高等數(shù)學(xué)課件：v-9-2 二重積分的計算法1

1、高等數(shù)學(xué)第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計算法二重積分的計算法一、利用直角坐標(biāo)一、利用直角坐標(biāo) 計算二重積分計算二重積分高等數(shù)學(xué)如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 高等數(shù)學(xué)為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdyxfD 應(yīng)用計算應(yīng)用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,

2、a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得高等數(shù)學(xué).),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D高等數(shù)學(xué) X型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點. Y型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點線與區(qū)域邊界相交

3、不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.高等數(shù)學(xué)xy 1改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例 1高等數(shù)學(xué)xy 222xxy 改改變變積積分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序. 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解 積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例 2高等數(shù)學(xué)改改變變積積分分)0(),(20222 adyyxfdxa

4、axxax 的的次次序序. axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 3高等數(shù)學(xué)求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由拋拋物物線線2xy 和和2yx 所所圍圍平平面面閉閉區(qū)區(qū)域域. 解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例 4高等數(shù)學(xué)求求 Dydxdyex22，

5、其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(為為頂頂點點的的三三角角形形. dyey2無法用初等函數(shù)表示無法用初等函數(shù)表示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 5高等數(shù)學(xué)計計算算積積分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例 6高等數(shù)學(xué)求求由由下下

6、列列曲曲面面所所圍圍成成的的立立體體體體積積，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y. 解解曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖.例例 7高等數(shù)學(xué), 10 yx,xyyx 所求體積所求體積 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所圍圍立立體體在在xoy面面上上的的投投影影是是高等數(shù)學(xué)二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）二、小結(jié)二、小結(jié).),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdyd

7、yxf Y型型X型型高等數(shù)學(xué)作業(yè)：作業(yè)：P93（9-1)：4 (2) (4) , 5 (2) (4);P103 (9-2):1(2) (4) , 2 (1) (3), 5, 6(雙雙), 9高等數(shù)學(xué)設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考題思考題高等數(shù)學(xué) 1)(xdyyf不能直接積出不能直接積出,改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考題解答思考題解答則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf高等數(shù)學(xué)故故 110)()(2xdyyfdxxfI

8、xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 高等數(shù)學(xué)一一、 填填空空題題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .其其中中 .10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .其其中中D是是頂頂 點點分分別別為為 )0 ,0(，)0 ,( ，),( 的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域 . . 3 3、將將二二重重積積分分 Ddyxf ),(, ,其其中中D是是由由x軸軸及及半半圓圓周

9、周)0(222 yryx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域, ,化化為為先先對對y后后對對x的的二二次次積積分分, ,應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題高等數(shù)學(xué) 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū) 域域, ,化為先對化為先對x后對后對y的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為 _. _. 5 5、將將二二次次積積分分 22221),(xxxdyyxfdx改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _

10、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、將將二二次次積積分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .高等數(shù)學(xué) 7 7、將將二二次次積積分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、畫出積分區(qū)域二、

11、畫出積分區(qū)域, ,并計算下列二重積分并計算下列二重積分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所確定的閉區(qū)域所確定的閉區(qū)域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直線是由直線 xyxyy2, 2 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。高等數(shù)學(xué)4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx. .三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線由直線, 2 yxxy 和和x軸所圍成軸所圍成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求該求該薄片的質(zhì)量薄片的質(zhì)量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所圍成的所圍成的立體的體積立體的體積 . .高等數(shù)學(xué)一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22121121),(),(yydxyxfdydxyx