos)2+(vrsin)2=2mghn 將=則： =vrcosr代入上式，可求得：vr=2ghn 21-coscosr2ghn 21-cos2由va=(ve-vrcos)2+(vrsin)2 可求得：va=vr1-(2-)cos2220 取鏈條為研究對(duì)象，設(shè)鏈條單

18、位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 應(yīng)用動(dòng)量矩定理，鏈條對(duì)O軸的動(dòng)量矩為： 外力對(duì)O軸的矩為： 12 LO=r32r-r0MO=gr+2grcosdsgrcosrd=gr+- 0=gr2+gr2sin=M LOO=gr2+gr2sinr3=因?yàn)椋簉rg dvdvd dv=vdv，所以上式可表示成： =dtddtdrd=g+gsinrvdv=g+gsinrd vdv=rg(+sin)d 11積分上式可得：v2=rg(2-cos)+c 22由初始條件確定積分常數(shù)c=gr，最后得：v=gr(2-2cos+2)/ 1233 取套筒B為動(dòng)點(diǎn)，OA桿為動(dòng)系根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理可得：vacos300=ve=l，va=v

19、e+vrvAvB=vBC研究AD桿，應(yīng)用速度投影定理有：2=va=l3vavervDvDrvA=vDcos300，vD=再取套筒D為動(dòng)點(diǎn)，BC桿為動(dòng)系，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理43l3vD=vBC+vDr將上式在x軸上投影有：-vD=-vBC+vDr，vDr=-vD+vBC=-34 AB構(gòu)件（灰色物體）作平面運(yùn)動(dòng)，已知A點(diǎn)的速度AB的速度瞬心位于C，應(yīng)用速度瞬心法有：2l3vA=0O1A=450cm/sAB=vA3=rad/sAC2vvB=ABBC，設(shè)OB桿的角速度為，則有設(shè)P點(diǎn)是AB構(gòu)件上與齒輪I的接觸點(diǎn)，該點(diǎn)的速度：v15=B=rad/sOB4B PvP=ABCP齒輪I的角速度為：I=

20、vP=6rad/s r136 AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn) 根據(jù)基點(diǎn)法公式有：vB=vA+vBA將上式在AB連線上投影，可得 vB=0,O1B=0因此，vAAB=AB=140 因?yàn)锽點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度為零，因此只有切向加速度（方向如圖）。根據(jù)加速度基點(diǎn)法公式aatnB=A+aBA+aBA將上式在AB連線上投影，可得-anBcos600=aA+aBA，a-2.52B=0raB32O1B=OB=-20（瞬時(shí)針）137 齒輪II作平面運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn)有aB=aA+at+anBABAa=atan1+aBA+BA將上式在x 投影有：-acos=aan1-BA由此求得：anBAa1+acosII=2r

21、=22r2再將基點(diǎn)法公式在y軸上投影有： asin=atBA=II2r2，由此求得II=asin2r2再研究齒輪II上的圓心，取A為基點(diǎn)vBABAatBAanBABaAatOa2nO2AyatnO2aO2將上式在y軸上投影有tntnaO+a=a+a+aOAOAO2222AttaO=a=r2II=O22Aasin2，由此解得：OO=12taO2由此解得：naO=2r1+r2=asin2(r1+r2)nn-a=a-aO1O22A 再將基點(diǎn)法公式在x軸上投影有：naO又因?yàn)?acos-a12， 2=(r1+r2)O1O2acos-a12(r1+r2)由此可得：OO=1239 卷筒作平面運(yùn)動(dòng)，C為速度

22、瞬心，其上D點(diǎn)的速度為v，卷筒的角速度為：=角加速度為：vv=DCR-rva=R-rR-r=卷筒O點(diǎn)的速度為：vO=R=O點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為：vRR-r RvaR=R-rR-rO=aO=v研究卷筒，取O為基點(diǎn)，求B點(diǎn)的加速度。將其分別在x,y軸上投影taBx=aO+aBO22aB=aBx+aBytnaB=aO+aBO+aB0naBy=-aBOR224=4a(R-r)+v(R-r)2同理，取O為基點(diǎn)，求C點(diǎn)的加速度。atnC=aO+aCO+aC0將其分別在x,y軸上投影atnCx=aO-aCO=0aCy=aCOaC=aCy=Rv2(R-r)2310 圖示瞬時(shí)，AB桿瞬時(shí)平移，因此有：vB=

23、vA=OA=2m/sAB桿的角速度：AB=0圓盤(pán)作平面運(yùn)動(dòng)，速度瞬心在P點(diǎn)，圓盤(pán)的 的角速度為：vBB=r=4m/s圓盤(pán)上C點(diǎn)的速度為：vC=BPC=22m/sAB桿上的A、B兩點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有 a=atantBB+B=aA+aBA將上式在x軸上投影可得：-atB=0 因此：2a=anB=vBB=8m/s2r由于任意瞬時(shí)，圓盤(pán)的角速度均為：vBB=r將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有： v tBaBB=r=r，由于atB=0，所以圓盤(pán)的角加速度B=B=0。 圓盤(pán)作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法公式有： a=atnnCB+aCB+aCB=aB+aCBBvv APBatBanBaatAB

24、A313 滑塊C的速度及其加速度就是DC桿的速度和加速度。AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心為P， AB桿的角速度為：n2naC=(aB)+(aCB)2=82m/s2AB=vA=1rad/sAP桿上C點(diǎn)的速度為：vC=ABPC=0.2m/s取AB桿為動(dòng)系，套筒C為動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理有：va=ve+vr其中：ve=vC，根據(jù)幾何關(guān)系可求得：va=vr=m/s15taAB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其A點(diǎn)加速度為零，B點(diǎn)加速度鉛垂，由加速度基點(diǎn)法公式可知由該式可求得tntnaB=aA+aBA+aBA=aBA+aBA naBA2aB=0.8m/ssin300由于A點(diǎn)的加速度為零，AB桿上各點(diǎn)加速度的分布

25、如同定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度分布，AB桿中點(diǎn)的加速度為：再取AB桿為動(dòng)系，套筒C為動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)復(fù)合運(yùn)動(dòng)加速度合成定理有：aa=ae+ar+aKaC=0.5aB=0.4m/s2araKae aa2其中：aK表示科氏加速度；牽連加速度就是AB桿上C點(diǎn)的加速度，即：ae=0.4m/s00acos30=acos30+aK e將上述公式在垂直于AB桿的軸上投影有：a科氏加速度aK=2ABvr，由上式可求得：aa=3-14：取圓盤(pán)中心O1為動(dòng)點(diǎn)，半圓盤(pán)為動(dòng)系，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為直線平移。由速度合成定理有：速度圖如圖A所示。由于動(dòng)系平移，所以ve=u，根據(jù)速度合成定理可求出：2m

26、/s23va=ve+vrvvvO1=va=e=u,vr=e=2utansin由于圓盤(pán)O1 在半圓盤(pán)上純滾動(dòng)，圓盤(pán)O1相對(duì)半圓盤(pán)的角速度為：圖 A=vr2u=rr由于半圓盤(pán)是平移，所以圓盤(pán)的角速度就是其相對(duì)半圓盤(pán)的角速度。再研究圓盤(pán)，取O1為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有：vB=vO1+vBO1vBx=-vBO1sin30=-rsin30=-u vBy=vO1+vBO1cos30=23u圖 B22vB=vBx+vBy=u為求B點(diǎn)的加速度，先求O1點(diǎn)的加速度和圓盤(pán)的角加速度。取圓盤(pán)中心O1為動(dòng)點(diǎn)，半圓盤(pán)為動(dòng)系，根據(jù)加速度合成定理有aa=ae+arn+art （a）其加速度圖如圖C所示，arn=vu， =R+

27、rrnr2圖 C將公式（a）在x和y軸上投影可得：x:y:tr0=artsin-arncos-aa=-artcos-arnsinartu22u2u2由此求出：a=，圓盤(pán)的角加速度為：=,aa=aO1=2rrrr下面求圓盤(pán)上B點(diǎn)的加速度。取圓盤(pán)為研究對(duì)象，O1為基點(diǎn)，應(yīng)用基點(diǎn)法公式有：tn（b） aB=aO+aBO+aBO111將（b）式分別在x,y軸上投影：n0t0aBx=-aBOcos30+asin30BO11aBy=-aO1-a其中：n2aBO=r=1nBO1sin30-atBO1cos3014ur， u2=r=r2圖 DtaBO1u2由此可得：aB=r315（b） 取BC桿為動(dòng)系（瞬時(shí)平

28、移），套筒A為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。根據(jù)速度合成定理有：由上式可解得：va=ve+vrr3vevvrve=vatan300=因?yàn)锽C桿瞬時(shí)平移，所以有：vCD=ve=3r 3315（d） 取BC桿為動(dòng)系（平面運(yùn)動(dòng)），套筒A為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。BC桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心為P，設(shè)其角速度為BC根據(jù)速度合成定理有：根據(jù)幾何關(guān)系可求出：vCva=ve+vr將速度合成定理公式在x,y軸上投影:vax=vex+vrx=vr-O2PBCvay=vey+vry=vey=O2ABC由此解得:816O2P=r,CP=r33tCBBC=DC桿的速度123,vr=(+)r432BCtaB3-16(b) BC桿作

29、平面運(yùn)動(dòng),根據(jù)基點(diǎn)法有:tntntnaC=aB+aCB+aCB=aB+aB+aCB+aCB4vC=CPBC=r3naB由于BC桿瞬時(shí)平移,BC=0,上式可表示成:將上式在鉛垂軸上投影有:由此解得:nt0=-aB+aCBsin300aCtntaC=aB+aB+aCBtaCBBCtaBBC=2再研究套筒A,取BC桿為動(dòng)系（平面運(yùn)動(dòng)），套筒A為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。16naBaA=aa=ae+ar+aK (a)其中:aK為科氏加速度,因?yàn)锳B=0,所以aK=0 動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度為: ae=aC+aeC+aeC 由于動(dòng)系瞬時(shí)平移,所以aeC=0,aeC=BCACta=a+aCeC, 則(a)式可以表示

30、成 牽連加速度為entntaCaA將上式在y軸上投影:由此求得:aA=aa=aC+ateC+araetCyt-aAcos300=-aCcos300+aeCaC=(1+316(d) 取BC桿為動(dòng)系，套筒A為動(dòng)點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)A的牽連加速度為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度為tnae=aC+aAC+aAC232)r9aCaK aaBCyxnaACtnaa=aC+aAC+aAC+ar+aK其中aK為動(dòng)點(diǎn)A的科氏加速度。將上式在y軸上投影有上式可寫(xiě)成 其中：taacos300=-aCcos300-aAC+aKartAC2rcos300=-aCcos300-BCAC+2BCvr (a)BC=123,vr=(+)r432（見(jiàn)3

31、15d）BC為BC桿的角加速度。再取BC桿上的C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，套筒O2為動(dòng)系，由加速度合成定理有aaC=aC=ae+ar+aK其中ae=atCO2+anCO2，上式可表示為aatnC=CO2+aCO2+ar+aK 將上式在y軸投影有：-a0Ccos30=atCOK2-a該式可表示成：-a0Ccos30=BCCO2-2BCvCsin300聯(lián)立求解(a),(b)可得a42C=9r,2BC=8317 AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心位于P，可以證明：任意瞬時(shí)，速度瞬心P均在以O(shè)為圓心，R為半徑的圓周上，并且A、O、P在同一直徑上。由此可得AB桿任何時(shí)刻的角速度均 為vAvAB=AP=A2R桿上B點(diǎn)的速度為：

32、v2B=ABPB=2vAAB桿的角加速度為：AAB=AB=vAP=0 取A為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法有aantanB=A+aBA+aBA=A+aBA將上式分別在x,y軸上投影有acos450Bx=-anBA=v2A4R2a=anBAsin450ByA-a=3vA4RatCO2araCanaKCO2b）BCxyvBOaanBAyAx（aB=a2Bx+a2By318 取DC桿上的C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)件AB為動(dòng)系2vA=4RvCa=vCe+vCrvDevDr根據(jù)幾何關(guān)系可求得：vCe=vCr=r再取DC桿上的D點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)件AB為動(dòng)系yvDa=vDe+vDrv=vDr由于BD桿相對(duì)動(dòng)系平移，因此Cr將上式分別在x

33、,y軸上投影可得3r2vDax=-vDe+vDrsin300=-3vDay=-vDrcos300=-r2求加速度：研究C點(diǎn)有將上式在y軸投影有aC=aCa=aCe+aCr+aCKaDKaDe aDr0=aCesin300-aCrcos300+aCKsin3002a=3r 由此求得Cr再研究D點(diǎn)yCK aCaaD=aDa=aDe+aDr+aDK由于BD桿相對(duì)動(dòng)系平移，因此將上式分別在x,y軸上投影有aCr=aDr92r2332r2aDax=aDrsin300+aDKcos300=aDay=-aDe-aDrcos300+aDKsin300=-321 由于圓盤(pán)純滾動(dòng)，所以有aC=r根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

34、：maC=Fcos-FS根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有求解上式可得： 0=FN+Fsin-mg aC m2=FSr-Fr0Fr(rcos-r0)aC=m(r2+2)，F(xiàn)N=mg-FsinF(2cos+rr0)FS=r2+2 FS FN若圓盤(pán)無(wú)滑動(dòng)，摩擦力應(yīng)滿足FSfFN，由此可得：當(dāng)：mgFsin時(shí)，F(xiàn)(2cos+rr0)f=fmin22(mg-Fsin)(r+)322 研究AB桿，BD繩剪斷后，其受力如圖所示，由于水平方向沒(méi)有力的作用，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知AB桿質(zhì)心C的加速度鉛垂。FAN 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有： maC=mg-FAN mg剛體AB作平面運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)初始時(shí)，角

35、速度為零。1lml2AB=FANcos122A點(diǎn)的加速度水平，AB桿的加速度瞬心位于P點(diǎn)。 有運(yùn)動(dòng)關(guān)系式aC=AB求解以上三式可求得：lcos2aCFAN=325 設(shè)板和圓盤(pán)中心O的加速度分別為2mg5a1,aO，圓盤(pán)的角加速度為，圓盤(pán)上與板的接觸點(diǎn)為A，則A點(diǎn)的加速度為aOnaRaA=aO+atAO+a將上式在水平方向投影有nAOa1taAx=aO+aAO=aO+R=a1 （a）取圓盤(pán)為研究對(duì)象，受力如圖，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有m2aO=F2 (b)應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理有21m2R2=F2R2(c)再取板為研究對(duì)象，受力如圖，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有m1a1=F-FS-F2作用在板上的滑動(dòng)摩擦力為：(d )NFS=fFN=f(m1+m2)g (e)由(a) (b) (c) (d) (e)聯(lián)立可解得：a1=3F-3f(m1+m2)g3m1+m2329解：由于系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有AB桿的重力作功，因此應(yīng)用動(dòng)能定理，可求出有關(guān)的速度和加速度。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到一般位置時(shí)，其動(dòng)能為AB桿的動(dòng)能與圓盤(pán)A的動(dòng)能之和：11112222T2=2m1vC+2JCAB+2m2vA+2JAA其中： ABvA l