[數(shù)學(xué)]第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征ppt課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 通常是指與隨機(jī)變量有關(guān)的，雖然不能完好地刻劃隨通常是指與隨機(jī)變量有關(guān)的，雖然不能完好地刻劃隨機(jī)變量，但卻能較為集中地反映隨機(jī)變量某些方面的重機(jī)變量，但卻能較為集中地反映隨機(jī)變量某些方面的重要特征的一些數(shù)值。要特征的一些數(shù)值。4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；4.2 隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的方差 ；4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) ;本章內(nèi)容：本章內(nèi)容：4.4 矩與協(xié)方差矩陣矩與協(xié)方差矩陣 .數(shù)字特征數(shù)字特征概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1.1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

2、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望引例引例 有甲、乙兩射手，他們的射擊技術(shù)用下表給出有甲、乙兩射手，他們的射擊技術(shù)用下表給出問(wèn)題：知隨機(jī)變量的概率分布問(wèn)題：知隨機(jī)變量的概率分布, 如何計(jì)算其平均值？如何計(jì)算其平均值？ 解解 “射擊程度普通用平均擊中環(huán)數(shù)來(lái)反映。所以，射擊程度普通用平均擊中環(huán)數(shù)來(lái)反映。所以，只需對(duì)他們的平均擊中環(huán)數(shù)進(jìn)展比較即可。只需對(duì)他們的平均擊中環(huán)數(shù)進(jìn)展比較即可。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 分析：假設(shè)甲射擊分析：假設(shè)甲射擊N次次, 設(shè)擊中設(shè)擊中8環(huán)環(huán), 9環(huán)和環(huán)和10環(huán)的次數(shù)環(huán)的次數(shù)分別為分別為 次，那么甲在次，那么甲在N次射擊中，平均每次次射擊中，平均每次擊中的環(huán)數(shù)為擊中的環(huán)數(shù)為123 NNN、

3、 和1238910NNNN 3128910NNNNNN 1238910fff 由于概率是頻率的穩(wěn)定中心，以由于概率是頻率的穩(wěn)定中心，以 表示甲的平均擊表示甲的平均擊中環(huán)數(shù)中環(huán)數(shù), 那么那么(E X甲）8 0.39 0.1 10 0.69.3E X 甲（）8 0.9 0.10 0.9.1,E X 乙（）故以為甲射手的程度較高。故以為甲射手的程度較高。由于由于E XE X乙甲（）（）,可以看出：平均值是以分布概率為權(quán)重的加權(quán)平均?？梢钥闯觯浩骄凳且苑植几怕蕿闄?quán)重的加權(quán)平均。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 定義定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為的概率分布為PX = xk = pk ， k =1

4、,2,31kkkpx1kkkx p 1)(kkkpxXE假設(shè)級(jí)假設(shè)級(jí)數(shù)數(shù)，那么稱級(jí)數(shù)，那么稱級(jí)數(shù)和和為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望或均值，的數(shù)學(xué)期望或均值， 記作記作EX隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望完全是由它的概率分布確定的數(shù)學(xué)期望完全是由它的概率分布確定的，而不應(yīng)受的，而不應(yīng)受 X 的能夠取值的陳列次序的影響，因的能夠取值的陳列次序的影響，因此要求此要求1kkkx p 否那么，稱隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存否那么，稱隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解解 易知易知 X 1 3 P 0.4 0.6 ()1 0.43 0.61.4E X 例1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為求求 ()E X

5、假設(shè)將此例視為甲、乙兩隊(duì)假設(shè)將此例視為甲、乙兩隊(duì)“競(jìng)賽，甲隊(duì)贏的概率競(jìng)賽，甲隊(duì)贏的概率為為0.6，輸?shù)母怕蕿?，輸?shù)母怕蕿?.4，并且甲隊(duì)每贏一次得，并且甲隊(duì)每贏一次得3分，每輸分，每輸一次扣一次扣1分，那么分，那么 E(X) = 1.4 是指甲隊(duì)平均每次可得是指甲隊(duì)平均每次可得分分概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例例2 按規(guī)定，某公交車每天按規(guī)定，某公交車每天8點(diǎn)至點(diǎn)至9點(diǎn)和點(diǎn)和9點(diǎn)至點(diǎn)至10點(diǎn)都恰有一輛點(diǎn)都恰有一輛到站，各車到站的時(shí)辰是隨機(jī)的，且各車到站的時(shí)間是相互獨(dú)立到站，各車到站的時(shí)辰是隨機(jī)的，且各車到站的時(shí)間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為的，其規(guī)律為到站時(shí)辰到站時(shí)辰 8:10/9:10 8:30/9:30

6、8:50/9:50 概率概率 0.2 0.4 0.4某乘客某乘客8:20到站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望到站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望 解解 設(shè)乘客的候車時(shí)間為設(shè)乘客的候車時(shí)間為X,假設(shè)該乘客假設(shè)該乘客8:20到車站到車站,而而8點(diǎn)到點(diǎn)到9點(diǎn)點(diǎn)的一趟車已于的一趟車已于8:10開走開走,第二趟車第二趟車9:10開開,那么他候車的時(shí)間為那么他候車的時(shí)間為50 min， 該乘客其他候車時(shí)間對(duì)應(yīng)的概率可類似得到，于是候車時(shí)間該乘客其他候車時(shí)間對(duì)應(yīng)的概率可類似得到，于是候車時(shí)間X的分布列為的分布列為 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08XP對(duì)應(yīng)的概率為事件對(duì)應(yīng)的概率為事件

7、“第一趟車第一趟車8:10開走，且第二趟開走，且第二趟9:10開發(fā)生的開發(fā)生的概率概率, 即即500.2 0.20.04P X 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解解 候車時(shí)間候車時(shí)間X的分布列的分布列為為 10 30 50 70 90 0.4 0.4 0.04 0.08 0.08XP從而該乘客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為從而該乘客候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為()100.4300.4500.04700.08900.0830.8E X 例例2 按規(guī)定，某公交車每天按規(guī)定，某公交車每天8點(diǎn)至點(diǎn)至9點(diǎn)和點(diǎn)和9點(diǎn)至點(diǎn)至10點(diǎn)都恰有一輛點(diǎn)都恰有一輛到站，各車到站的時(shí)辰是隨機(jī)的，且各車到站的時(shí)間是相互獨(dú)立到站，各車到站的時(shí)辰是隨機(jī)的，且各

8、車到站的時(shí)間是相互獨(dú)立的，其規(guī)律為的，其規(guī)律為到站時(shí)辰到站時(shí)辰 8:10/9:10 8:30/9:30 8:50/9:50 概率概率 0.2 0.4 0.4某乘客某乘客8:20到站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望到站，求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量X和和Y的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望期望于是有于是有 解解 由由(X,Y)的結(jié)合分布律可得關(guān)于的結(jié)合分布律可得關(guān)于X、Y的邊緣分布的邊緣分布分別為分別為 例3 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的結(jié)合概率分布表為 1 2 3 1 1/4 1/8 1/4 2 1/8 1/8 1/8 XY 1 2 5/8 3/8XP 1 2 3 3/8 1/4 3

9、/8YP5311()12888E X313( )1232848E Y 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1111(),( )ii jji jijijE Xx pE Yy p11111( )()jjjijjijjjiijE Yy P Yyypy p, , ,1,2,iji jP Xx Yypi j11111()()iiiijiijiijijE Xx P Xxxpx p1 , 1,2,iijjP Xxpi 定理定理1 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的結(jié)合概率分布為的結(jié)合概率分布為那那么么 證明證明 關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布為的邊緣分布為于是有于是有 同理可得同理可得 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 定義 設(shè)延續(xù)型

10、隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，假設(shè)積分dxxxfXE)()( )x fx dx 闡明：假設(shè)積分闡明：假設(shè)積分 不收斂不收斂 ，那么稱隨機(jī)，那么稱隨機(jī)變量變量X的數(shù)學(xué)期望不存在。的數(shù)學(xué)期望不存在。 dxxfx 收斂，那么稱積分值收斂，那么稱積分值 為為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望或均值。記作或均值。記作E(X)，即，即( )xfx dx2. 延續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望延續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)21( ) , - (1)f xxx 試證試證X的數(shù)學(xué)期望不存在的數(shù)學(xué)期望不存在 例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 服從柯西分布服從柯西分布,其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為201ln(1)x21d(1)xx

11、x202d(1)xxx 證證 由于由于( )dx f xx( )dx f xx即即 不收斂，所以不收斂，所以X的數(shù)學(xué)期望不存在的數(shù)學(xué)期望不存在 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)22/(1500) ,01500( )(3000) /(1500) ,150030000,xxfxxx其 它求求X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. 1500300022015003000 -()( )ddd15001500 xxE Xxfxxxxxx 例5 設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，一電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X單位：min是一個(gè)隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為5 0 02 0 0 01 0 0 01 5 0 01500300032322015001500/

12、 3315001500 xxx解解 由知可得由知可得 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例例6 設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為2,01, 01( , )0,xyxyf x y其它解解 關(guān)于關(guān)于X、Y的邊緣概率密度函數(shù)分別為的邊緣概率密度函數(shù)分別為103( )( ,)d(2)d2Xfxf x yyxyyx求求EX，EY于是有于是有 103( )( , )d(2)d2Yfyf x yxxyxy(01)x(01)y123100335()()d24312xxE Xxxx123100335( )(- )d-24312yyE Yyyy概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 定理定理2 設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變

13、量設(shè)二維延續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)為為 f (x, y), 那么有那么有 ()( , )d d ,E Xxf x yx y ( )( , )dXfxf x yy于是有于是有 ( )( , )d dE Yyf x yx y 證證 關(guān)于關(guān)于X、Y的邊緣概率密度函數(shù)分別為的邊緣概率密度函數(shù)分別為( )( ,)dYfyf x yx()( )d( , )d d( , )d dXE Xxfxxxf x yyxxf x yx y ( )( )d( , )d d( , )d dyE Yyfyyyf x yxyyf x yx y 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)3. 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1( ) (

14、)().kkkE YE g Xg xp假設(shè)級(jí)數(shù)假設(shè)級(jí)數(shù) 1()kkkg xp收斂，那么收斂，那么有有 定理定理3 設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，Y = g(X)是是X的延續(xù)函數(shù)，那么有的延續(xù)函數(shù)，那么有,1,2,kkP Xxpk(1) 假設(shè)假設(shè) 為離散型變量，其概率函數(shù)為為離散型變量，其概率函數(shù)為 X(2)假設(shè)假設(shè)X為延續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為為延續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f(x),假設(shè)積分假設(shè)積分 收斂收斂( )( )g xf x dxdxxfxgXgEYE)()()()(那么有那么有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) (3) 假設(shè)假設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)向量，其結(jié)合概率分布為為離散型隨機(jī)向量，其結(jié)合概

15、率分布為 P X=xi Y=yj = pij i,j =1,2,3,假設(shè)假設(shè) 那么那么Z=g (X,Y)的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為ijjijipyxgYXgEZE),(),()(4) 設(shè)二維隨機(jī)向量設(shè)二維隨機(jī)向量X，Y為延續(xù)型隨機(jī)變量，它的結(jié)合概為延續(xù)型隨機(jī)變量，它的結(jié)合概率密度為率密度為f(x,y),假設(shè)假設(shè) 收斂收斂, 那么那么Z=g (X,Y)的數(shù)學(xué)期望為：的數(shù)學(xué)期望為： dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(11( ,)iiijijg x yp ( , )( , )d dg x y f x y x y 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),0,1,2, ,kkn knP XkC p qkn解

16、 由于 分布律為分布律為 ( , )XB n p20(e )nkkn knkCpq所以所以 220( )(e)enXkkkn knkE YEC p q2( e)npq其中其中 1pq( )E Y求求2e,XY 例例7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 ，( , )XB n p概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1111222300001( -)()d d(-)d d6x yxyx yxxy xyyx y ,01, 01( , )0,xyxyf x y其它解解 例例8 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 11001()d d3xy xyx y 2()E XY2( -) ( , )d dx yf

17、 x yx y 2(),().E XYE XY求求 ()( , )d dE XYxyf x yx y 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)212001()(1 3)d d4E XYxyxyx y 21(1 3),02, 01( , )40,xyxyf x y其它解 例例9 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 (, )X Y21220014d(1 3)d43xxyy212001( )(1 3)d d4E Yyxyx y 2120015d(13)d48x xyyy22(),( ),(),()E XE YE XYE XY求求 2120011()(1 3)d d44E Xxxyx y 21220015

18、d(13)d46xxyyy概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)21(1 3),02, 01( , )40,xyxyf x y其它例例9 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為 (, )X Y22(),( ),(),()E XE YE XYE XY求求 5()6E XY 解解 5( )8E Y 4()3E X 2122222001()()(1 3)d d4E XYxyxyx y 21213222000011d(1 3)dd(1 3)d44xxyyx xyyy3715概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例10 設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量X (單位：t )是隨機(jī)變量，它服從1200，3000上的均勻分布假設(shè)售出這種

19、農(nóng)產(chǎn)品1t，可賺2萬(wàn)元，但假設(shè)銷售不出去，那么每噸需付倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)每年應(yīng)預(yù)備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤(rùn)?( )Yg X2 ,2(),yXyXyXXy解解 設(shè)每年預(yù)備該種商品設(shè)每年預(yù)備該種商品y t (12003000)y112003000( )18000 xf x，其它300012001(3)d2 d 1800yyxyxy x300012001( )( )d1800E Yg xx2 ,3,yXyXyXy得到平均利潤(rùn)為得到平均利潤(rùn)為那 么 利 潤(rùn)那 么 利 潤(rùn)為為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)()Yg X解解112003000( )18000 xf x，其它300012001(3)d2 d 1800y

20、yxyxy x213(y7200y2160000)180022 ,3,yXyXyXy利潤(rùn)為利潤(rùn)為300012001( )( )d1800E Yg xx得到平均利潤(rùn)為得到平均利潤(rùn)為( )E Y當(dāng)當(dāng)y= 2400時(shí)，時(shí)， 取到最大值，故取到最大值，故每年預(yù)備此種商品每年預(yù)備此種商品2400 t，可使平均，可使平均利潤(rùn)到達(dá)最大利潤(rùn)到達(dá)最大 例10 設(shè)國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口農(nóng)產(chǎn)品的需求量X (單位：t )是隨機(jī)變量，它服從1200，3000上的均勻分布假設(shè)售出這種農(nóng)產(chǎn)品1t，可賺2萬(wàn)元，但假設(shè)銷售不出去，那么每噸需付倉(cāng)庫(kù)保管費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)每年應(yīng)預(yù)備多少噸產(chǎn)品才可得到最大利潤(rùn)?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)證證

21、可將可將C看成離散型隨機(jī)變量，分布律為看成離散型隨機(jī)變量，分布律為 PX=C=1，故由定，故由定義即得義即得E(C)=C.2 . 設(shè)設(shè) C 為 常 數(shù) ，為 常 數(shù) ， X 為 隨 機(jī) 變 量 ， 那 么 有為 隨 機(jī) 變 量 ， 那 么 有E(CX)=CE(X)證證 設(shè)設(shè)X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ，那么，那么有有( )f x( )dCxf xx()( )dE CXCxfxx().CE X 3. 設(shè) 為恣意兩個(gè)隨機(jī)變量，都有 ()()( )E XYE XE Y,X Y1. 設(shè)設(shè)C為常數(shù)，那么有為常數(shù)，那么有E(C)=C 4. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 3. 設(shè) X, Y

22、為恣意兩個(gè)隨機(jī)變量，都有 ()()( )E XYE XE Y證證 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 (X, Y) 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為( ,),fx y()()( , )d dE XYxy f x yx y ( , )d dxf x yx y 邊緣密度函數(shù)分別為邊緣密度函數(shù)分別為()() ,XYfxfy和和 那那么么( )dXxfxx( ,)d dyfx yx y( )dYyfyy()( )E XE Y推行到恣意有限多個(gè)隨機(jī)變量之和的情形，有推行到恣意有限多個(gè)隨機(jī)變量之和的情形，有 1212()()()()nnE XXXE XE XE X112211222()()()()nnnE k Xk X

23、k Xk E Xk E Xk E X 4. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)( )( )d dXYxyfx fyx y ( )d( )dXYxfxxyfyy4. 設(shè)設(shè)X, Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，那為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么有么有()()( )E XYE X E Y( , )( )( )XYf x yfx fy()( , )d dE XYxyf x yx y 證 由于X與Y相互獨(dú)立，故其結(jié)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)滿足 推行到恣意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情形，有推行到恣意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情形，有 所以所以 1212()() ()()nnE X XXE X E

24、XE X() ( )E X E Y概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)解解 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 例例11 一民航機(jī)場(chǎng)的送客班車載有一民航機(jī)場(chǎng)的送客班車載有20位旅客，自機(jī)場(chǎng)開出，沿位旅客，自機(jī)場(chǎng)開出，沿途旅客有途旅客有10個(gè)車站可以下車如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車班個(gè)車站可以下車如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車班車就不停設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等能夠的車就不停設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等能夠的P0.9，且各旅客能否下車相互獨(dú)立，以且各旅客能否下車相互獨(dú)立，以X表示停車的次數(shù)，求表示停車的次數(shù)，求 E(X)1012XXXXi=1,2,10個(gè)車站無(wú)人下車第個(gè)車站有人下車第iiXi010.9, 0iX 由題意，任一旅客在第

25、由題意，任一旅客在第i個(gè)車站不下車的概率為個(gè)車站不下車的概率為 表示第表示第i站沒有旅客下車，故站沒有旅客下車，故20位旅客都不在第位旅客都不在第i站下車的概站下車的概率為，在第率為，在第i站有人下車的概率為，于是得的分布律如下：站有人下車的概率為，于是得的分布律如下： Xi 0 1 P 0.920 1-0.920概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例例11 一民航機(jī)場(chǎng)的送客班車載有一民航機(jī)場(chǎng)的送客班車載有20位旅客，自機(jī)場(chǎng)開出，沿位旅客，自機(jī)場(chǎng)開出，沿途旅客有途旅客有10個(gè)車站可以下車如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車班個(gè)車站可以下車如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車班車就不停設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等能夠的車就不停設(shè)每位

26、旅客在各個(gè)車站下車是等能夠的P0.9， 且各旅客能否下車相互獨(dú)立，以且各旅客能否下車相互獨(dú)立，以X表示停車的次數(shù)，求表示停車的次數(shù)，求E(X) 解解 隨機(jī)變量隨機(jī)變量1012XXXX2020()0 0.91 (1 0.9 )iE X Xi 0 1 P 0.920 1-0.920=10.920 1210()()E XE XXX1210()()()E XE XE X2010 (1 0.9 )8.8這闡明班車平均停車約這闡明班車平均停車約9次次 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1133111()(1-)d d4E Xxx yxyx y 331(1)1,1( , )40 x yxyxyf x y，其它解解 例例12

27、設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 (, )X Y1133111(1-)d d4xyx yxyx y 1421122()d435xxx1531122041515xx()()( )E XYE X E Y實(shí)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)證 ，但，但X和和Y是不獨(dú)立的是不獨(dú)立的()( , )d dE XYxyf x yx y 1112 d04x x1133111( )(1-)d d4E Yyx yxyx y 1112 d04y y概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)331(1)1,1( , )40 x yxyxyf x y，其它解解例例12 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 (, )X Y()()(

28、 )E XYE X E Y實(shí)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)證 ，但，但X和和Y是不獨(dú)立的是不獨(dú)立的()()( )0E XYE XE Y所以所以()()( )0E XYE X E YX的邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù)1331( )( ,)d11(1-)d42Xfxfx yyx yxyy111()20Yyfy，其 它111( )20Xxfx，其 它同理可得同理可得Y的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為 顯然有顯然有 ，故，故X和和Y是不獨(dú)立的是不獨(dú)立的( , )( )( )XYf x yfx fy概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(1)()()(kkkpxgXgEYEdxxfxgXgEYE)()()()(

29、 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(1.離散型2.延續(xù)型3.Y= g(X)4.Y=g(X, Y)小小 結(jié)結(jié)ijjijipyxgYXgEZE),(),()(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 由第一節(jié)我們知道，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望由第一節(jié)我們知道，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望可以反映變量取值的平均程度，但僅用數(shù)學(xué)期可以反映變量取值的平均程度，但僅用數(shù)學(xué)期望描畫一個(gè)變量的取值情況是遠(yuǎn)不夠的。我們望描畫一個(gè)變量的取值情況是遠(yuǎn)不夠的。我們?nèi)杂妙愃朴诘谝还?jié)中的例子來(lái)闡明。仍用類似于第一節(jié)中的例子來(lái)闡明。 假設(shè)甲乙兩射手各發(fā)十槍，擊中目的靶的假設(shè)甲乙兩射手各發(fā)十槍，擊中目的靶的環(huán)數(shù)分別為環(huán)數(shù)分別為4.2隨機(jī)變量的方

30、差隨機(jī)變量的方差概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 容易算得，二人擊中環(huán)數(shù)的平均值都是容易算得，二人擊中環(huán)數(shù)的平均值都是8.8環(huán)，現(xiàn)問(wèn)，甲、乙二人哪一個(gè)程度發(fā)揚(yáng)的環(huán)，現(xiàn)問(wèn)，甲、乙二人哪一個(gè)程度發(fā)揚(yáng)的更穩(wěn)定？更穩(wěn)定？甲甲 9 8 10 8 9 8 8 9 10 9乙乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 直觀的了解，二選手中哪一個(gè)擊中的環(huán)直觀的了解，二選手中哪一個(gè)擊中的環(huán)數(shù)偏離平均值越少，這個(gè)選手發(fā)揚(yáng)的更穩(wěn)定數(shù)偏離平均值越少，這個(gè)選手發(fā)揚(yáng)的更穩(wěn)定概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一些。為此我們利用二人每槍擊中的環(huán)數(shù)距一些。為此我們利用二人每槍擊中的環(huán)數(shù)距平均值的偏向的均值來(lái)比較。為了防止偏向平均值的偏向的均值來(lái)比較。為

31、了防止偏向 和的計(jì)算中出現(xiàn)正、負(fù)偏向相抵的情況，應(yīng)和的計(jì)算中出現(xiàn)正、負(fù)偏向相抵的情況，應(yīng)由偏向的絕對(duì)值之和求平均更適宜。由偏向的絕對(duì)值之和求平均更適宜。對(duì)于甲選手，偏向絕對(duì)值之和為：對(duì)于甲選手，偏向絕對(duì)值之和為：4 . 68 . 898 . 8108 . 888 . 89 8 .108 . 8108 . 898 . 878 . 86 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 所以甲、乙二人平均每槍偏離平均值為所以甲、乙二人平均每槍偏離平均值為0.64 環(huán)和環(huán)和 1.08 環(huán)，因此可以說(shuō)，甲選手程度環(huán)，因此可以說(shuō)，甲選手程度發(fā)揚(yáng)更穩(wěn)定些。發(fā)揚(yáng)更穩(wěn)定些。 類似的，為了防止運(yùn)算式中出現(xiàn)絕對(duì)值類似的，為了防止運(yùn)算式中出現(xiàn)絕對(duì)

32、值符號(hào)。我們也可以采用偏向平方的平均值進(jìn)符號(hào)。我們也可以采用偏向平方的平均值進(jìn)展比較。展比較。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)定義定義(離差離差):設(shè)設(shè)X為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量,EX存在存在,稱稱X-EX為離差為離差;顯然：E(X-EX)=0.定義定義(方差方差):設(shè)設(shè)X為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量,EX存在存在,且且E(X-EX)2存在存在,那么稱那么稱E(X-EX)2 為為X的方差的方差,記為記為:DX= E(X-EX)2特別,記 x=DX留意留意:方差反映了隨機(jī)變量相對(duì)其均值的偏離程度方差反映了隨機(jī)變量相對(duì)其均值的偏離程度.結(jié)合隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望可得:(1)假設(shè)P(X=xn)=pn,n=1,2,.,那么DX=

33、 E(X-EX)2nn2np)EXx(2)假設(shè)X為延續(xù)型,Xf(x),那么 DX= E(X-EX)2dx)x( f)EXx(2 隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的方差1122112212()()()() =()()0nnnnnE XEXxu pxu pxu px px px pu pppuu()() ( )( )( ) 0E XEXxu f x dxxf x dxuf x dxuu為X的規(guī)范差.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)NoImageNoImageNoImageNoImage假設(shè)假設(shè)X的取值比較分散，那么方差較的取值比較分散，那么方差較大大 .假設(shè)方差假設(shè)方差D(X)=0,那么那么r.v. X 以概率以概率1取常

34、數(shù)取常數(shù)值值 . 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度望的離散程度 .假設(shè)假設(shè)X的取值比較集中，那么方差較??；的取值比較集中，那么方差較??；D(X)=EX-E(X)2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方差的性質(zhì)方差的性質(zhì):(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2證明:(2)D(aX)=EaX -E(aX)2=Ea(X-EX)2=a2E(X-EX)2 =a2D(X)(4)DX= E(X-EX)2 =EX2-2X(EX)+(EX)2=EX2-E2X(EX)+E(EX)2=EX2-2(EX)(EX)+(EX

35、)2=EX2-(EX)2EX2 = DX +(EX)2(常用于計(jì)算方差)(注:EX是常數(shù))2(3) ()()()D XbEXbE Xb2E XbEXb2E XEXDX(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 從而從而 ,E XYE XE Y 22YXEYXEYXD 2222YEXEYXYXE 2222XEYEXYEXE 22YEYEXE 2222YEXEYEXE 2222YEYEXEXE YDXD 證明： 假設(shè)X與Y相互獨(dú)立,那么知 (5)XY D XYD XD Y若 與 相互獨(dú)立，則；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)性質(zhì)性質(zhì) 5

36、可以推行到多個(gè)相互獨(dú)立的可以推行到多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情形。例如，當(dāng)隨機(jī)變量的情形。例如，當(dāng) 相互相互獨(dú)立時(shí)，成立獨(dú)立時(shí)，成立 321XXX、 123123.D XXXD XD XD X 222123123.D aXbXcXa D Xb D Xc D X 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例例1 對(duì)服從對(duì)服從01分布的隨機(jī)變量分布的隨機(jī)變量 X ，分布列為，分布列為10XppPk 1求求 X 的方差。的方差。知知 而且而且 , pXE ,101222pppXE 那么那么 X 的方差為的方差為解解 22XEXEXD .12pppp 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 由上節(jié)中的例由上節(jié)中的例14 知知 其中其中 服從同一服從

37、同一01分布：分布：,1 niiXXiX , 2 , 1,1,10nipXPpXPii 且且 相互獨(dú)立。又由本節(jié)例相互獨(dú)立。又由本節(jié)例 1 有有 于是可得：于是可得：nXXX,21 , 2 , 1,1nippXDi niiniiXDXDXD11解解例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布 ， 試求試求 .XD pnB, pnp 1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例例 知隨機(jī)變量知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，服從二項(xiàng)分布， 且且EX= 2.4, D(X)=1.44, 那么二項(xiàng)分布的那么二項(xiàng)分布的參參 數(shù)數(shù)n,p的值為的值為 n=4,p=0.6 n=6, p=0.4 n=8,p=0.3 n=24,p

38、=0.1例設(shè)例設(shè)X表示表示 10次獨(dú)立反復(fù)射擊命中次獨(dú)立反復(fù)射擊命中 目的的次數(shù)目的的次數(shù),每每 次射中目的的概率為次射中目的的概率為0.4,那么那么X2 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望EX2=( ) 18.4概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例例3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松的泊松分布，求分布，求 .XD在本章第一節(jié)的例中我們?cè)?jīng)知道在本章第一節(jié)的例中我們?cè)?jīng)知道 ,22 XEXE從而從而 22XEXEXD 22解解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例例4 對(duì)服從對(duì)服從a，b區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)變量變量X ，計(jì)算，計(jì)算 .XD知知 ，且，且 baXE 21 dxxfxXE 22 ,31

39、1222babadxabxba 解解從而從而 22XEXEXD .12141312222abbababa 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)幾何分布幾何分布而：而：所以：所以：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)f(x)x0小小EX= ，DX=2正態(tài)分布期望和方差正態(tài)分布期望和方差概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例例5 知知 求求 ,2 NX .XD由方差的定義可得由方差的定義可得 dxeXExXDx222221 解解 ,212222 dxexx 作代換作代換 那么那么, xt dtetXDt22222 .2222222 dtetett222)(2tedt 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)求求EX和和DX.,e)x(f1x2x12練習(xí)：練習(xí)： 設(shè)設(shè)X的密度的密度

40、 函數(shù)為函數(shù)為2 22 22 22 2) )( (x x1 12 2x xx x, ,2 2 解得解得:EX=1,DX=2=1/2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)練習(xí):1.X,Y獨(dú)立獨(dú)立,DX=6,DY=3,那么那么D(2X-Y)=( ).2.XN(3,1),YN(2,4),X,Y獨(dú)立獨(dú)立,那么那么X-2Y+1( ).3.XP(2),YN(-2,4),X,Y獨(dú)立獨(dú)立,Z=X-Y,那么那么EZ=( ); 假設(shè)假設(shè)X,Y獨(dú)立獨(dú)立,那么那么EZ2=( ).解解:(1)D(2X-Y)=D(2X)+DY=4DX+DY=27(2)E(X-2Y+1)=EX-2EY+1=0,D(X-2Y+1)=DX+4DY=17所以所以

41、,X-2Y+1N(0,17)(3)EZ=EX-EY=4, EZ2=E(X2+Y2-2XY)=EX2+EY22EXEY=6+8+8=22或或EZ2=DZ+(EZ)2=6+16=2227N(0,17)4 22概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例例6.設(shè)設(shè)X其它02x1x21x0 x)x(f,求求EX,DX.解解:(1)EX=dx)x(xf2110dx)x2( xxdxx12)x31x(01x31323=1(2)E(X2)=dx)x(fx2212103dx)x2(xdxx=7/6所以所以, DX=EX2-(EX)2 =7/6-1=1/6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)：練習(xí)： 設(shè)設(shè)X是一隨機(jī)變量，是一隨機(jī)變量，E(X)=，D(X

42、)=2(,0常數(shù)常數(shù))， 那么對(duì)恣意常數(shù)那么對(duì)恣意常數(shù)C，必有，必有 。)X(E)CX(E)4()X(E)CX(E)3()X(E)CX(E)2(C)X(E)CX(E)1(222222222解解:E(X-C)2=EX2-2CX+C2=EX2-E(2CX)+C2=EX2-2C E( X)+C2=(EX)2+DX -2C E( X)+C2=2+ 2-2C+C2= 2+(-C)2而而E(X-)2=E(X-EX)2=DX= 2所以所以,(4)正確正確.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 例例7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的期望的期望EX和方差和方差DX 都存在，那么稱都存在，那么稱 XDXEXX *為為 X 的規(guī)范化隨機(jī)

43、變量，試求的規(guī)范化隨機(jī)變量，試求 和和 XE XD XDXEXEXE* 留意到留意到 均為常數(shù)，再由期望均為常數(shù)，再由期望及方差的性質(zhì)可得：及方差的性質(zhì)可得： XDXE、解解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) . 111 XDXDXEXDXDXDXEXDXD ; 01 XEXEXD 可見，規(guī)范化隨機(jī)變量的期望是可見，規(guī)范化隨機(jī)變量的期望是 0 ，方差，方差是是1 。因此，把隨機(jī)變量規(guī)范化，可以使所討。因此，把隨機(jī)變量規(guī)范化，可以使所討概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)論的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單，這種處置問(wèn)題的方法在論的問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單，這種處置問(wèn)題的方法在概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中時(shí)有運(yùn)用。例如，隨機(jī)變量概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中時(shí)有運(yùn)用。例如，隨機(jī)變量 X

44、 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 把把 X 規(guī)范化規(guī)范化 那么那么 服從規(guī)范正態(tài)分布服從規(guī)范正態(tài)分布 ,于是要求于是要求 X 落入某一區(qū)間的概率，只需由規(guī)范正態(tài)分布落入某一區(qū)間的概率，只需由規(guī)范正態(tài)分布表查出表查出 落入相應(yīng)區(qū)間的概率即可，這一作落入相應(yīng)區(qū)間的概率即可，這一作法是我們?cè)缫咽熘⒁讯嗌龠\(yùn)用過(guò)的。法是我們?cè)缫咽熘⒁讯嗌龠\(yùn)用過(guò)的。 2, N, XX*X 1 ,0N X概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1. 設(shè)設(shè)他其,010,101,1)(xxxxxfX那么方差D(X)=( )。2.隨機(jī)變量隨機(jī)變量X只取只取-1,0,1三個(gè)值三個(gè)值,且相應(yīng)概率比為且相應(yīng)概率比為1:2:2,又又Y=X2,求求(1)EX, (

45、2)DX, (3)EY, (4)DY.課堂練習(xí)課堂練習(xí)3.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)0110(2) ()(1)(1)0E Xxx dxxx dx解：61)1 ()1 ()(1020122dxxxdxxxXE61)(XD概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)冊(cè)練習(xí)冊(cè) 6某種產(chǎn)品外表上的疵點(diǎn)數(shù)服從泊松分布某種產(chǎn)品外表上的疵點(diǎn)數(shù)服從泊松分布,平均一個(gè)上平均一個(gè)上 有有0.8個(gè)疵點(diǎn)個(gè)疵點(diǎn),假設(shè)規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超越假設(shè)規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超越1個(gè)為一等品個(gè)為一等品,價(jià)值價(jià)值 10元元;疵點(diǎn)數(shù)大于疵點(diǎn)數(shù)大于1個(gè)不多余個(gè)不多余4個(gè)為二等品個(gè)為二等品,價(jià)值價(jià)值8元元; 4個(gè)以上者為廢品個(gè)以上者為廢品,求產(chǎn)品為廢品的概率以及產(chǎn)品的求產(chǎn)品為廢品的概率以

46、及產(chǎn)品的 平均價(jià)值平均價(jià)值.解：設(shè) X-疵點(diǎn)數(shù), Y-產(chǎn)品價(jià)值.那么：EX=0.810, 18, 140, 4XYXX40.80(4)1(4)0.81!kkP XP Xek 140.80.8020.80.81089.61!kkkkEYeekk概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2在長(zhǎng)為在長(zhǎng)為 的線段上任取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的間隔的的線段上任取兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的間隔的 數(shù)學(xué)期望和方差。數(shù)學(xué)期望和方差。a綜合練習(xí)題綜合練習(xí)題 三、計(jì)算題三、計(jì)算題 解：設(shè)所取兩點(diǎn)分別為解：設(shè)所取兩點(diǎn)分別為X,Y.那么那么10 ( )0ax aXf x 其 它10 ( )0ay aYf y 其 它又 X,Y相互獨(dú)立，故210,

47、0( , )( ) ( )0XaYaf x yf x f ya其它概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) (,)( ,)( ,)E g X Yg x y f x y dxdy 由：，得 dxdy)y, x(f|yx|YX|Ea0a02dxdya1|yx|1S2dxdya1|yx|2S2dxdya1|yx|y=xXY0 x-y0 x-y0S1S2a0 x02dya1)yx(dx23a22|( , )E XYxyf x y dxdy 又：220 01|a axydxdya概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)222001()6aaadxxydya22222() ( )6318D XYE XYE XYaaa概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1. 協(xié)方差與相關(guān)系

48、數(shù)的概念協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念2. 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì) 3. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)4.3 4.3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù). 小結(jié)小結(jié)4. 矩的概念矩的概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(1) 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 那那么么相相互互獨(dú)獨(dú)立立和和若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量,YX).()()(YDXDYXD 不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 協(xié)方差協(xié)方差1. 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)).()(),ov(C),Cov(.)()(YEYXEXEYXYXYXY

49、EYXEXE 即即記為記為的協(xié)方差的協(xié)方差與與為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量稱稱(2) 定義定義.)0)(, 0)()()(),Cov(的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)與與為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量稱稱YXYDXDYDXDYXXY ),(2)()()(YXCovYDXDYXD 于是有于是有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì))()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX)3(),(2)()()(YXCovYDXDYXD ).()(YDXD 相互獨(dú)立相互獨(dú)立和和若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量YX)2(3) 闡明闡明 .,)1(個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)量量綱綱的的量量它它是是一一協(xié)協(xié)方方差差的的相相

50、關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)又又稱稱為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)和和YX概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(4) 協(xié)方差的計(jì)算公式協(xié)方差的計(jì)算公式);()()(),Cov(YEXEXYEYX 證明證明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì));(),Cov();,Cov(),Cov()1(XDXXXYYX ;, , ),Cov(),Cov()2(為為常常數(shù)數(shù)baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov()3(2121YXYXYXX 2. 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)例例1 1

51、 設(shè)隨即變量設(shè)隨即變量(X,Y)(X,Y)具有概率密度具有概率密度其中區(qū)域其中區(qū)域 G G 由曲線由曲線 與與 圍成圍成. .求求 ，,G,x,y,yxf其他0)(3),(2xy 2yx ).(,),(YXDYXCovXY xyGO2yx 2xy ,20/93)(102 xxxdydxXE解解：,20/93)(102 xxydydxYE, 4/13)(102 xxxydydxXYE概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),35/93)(10222 xxdydxyYE,2800/153)20/9(35/92 ,2800/153)()( XDYD22)()()(XEXEXD ,0475. 0400/19)()()(),C

52、ov( YEXEXYEYX,87. 0)()(),Cov( YDXDYXXY)(YXD .2043. 0),(Cov2)()( YXYDXD,35/93)(10222 xxdydxxXExyGO2yx 2xy 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(1) 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出?,衡量衡量接近的程度又應(yīng)如何來(lái)接近的程度又應(yīng)如何來(lái)最接近最接近可使可使應(yīng)如何選擇應(yīng)如何選擇問(wèn)問(wèn)YbaXba )(2bXaYEe 設(shè)設(shè).的的好好壞壞程程度度近近似似表表達(dá)達(dá)可可用用來(lái)來(lái)衡衡量量則則YbXae .,的的近近似似程程度度越越好好與與表表示示的的值值越越小小當(dāng)當(dāng)YbXae .,達(dá)到最小達(dá)到最小使使的值的值確定確定eba3. 相關(guān)系數(shù)的

53、性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)).(2)(2)(2)()(2222YaEXabEXYbEaXEbYE 得得并并令令它它們們等等于于零零求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)分分別別關(guān)關(guān)于于將將,bae . 0)(2)(2)(2, 0)(2)(222XaEXYEXbEbeYEXbEaae解得解得,)(),Cov(0XDYXb .)(),Cov()()(0XDYXXEYEa )(2bXaYEe 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)得得中中代代入入將將,)(,200bXaYEeba )(min2,bXaYEeba ).()1(2YDXY (2) 相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)的意義.,系較緊密系較緊密的線性關(guān)系聯(lián)的線性關(guān)系聯(lián)表明表明較小較小較大

54、時(shí)較大時(shí)當(dāng)當(dāng)YXeXY.,0.,線線性性相相關(guān)關(guān)的的程程度度最最差差時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)線線性性相相關(guān)關(guān)的的程程度度較較差差較較小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)YXYXXYXY .,0不相關(guān)不相關(guān)YXXY和和稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)定義定義 )(200XbaYE 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 1)1 XY. 1,:1)2 bXaYPbaXY使使存在常數(shù)存在常數(shù)的充要條件是的充要條件是證明證明)(min)12,bXaYEeba )()1(2YDXY 0 012 XY. 1 XY(3) (3) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì). 1,1)2 bXaYPbaXY使使存在常數(shù)存在常數(shù)的充要條件是的充要條件是1, XY事事實(shí)實(shí)上上20000200)()( )(0XbaYEXbaYDXbaYE , 0)(00 XbaYD. 0)(00 XbaYE由方差性質(zhì)知由方差性質(zhì)知. 100 XbaYP或或0)(200 XbaYE, 10)(00 XbaYP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)使使若若存存在在常常數(shù)數(shù)反反之之 ba ,1 XbaYP. 0)(2 XbaYE)(min2,bXaYEba )(200XbaYE )()1(2YDXY . 1 XY,