2016年考研數(shù)學(xué)真題及答案解析

1、2016 考 研 數(shù) 學(xué)(一) 真 題 及 答 案 解 析考研復(fù)習(xí)最重要的就是真題，所以跨考教育數(shù)學(xué)教研室為考生提供2016考研數(shù)學(xué)一的真題、答案及部分解析，希望考生能夠在最后沖刺階段通過真題查漏補(bǔ)缺，快速有效的備考。一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合 題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上(1)設(shè) xn是數(shù)列下列命題中不正確的是()(A)若 lim xn a ,則 lim x2n lim x2n 1 a nnna ,則 lim xn an(B)若 lim x2nlim x2n 1(C)若 lim xnnnna ,則 lim x3n

2、 lim x2n 1 a nn(D)若 lim x3n lim x3n 1 a,則 lim xnannn【答案】(D)x ,y ay by ce的一個(gè)特、一 12v1 v(2)設(shè)y -e2x (x )ex是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程23解，則(A) a 3,b 2,c1(B) a 3,b 2,c1(C) a 3,b 2,c 1(D) a 3,b 2,c 1【答案】(A)【解析】將特解代入微分方程，利用待定系數(shù)法，得出a 3,b 2,c1。故選A(3)若級(jí)數(shù)anxn在x 2處條件收斂，則 x J3與x 3依次為募級(jí)數(shù)nan (x 1)n的n 1n 1()(A)收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)(B)收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)

3、(C)發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)(D)發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【答案】(A)【解析】因?yàn)榧?jí)數(shù)anxn在x 2處條件收斂，所以 R 2,有募級(jí)數(shù)的性質(zhì)，n 1nan (x 1)n的收斂半徑也為 n 13,收斂區(qū)間為1 x 3,則收斂域?yàn)? x 3,進(jìn)而xJ3與x3依次為募級(jí)數(shù)nnan(x 1)n的收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)，故選 A1(4)下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是(A)n 1 8n(B)-iln(1 i n1) n(C)(1)n 1 n 2 ln n(D)n!n n i n【答案】（C）【解析】(A)SnUiU2Un8Sn（8）2283n8n 1ISn1818282182n8n，1 n8n 8n1Sn 49(1(8)n)去c 8lim

4、Sn 存在，則收斂n 49(B) Un1Jnln(113n21n 12n2收斂，所以B）收斂。(C)(1)n 1n 2 ln n(1)nn 2 ln n-Xn 2 ln n因?yàn)閚(1)n,2 ln n，n1，-，山一分別是收斂和發(fā)散，所以2 ln n(1)n 1一一1發(fā)散，故選n 2 ln nn! . Un 1(D)Un , lim - n nUnC)onn1一lim e11,所以收斂n n 1111設(shè)矩陣A12a,b14a21龍童A, 行柒口21,2 ,則線性方程組 Ax b有無窮多解的充分必要條件為（）（A） a,（B） a,（C） a,（D） a,【答案】（D）【解析】Ax b有無窮多解

5、r A r A 3, A 0,即（a 2）（a 1） 0,從而a 1或 a 2當(dāng)a 1時(shí)，A1 1 1M 11 2 1M1 4 1M1 1 1M 10 10M12_000M32從而 2 32=01當(dāng)a 2時(shí)，A 1 1從而 2 32=0所以選D.=1或 =2時(shí)Ax1 1M 112 2M04 4M 20=1或 =2時(shí)Axb有無窮多解1 1M 11 1M 10 0M 2 3 2b有無窮多解222.(6)一次型f(x1,X2,X3)在正交變換x Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y1 y y3 ,其中P (.馬島)，若Q (e1，e3,%) , f(x1，x2,x3)在正交變換x Qy下的標(biāo)準(zhǔn)型為(,、_ 222(

6、A)2y y2 y3 222(B)2y1 y2 y3 222(C)2y1 y2 y3 222(D)2y1 y2 y3【答案】(A)【解析】由已知得 f(x1,x2,x3)YTPTAPY 2y2 y2 y2, Q PE23E2( 1), 從而"Xi,X2,X3)YTQTAQY YTET( 1)E23TPT APE23E2( 1)Y100T_T_222_YE2(1)E23P APE23E2( 1)Y2y1yy3 ,其中 E23001,0100 0E2( 1)1 0均為初等矩陣，所以選 A01(7)若A, B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則(A) P(AB)(B) P(AB)(C) P(AB)(D)

7、 P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)P(A) P(B)2P(A) P(B)【答案】(C)【解析】排除法。若 AB ，則P(AB) 0 ,而P(A), P(B)未必為0,故P(A)P(B) P(AB),P(A) P(B)P(AB),故 B,D 錯(cuò)。若 A B ,則 P(AB)P(A) P(A)P(B),故 A錯(cuò)。(8)設(shè)總體X B(m,),Xi, X2, X3為來自該總的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,X為樣本均值，則(Xi1X)2(A)(m1)n(1(B)m(n1)(1(C)(m(D)mn1)(n (11)(1B)二、填空題lim(914小題, ln(cosx)2_x 每小題4分，共24分.請(qǐng)將答案寫在

8、答題紙指定位置上).(10)sin xIn cosx lim x 0 x22 sin x2 1 cosx2cosx2x1lim2 x 0sin xxcosx2 sin x2 1 cosx(11) 若函數(shù)zdx【解析】對(duì)(0,1)(12)設(shè)x dxx dxsinx ,dxcosxz(x, y)有方程ze xyzxyz1, z y(0,1)是由 xx cosx2 xdx2x cosxsin xdx 2 2 xdx21 cosx 02確定，則dz .1) 2兩邊分別關(guān)于x, y,z求偏導(dǎo)，并將(0,1)這個(gè)代入，得到0 ,所以dz(0,1) dx °y z 1與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域

9、，則x 2y 3z dxdydz【答案】-4【解析】由對(duì)稱性, 其中DZ為平面 zz截空間區(qū)域所得的截面z)2，一，1 ，,其面積為一(12所以:x 2y 3z dxdydzzdxdydz 6z1 (1 z)2dz 22z2z dz(13) n階行列式【答案】2n 1 2【解析】按第一行展開得(14)設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y服從正態(tài)分布N(1,0;1,1;0),則 PXYP XY0,Y0,Y 0【解析】由xy °，故X,Y獨(dú)立。P 指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙 明過程或演算步驟.(15)設(shè)函數(shù)f (x) x3aln(1 x) b

10、xsinx, g(x) kx ,若 f (x)與 g(x)在 x 0 時(shí)為等價(jià)無窮小，求a,b,k的值【解析】由題意,(16)計(jì)算二重積分Dx(x y)dxdy,其中 D,、22-2(x, y) x y 2,y x 。I x(x y)dxdy2 ,x dxdy xydxdy22 x dxdy ,D1其中 Di(x, y) x2 y2 2, y x2,x 0 ,2 o 4 53,求f (x, y)在曲線C上的最則 I x(xD(17)已知函數(shù)y)dxdyf (x, y)212 x dxdy 2 dx 20 xD1x y xy,曲線 C :x2dyxy大方向?qū)?shù)【解析】因?yàn)閒 (x, y)沿著梯度

11、的方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模gradf(x, y) 1 y,1 x ,模為 J(1 y)2 (1 x)2,此題目轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)g(x, y) J(1 y)2 (1 x)2 在約束條件 C: x2 y2 xy 3,下的最大值，即為條件極值問題。本問題可以轉(zhuǎn)化為對(duì)2222_d (x, y) (1 y) (1 x)在約束條件C : x y xy 3,下的最大值，構(gòu)造函數(shù)故最大值為3.(18)設(shè)函數(shù)f (x)在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于0,若對(duì)任意的x0 I ,曲線y f (x)在點(diǎn)(xo, f(xo)處的切線與直線x xo及x軸所圍成區(qū)域的面積恒為4,且f(0) 2,求f(x)的表達(dá)式。【解析】

12、y f(x0)f '(x)(x %)解得：3y2 dy dx1分離變量可得：1 3x cy因?yàn)閥(0) 21所以c , 2綜上 f (x)-1 6x2 2219、已知曲線L的方程為 Z y X y ,起點(diǎn)為A(0, J2,0)，終點(diǎn)為B(0, J2,0),計(jì) z x算曲線積分I2222L(y z)dx (z x y)dy (x y )dzx cos【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程y J2sin:，22z cos(20)向量組a1,a2,a3是R3的一個(gè)基,(i)證明42223為R3的一個(gè)基；bi =2a1 +2ka3,b2 =應(yīng)力3 =a1 +(k+1)a3,(n)當(dāng)k為何值時(shí)，存在非零向量

13、e在基a1,a2,a3與基b1,b2,b3下的坐標(biāo)相同，并求所有的e.【解析】(i)證明：Q a1,a2,a3是R3的一個(gè)基a1,a2,a3線性無關(guān),即r啟2仇)=3201又Q 020=4? 02k0k+1201r 1, 2,3r02 0=32k 0 k 13b1,b2,b3線性無關(guān)，為 R 的一個(gè)基(n)由已知設(shè) e = k1al+k2a2+k3a3 = k1bl + k2b2+k3b3,e ? 0k1有非零解，即12k 3,2,1k 3 k20有非零解k310 1所以 a1+2ka3, a2, a1 + ka3 = a1,a2,a3 0 1 0=02k 0 k從而 k1al + k2a2

14、+ k3al = 00(21)設(shè)矩陣A 11(1)求a,b的值。(2)求可逆矩陣【解析】(1)2333相似于矩陣B2 aO1P,使P AP為對(duì)角矩陣。0 b031, 3 b21 31200(1133a)2(b )由(1) 2 (a 2) 2a 3AB A,B特征值相同2 (a 2) 2a 3 (得a 4, 3 5,故b 51)(2a 3),(2)由(1)得 A023133 ,其中特征值 11241, 3 5,23當(dāng)12 1時(shí)，解(A E)x 0方程的基礎(chǔ)解系為11,20011當(dāng)3 5時(shí)，解(A 5E)x 0方程的基礎(chǔ)解系為 311從而(A 1, A 2,A 3) ( 1, 2,5 3)A( 1

15、, 2, 3)( 1 , 2 , 3)因?yàn)?, 2, 3線性無關(guān)，所以令 P1, 2, 3可逆，即P1P 1Ap15(22)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x)2 xln2 x0 x0 ,對(duì)X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，直0到第2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)為止，記 Y的觀測(cè)次數(shù)(1)求Y的概率分布。求EY f(x)2 xln2,x0,x所以Y的概率分布為C：(2)EYn(nn 21)S(x)n(nn 21)xS(x)S(x)2x2 x2 xS(x)(23)設(shè)總體X的概率密度為f (x;X1，X2，Xn為隨機(jī)樣本。求的矩陣估計(jì)量；的最大似然估計(jì)量。(1)EX1xf (x; )dx 0x,1-dx(2)X1,X2

16、，Xn為觀測(cè)值，則L()f (X；1ln L()n ln(1),x 1,iminXi182(n 1),n2,3L64nnnxn(n2S2(x)S1(x)1)x0 S(t)dt22x(2x)(1)n1,2,., n,其中為未知參數(shù),其他1,i其他d ln L()d2EX2X 1 o1,2，n0,取2016年考研數(shù)學(xué)二真題與解析、選擇題 1 8小題.每小題4分，共32分.11 .當(dāng)x 0時(shí)，若ln (1 2x), (1 cosx)均是比x高階的無窮小，則的可能取值范圍是()1八1(A) (2,)(B) (1,2)(C) (-,1)(D) (0-)2 21,21 2 1“【詳斛】ln (1 2x)

17、2 x ，是 階無窮小，(1 cosx) x 是一階無分小，由題2 .1意可知 2一1所以的可能取值范圍是(1,2),應(yīng)該選(B).2.下列曲線有漸近線的是212. 1(A) y x sinx (B) y x sin x (C) y x sin(D) y x sin 一xx1. y . 1 一【詳斛】對(duì)于y x sin ,可知lim 1且lim ( y x) lim sin 0 ,所以有斜漸近 x X x xx x線y x應(yīng)該選(C)3.設(shè)函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x) f (0)(1 x) f(1)x ,則在0,1上()(A)當(dāng) f'(x)0 時(shí)，f (x)g(x)(B)當(dāng) f&

18、#39;(x)0 時(shí)，f (x)g(x)(C)當(dāng) f (x)0 時(shí)，f (x)g(x)(D)當(dāng) f (x)0 時(shí)，f (x)g(x)【分析】此題考查的曲線的凹凸性的定義及判斷方法.【詳解1】如果對(duì)曲線在區(qū)間a,b上凹凸的定義比較熟悉的話，可以直接做出判斷.顯然g(x) f (0)(1 x) f (1)x 就是聯(lián)接(0, f(0), (1, f (1)兩點(diǎn)的直線方程.故當(dāng) f (x) 0時(shí)，曲線是凹的，也就是 f(x) g(x),應(yīng)該選(D)【詳解2】如果對(duì)曲線在區(qū)間a,b上凹凸的定義不熟悉的話，可令F(x)f(x) g(x)f(x) f (0)(1 x) f(1)x,則 F(0)F(1)0,且

19、F"(x)f" (x),故當(dāng)f (x)0時(shí)，曲線是凹的，從而 F(x)F(0)F(1) 0,即F(x)f (x) g(x)0 ,也就是f (x) g(x),應(yīng)該選(D)4.曲線x t2y t27,4t上對(duì)應(yīng)于t1的點(diǎn)處的曲率半徑是(1(B)40(C) 10J而100(D) 5, 10【詳解】曲線在點(diǎn)(x, f (x)處的曲率公式K.(1 y2)3曲率半徑本題中那2嚕2t 4,dy所以dx2t2td2y dx22F2t1-3，t3對(duì)應(yīng)于t1的點(diǎn)處y' 3, y"y"2 3 . (1 y)10. 1010V10.應(yīng)該選(C)5.設(shè)函數(shù)f(x)arct

20、an x ,若 f (x)xf'()，則 lim - x 0 x(A) 12(B)3(C)(D)【詳解】注意(1)f'(x)(2)0時(shí)，arctan x133-x3 o(x3).3由于 f (x) xf'(f (x) arctan x2 x arctan x,、2 '(arctan x)2一.一x arx tan xlim lim 2x 0 x x 0 x(arctan x)/13、, 3、x (x-x)o(x )133o,x36.設(shè)u(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù),在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足22u uC0 及 一2-20 ,xy(A)u(x, y

21、)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上;(B)u(x, y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的內(nèi)部;(C)u(x,y)的最大值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域 D的邊界上;(D)u(x, y)的最小值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域 D的邊界上.【詳解】u(x, y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所以u(píng)(x, y)在D內(nèi)必然有最大值和最小22Au cu 、A2 ,C2 , Bxyu(x, y)不是直 并且如果在內(nèi)部存在駐點(diǎn)(x0, y0),也就是 x2,由條件，顯然 AC B20 ,顯然y x極值點(diǎn)，當(dāng)然也不是最值點(diǎn),所以u(píng)(x, y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上.所以應(yīng)該選

22、(7 .行列式(A) (ad寺丁bc)2(B),、22.2.22(ad bc)(C) a d b c(D)2 , 2, 2 2adb c應(yīng)該選8.設(shè)是三維向量，則對(duì)任意的常數(shù)k,l ,向量i k 3,2 l3線性無關(guān)是向3線性無關(guān)的(A)必要而非充分條件(C)充分必要條件(B)充分而非必要條件(D)非充分非必要條件【詳解】若向量1, 2, 3線性無關(guān)，則3) 0k對(duì)任意的常數(shù)k,l ,矩陣K的秩都等于2,所以向量l 3 一定線性無關(guān).而當(dāng)10,20無關(guān)，但3線性相關(guān);故選擇時(shí),對(duì)任意的常數(shù)k,ll 3線性、填空題(本題共 6小題，每小題滿分24分.把答案填在題中橫線上)11x2 2x 5dx1

23、 1dxx2 2x 5dx(x 1)2 41arctan 2I110.設(shè)f (x)為周期為的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f'(x)2(x1), x0,2，則f(7)【詳解】當(dāng)x0,2 時(shí)，f (x)2(x1)dx2 2x C即 f (x)x2 2x； f(x)為周期為4奇函數(shù),f(7) f(1) f (1) 1 .11 .設(shè) zz(x, y)是由方程e2yz x7確定的函數(shù)，則4dz| 112,2【詳解】設(shè)F（x,y,z）2yz2e x yFx1,Fy2ze2 yz2y,Fz 2ye2 yz1 一時(shí)，z 0,2FxFy12.1 ，-,所以dz|1dx 1dy .22曲線L的極坐標(biāo)方程為,則L在點(diǎn)（r

24、,）處的切線方程【詳解】先把曲線方程化為參數(shù)方程r( )cos r( )sincossin一處,2cdy, sinx 0,y七dx|萬寶cos sin|2,則2.L在點(diǎn)(r,一處的切線方程2(x 0),即13 .一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于 x軸的區(qū)間0,1上，若其線密度(x)2x 1 ,則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)x【詳解】質(zhì)心坐標(biāo)x10x (x)dx -0 (x)dx10(1x3 2x2 x)dx(x2 2x 1)dx1112531120214 .設(shè)二次型 f(x1，x2,x3) x12ax1x3 4x2x3的負(fù)慣性指數(shù)是圍是.【詳解】由配方法可知由于負(fù)慣性指數(shù)為1,故必須要求40,所以a的取值范圍是 2,

25、2三、解答題15.（本題滿分10分）1求極限limxX O :1 (t2(et1) t)dtx2ln(1 1)x【分析】.先用等價(jià)無窮小代換簡(jiǎn)化分母，然后利用洛必達(dá)法則求未定型極限.【詳解】16.(本題滿分10分)已知函數(shù)y y(x)滿足微分方程 x2y2y' 1 y',且y(2) 0,求y(x)的極大值和極小值.【詳解】解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得到(1y2)-dy 1 x2,這是一個(gè)可分離變量的一階微分方程，兩dx邊分別積分可得方程通解為:1 o121y3 y x 1x3 C ,由 y(2) 0得C -, 333日口 13132即一yy x-x一33322_2 2_2 2令dy

26、 3T 0,得 x 1,且可知駕 2x(1 y)22y(1 x)；dx 1 ydx(1 y )當(dāng)x 1時(shí)，可解得y 1 , y”1 0,函數(shù)取得極大值y 1 ；1時(shí)，可解得y0, y” 2 0 ,函數(shù)取得極小值y0.0.y /22、xsin( i x y ), dxdyx y17 .(本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域D (x,y)|1 x2 y2 4, x【詳解】由對(duì)稱性可得18 .(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),z f(excosy)滿足22Z- -Z (4z excosy)e2x 若 f (0) 0, f'(0) 0,求 f(u)的表達(dá)式. xy【詳解】設(shè) u exco

27、sy,則 z f(u) f (excos y),2f'(u)excosyZ _2x 2 一 x-2f”(u)e cos y f' (u)e cosy ；x2f '(u )ex sin y, -f-f ”(u)e2xsin 2 y f'(u)excosy;y22由條件 一2 一2(4z excosy)e2x,xy可知這是一個(gè)二階常用系數(shù)線性非齊次方程.對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：f(u) Cie2u C2e 2u其中Ci,C2為任意常數(shù).1對(duì)應(yīng)非齊次方程特解可求得為y* 1 u4故非齊次方程通解為2 u2 u 1f(u) CeC2e u .4，一，-，-.，、一，r11

28、將初始條件f(0) 0,f'(0) 0代入，可得C1 C21 16' 216所以f(u)的表達(dá)式為f(u) e2u e 2u -u1616419.(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間a.b上連續(xù)，且f(x)單調(diào)增加,0 g(x) 1,證明:x(1) 0 a 9(加 xba g(t)dt(2) a a f (x)dx【詳解】a, xa,b;f(x)g(x)dx .(1 )證明：因?yàn)? g(x)x1 ,所以 0dxaxa g(t)dtx1dt x a bax即 0 g(t)dt x a, x a, b . a.xxa g(t)dt(2)令 F (x) f (u)g(u)

29、du a f (u)du ,aa則可知 F (a) 0,且 F'(x) f (x)g(x) g(x) f a g(t)dt a因?yàn)?g(t)dt x a,且f (x)單調(diào)增加,x所以 f a a g(t)dtf (a x a) f (x).從而F'(x) f (x)g(x) g(x)f axg(t)dtf(x)g(x) g(x)f(x) 0,x a,b也是F(x)在a,b單調(diào)增加，則 F(b) F (a) 0 ,即得到bg(t)dtf(x)dxf(x)g(x)dx .20.(本題滿分11分)x設(shè)函數(shù)f(x) ,x 0,1，定義函數(shù)列1 x,fn(x) f(fn1(x),fl(x

30、) f(x), f2(x) f(L(x),設(shè)Sn是曲線y fn(x),直線x1,y 0所圍圖形的面積.求極限 limnSn.xf1(x) cf2(x)f1(x)f1(x)x1 x1 x1x1 2x利用數(shù)學(xué)歸納法可得fn(x)x1 nx0 fn(x)dx1 x 1 111 ln(1 n)fdx " Ex 酒 1),lim nSn lim 1 -ln-n1 .nnn21 .(本題滿分11分)(2 y)ln y ,求曲線一一 -rf-2已知函數(shù)f(x,y)滿足 2( y 1),且f(y, y) (y 1)2 yf (x, y) 0所成的圖形繞直線 y1旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積. ,、 一 f

31、2由于函數(shù)f(x,y)滿足 2( y 1),所以f (x, y) y 2y C(x),其中C(x)為待定 y的連續(xù)函數(shù).又因?yàn)?f (y, y) (y 1)2 (2 y)lny,從而可知 C(y) 1 (2 y)lny,得到 f (x, y) y2 2y C(x) y2 2y 1 (2 x)ln x .令 f (x, y) 0,可得(y 1)2(2 x)ln x ,且當(dāng) y1 時(shí)，x11,x2 2.曲線f(x,y) 0所成的圖形繞直線 y1旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為2211分)1)2)詳解 】A0求方程組1， E 為三階單位矩陣AX0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系；求滿足 ABE 的所有矩陣1)對(duì)系數(shù)矩陣A

32、進(jìn)行初等行變換如下：，得到方程組AX0 同解方程組得到 AX0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 12)顯然B 矩陣是一個(gè)4 3 矩陣，設(shè)x1x2x3x4y1y2y3y4z1z2z3z4對(duì)矩陣 ( AE ) 進(jìn)行進(jìn)行初等行變換如下：x121y161z11x212y232z2121c1，c2，1c3x33y3423z33x401y401z401即滿足ABE 的所有矩陣為由方程組可得矩陣B 對(duì)應(yīng)的三列分別為15其中c1,c2,c3 為任意常數(shù)2311 分)證明1 n 階矩陣相似111111【詳解】證明：設(shè)A, B111分別求兩個(gè)矩陣的特征值和特征向量如下：1111E A1111(1n)所以A的n個(gè)特征值為1n, 2

33、3n0;,3n而且A是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以一定可以對(duì)角化.且 A 所以B的n個(gè)特征值也為1n, 23n0;,nn對(duì)于n 1重特征值0,由于矩陣（0E B）B的秩顯然為1,所以矩陣B對(duì)應(yīng)n 1重特征值0的特征向量應(yīng)該有 n 1個(gè)線性無關(guān)，進(jìn)一步矩陣B存在n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即矩陣B 一定可以對(duì)角化，且1相似.從而可知n階矩陣2016年考研數(shù)學(xué)（三）真題填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）sin x(1)右 lim (cosx b) 5,貝 1 a =, b =.x 0 exa 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函

34、數(shù) g(y)可微，且g(y) 0,則2f(3)設(shè) f(X)xex21, 21(4)二次型 f (xi，x2，x3) (xix2)(x2x3 )(x3 xi ) 的秩為,X 2(5)設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 人的指數(shù)分布，則PX D DX (6)設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N(內(nèi)，/),總體Y服從正態(tài)分布 N(圾，(t2),X1,X2, Xni和丫1，丫2， Yn2分別是來自總體 X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則22ni_ 2 n2_ 2(Xi X)(Yj Y)i 1j 1n1 n2 2二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符 合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的

35、括號(hào)內(nèi))一、|x|sin(x 2) 函數(shù)f(x) 1在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.x(x 1)( x 2)2(A) ( 1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2,3).(8)設(shè) f 儀)在(，+ )內(nèi)有定義，且 lim f (x) a, g(x) f (x) , x °,則 x0 ,x 0(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn)(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D) g(x)在點(diǎn)x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān).(9)設(shè) f (x) = |x(1 x)|,則(A) x = 0是f (x)的極值點(diǎn)，但

36、(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(B) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y = f (x)的拐點(diǎn).(C) x = 0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0 , 0)是曲線y = f(x)的拐點(diǎn).(D) x = 0不是f (x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線y = f (x)的拐點(diǎn). (10)設(shè)有下列命題: 若 (U2n 1 U2n)收斂，則Un收斂.n 1n 1若Un收斂，則 Un 1000收斂.n 1n 1若lim un1,則un發(fā)散.nunn 1若(叫 vn)收斂，則 un ,vn都收斂.n 1n 1 n 1則以上命題中正確的是(C)(3) (4).(D)(1) (

37、4).0, f (b) 0 ,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A).(B).(11)設(shè)f (x)在a , b上連續(xù),且f (a)(A)至少存在一點(diǎn) x0 (a,b),使得 f(x0)> f (a).(B)至少存在一點(diǎn) x0 (a,b),使得 f (x0) > f (b).(C)至少存在一點(diǎn)x0 (a,b),使得f (x0) 0.(D)至少存在一點(diǎn) x0 (a,b),使得 f(x0)= 0. D (12)設(shè)n階矩陣A與B等價(jià)，則必有(A)當(dāng) |A| a(a 0)時(shí)，|B| a.(B)當(dāng) |A| a(a 0)時(shí)，|B| a.(C)當(dāng) |A| 0 時(shí)，|B| 0.(D)當(dāng) |A| 0 時(shí)，|B|

38、0.*(13)設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣 A 0,若&, &, &, &是非齊次線性方程組 Ax b的互不相等的解，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax 0的基礎(chǔ)解系(A)不存在.(B)僅含一個(gè)非零解向量.(C)含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量.(14)設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對(duì)給定的q(0,1),數(shù)人滿足PX Uja,U.(D)Ui a.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)2222是由圓x2 y2 4和(x 1)2y21所圍成的A若P| X | x a,則x等于(A) Ua.(B) U a.(C)1 22三、解答題(本題共9小題，

39、滿分94分.(15)(本題滿分8分)d21 cos x、求 lim (-22).x 0 sin x x(16)(本題滿分8分)求(；x2y2y)d ,其中 DD平面區(qū)域(如圖).(17)(本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù),且滿足xxaf出ag出，x a，b)，bf (t)dtabgdt. ab證明：axf(x)dxbaxg (x)dx.(18)(本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 5P,其中價(jià)格 P (0,20), Q為需求量.(I)求需求量對(duì)價(jià)格的彈性Ed ( Ed > 0)；dR .(II)推導(dǎo) Q(1Ed)(其中R為收益)，并用彈性Ed說明價(jià)

40、格在何范圍內(nèi)變化時(shí),dP降低價(jià)格反而使收益增加.(19)(本題滿分9分)設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x).求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達(dá)式.(20)(本題滿分13分)設(shè)% (1,2,0)T,屹 (1, a 2, 3a)T,電 (1, b 2, a 2b)T, 0 (1,3, 3)T , 試討i當(dāng)a,b為何值時(shí)(I ) 0不能由 偽，a2, 03線性表示(n) B可由的，為，的唯一地線性表示，并求出表示式并求出表示式(in) 0可由0), 02,他線性表示，但表示式不唯一(21)(本題滿分13分) 設(shè)n階矩陣1bbb1bA.bb1(i)求A的特征值和特征向量；(n)求

41、可逆矩陣P,使得P 1AP為對(duì)角矩陣.(22)(本題滿分13分)111 .設(shè)A, B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A) , P(B | A) - , P(A| B),令432求(I )二維隨機(jī)變量(X ,Y)的概率分布；(n ) X與Y的相關(guān)系數(shù)Pxy ;22(HI) Z X Y的概率分布.(23) ( 本題滿分 13 分)設(shè)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為其中參數(shù)a 0, B 1.設(shè)Xi,X2, ,Xn為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本(I)當(dāng)a 1時(shí)，求未知參數(shù) 0的矩估計(jì)量；(n)當(dāng)a 1時(shí)，求未知參數(shù) B的最大似然估計(jì)量；(田)當(dāng)B 2時(shí)，求未知參數(shù) a的最大似然估計(jì)量.2016年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析一、填

42、空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）sin x右 lim -（cosx b） 5,則 a =1, b =4.x 0ex a 【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.sin x ，【詳解】因?yàn)閘im 衛(wèi)土(cosx b) 5,且lim sinx (cosx b) 0 ,所以x 0ex ax olim (ex a) 0,得a = 1.極限化為 x 0.sin x . . x . ._ _lim(cosxb)lim -(cosxb)1b5,得b =4.x 0ex ax 0x因此，a = 1 , b = 4.【評(píng)注】一般地，已知lim上區(qū)=A, g(x)(1)若 g(x)

43、 0,則 f (x) 0；(2)若 f (x) 0,且 A 0,則 g(x) 0.(2)設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù) g(y)可微，且g(y) 0,則，LgJvl.u vg2(v)【分析】令u = xg(y), v = y,可彳4到f (u , v)的表達(dá)式，再求偏導(dǎo)數(shù)即可【詳解】令 u = xg(y), v = y，則 f (u , v) = u g (v), g(v)所以,f12fug(v)u vg (v) g2(v)(3)設(shè) f(x)2xex,x121221 f(x21)dx12_【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元:1

44、 = t,再利用對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可11 f (t)dt211 f (x)dt22【詳解】令x 1 = t,1 f (x 1)dx22112 xex dx 1 ( 1)dx 0 (-)222【評(píng)注】一般地，對(duì)于分段函數(shù)的定積分，按分界點(diǎn)劃分積分區(qū)間進(jìn)行求解222 . 二次型 f(Xi,X2,X3) (Xi X2)(X2 X3)(X3 Xi)的秩為 2,亦即標(biāo)準(zhǔn)型中平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，于是利用初等變換【分析】二次型的秩即對(duì)應(yīng)的矩陣的秩 或配方法均可得到答案.【詳解一】因?yàn)閒（X1,X2,X3） （X1X2 )( X2X3)(X3X1 )211于是二次型的矩陣為A 121112由初等變換得從

45、而 r(A) 2,即二次型的秩為2.2. 22【詳解二】因?yàn)?f(X1,X2,X3) (X1 X2 )(x2 X3)(X3 X1 )2322Vl2 y2，-11yX1 2X2 -X3,y X2 X3.所以二次型的秩為 2.1（5）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 人的指數(shù)分布，則px JDX-.e【分析】根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案1【詳解】由于DX -2, X的分布函數(shù)為關(guān)故PX DX 1 PX . DX 1 PX 1 1 F （1） 1.A入e【評(píng)注】本題是對(duì)重要分布，即指數(shù)分布的考查，屬基本題型.（6）設(shè)總體X服從正態(tài)分布22、N （內(nèi)，（T ）,總體Y服從正態(tài)分布N （，（T ）,

46、X和Y的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則2 (TX，X2，*山和丫1，丫2， 丫”2分別是來自總體n2(Xi X) (Yj Y)i 1j 1n1& 2【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征即可得答案【詳解】因?yàn)?n1- 22X，n222;(Yj Y)2/1 j i【評(píng)注】本題是對(duì)常用統(tǒng)計(jì)量的數(shù)字特征的考查 二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分 合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符|x|sin(x 2)一 函數(shù)f(x) -1在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界x(x 1)( x 2)2(A) ( 1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).

47、(D) (2,3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限lim f(x)與lim f(x)存在，則函數(shù)f (x)x ax b在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當(dāng)x0 , 1 , 2時(shí)，f(x)連續(xù)，而lim f(x) 照，lim f(x) 土， x 118 x 04sin 2lim f (x) , lim f (x), lim f (x),x 04 x 1x 2所以，函數(shù)f (x)在(1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評(píng)注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù) f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限 lim f(x)與lim f(x)存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有 x ax b界.(8)設(shè)f(x)在(，+ )內(nèi)有定義，且lim f (x) a, x一1、 cg(