第二章第二節(jié) 行列式性質(zhì)

1、數(shù)數(shù)=線線性性代代 一般地一般地, ,按照行列式的遞推按照行列式的遞推( (歸歸) )定義來計(jì)算定義來計(jì)算n n階行列式階行列式, ,通常是很繁瑣的通常是很繁瑣的. .因此我們有必要來研究行列式的性質(zhì)因此我們有必要來研究行列式的性質(zhì), ,利用利用這一些性質(zhì)可使行列式的計(jì)算簡(jiǎn)化這一些性質(zhì)可使行列式的計(jì)算簡(jiǎn)化. .行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)記111211121121222122221212,nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaannnnn D 我們稱D 為行列式D 的轉(zhuǎn)置行列式 顯然D 是行列式D 的行與列互換之后所得的行列式.性質(zhì)性質(zhì) 1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與

2、它的轉(zhuǎn)置行列式相等意義意義 ： 行列式中的行與列具有同等的地位；行列式中的行與列具有同等的地位；數(shù)數(shù)=線線性性代代.例如例如12311011222131101122 證明思想證明思想 ：仍然是從定義出發(fā)證，祥略。仍然是從定義出發(fā)證，祥略。如果行列式有兩行（列）完全相同，則此如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零行列式為零. . 為什么？為什么？.例如例如性質(zhì)性質(zhì) 2將行列式的兩行將行列式的兩行(列列)對(duì)調(diào)對(duì)調(diào),行列式變號(hào)行列式變號(hào)推論推論數(shù)數(shù)=線線性性代代2性質(zhì) 可表示為1112111121121212121212nniiinjjjnjjjniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaa

3、aaaaaaaaaaaaaa 性質(zhì)性質(zhì) 3(展開法則展開法則)行列式等于它的任意一行行列式等于它的任意一行(列列)中所中所有元素與它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和有元素與它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即即1,nnikikkDa A或1nnkjkjkDa A數(shù)數(shù)=線線性性代代推論推論行列式中任一行行列式中任一行(列列)中元素與另一行中元素與另一行(列列)對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零代數(shù)余子式乘積之和等于零,即即112210nikjkijijinjnka Aa Aa Aa A112210 ()nkikjijijninjka Aa Aa Aa Aij ()ij證證:由性質(zhì)由性質(zhì)3按第按第

4、j行展開得到行展開得到1112112112212120niiinijijinjniiinnnnnaaaaaaa Aa Aa Aaaaaaarirj數(shù)數(shù)=線線性性代代推論推論行列式中任一行行列式中任一行(列列)中元素與另一行中元素與另一行(列列)對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零代數(shù)余子式乘積之和等于零,即即112210nikjkijijinjnka Aa Aa Aa A112210 ()nkikjijijninjka Aa Aa Aa Aij ()ij證證:由性質(zhì)由性質(zhì)3按第按第j行展開得到行展開得到1112112112212120niiinijijinjniiinnnnnaaaaa

5、aa Aa Aa Aaaaaaarirj數(shù)數(shù)=線線性性代代性質(zhì)性質(zhì) 4行列式的某一行行列式的某一行(列列)元素的公因子可提到行列式元素的公因子可提到行列式外面外面,即即111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa12311011228162411011212311011281628例如:數(shù)數(shù)=線線性性代代證證: :11121111211212111212nnnniiinikikikikiiinllnnnnnnnnaaaaaakakakaka Aka Ak aaaaaaaaa推論推論 行列式的某一行行列式的某一行(列列)元

6、素的全為零元素的全為零,則此行列式為零則此行列式為零.行列式的某兩行行列式的某兩行(列列)對(duì)應(yīng)元素成比例對(duì)應(yīng)元素成比例,則此行列式為零則此行列式為零.推論推論 數(shù)數(shù)=線線性性代代性質(zhì)性質(zhì)5若行列式的第若行列式的第i行行(列列)元素的每一個(gè)元素都可以表示元素的每一個(gè)元素都可以表示為兩數(shù)的和為兩數(shù)的和,則該行列式可以表示為兩行列式之和則該行列式可以表示為兩行列式之和,即即11121111211112111221212121212nnniiiiininiiiniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaabababaaabbbaaaaaaaaa:ijijijijijijijaAa AAnnnj

7、=1j=1j=1 左邊=(+b )b右邊證01511011211011211) 1(223這這并不是唯一的并不是唯一的分拆方法！分拆方法！12311011211211011220數(shù)數(shù)=線線性性代代性質(zhì)性質(zhì)6把行列式的第把行列式的第j行行(列列)元素的元素的k倍加到第倍加到第i行行(列列)的對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)元素上元素上,行列式的值不變行列式的值不變.例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 0112110212102110D)(jijiccrr)(kckrii 運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算符號(hào) ： 交換行列式兩行（列），記作交換行列式兩行（列），記作 行列式第行列式第i i行（列）乘以數(shù)行（列）乘以數(shù)k k，記作記作 以數(shù)以數(shù)k

8、k乘行列式第乘行列式第i i行（列）加到第行（列）加到第j j行（列）上，記作行（列）上，記作)(ijijkcckrr110211021102011201120112121001120024211003140022D 數(shù)數(shù)=線線性性代代110201121 ( 1) ( 2) ( 2)400240002 例例 求求 證證121234112311122( 1)1131211nnnnnxnDxxxnxxxxxx 數(shù)數(shù)=線線性性代代111201111 11111101111 11111100111 10111100011 1( 1)001110000110001111000010000100( 1)(

9、 1)0010000011nnnnnxxxxxDxxxxxxxxxxxxxxx 證證: : 第二行乘以第二行乘以-1-1加到第一行上加到第一行上, ,第三行乘以第三行乘以-1-1加到第二行上加到第二行上, ,第四行乘以第四行乘以-1-1加到第三行上，依次之，直到第加到第三行上，依次之，直到第n n行乘以行乘以-1-1加到第加到第n-1n-1行上行上. .可得可得數(shù)數(shù)=線線性性代代例例 計(jì)算行列式計(jì)算行列式122222222232222Dn解解: : 第二行乘以第二行乘以-1-1加到其它各行上去可得加到其它各行上去可得10002222222010( 1)00100020002Dnn =-2 (n

10、-2)!數(shù)數(shù)=線線性性代代例例 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將將第第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2數(shù)數(shù)=線線性性代代 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna數(shù)數(shù)=線線性性代代例例 當(dāng)當(dāng)(1,2, ),ixa in時(shí) 計(jì)算行列式123naxxxxaxxDxxaxxxxa解解: : 第一行乘以第一行乘以-1-1加到其它各行上去可得加到其它各行上去可得1112312131112311100110000(

11、)101000100110100()(1)()00100001nniinniinnnniiiiiiaxxxaxxxaxaxaxaxxaaxDxaaxaxxaaxxxxxaxaxaxaxxaxaxax數(shù)數(shù)=線線性性代代例例 計(jì)算計(jì)算2n階行列式階行列式2000nababDcdcd解解 按第一行展開按第一行展開, ,有有21200000000( 1)0000000nnababababDabcdcdcdcddc再對(duì)兩個(gè)再對(duì)兩個(gè)(2n-1)階行列式各按最后一行展開階行列式各按最后一行展開,得得(21) 122(1)2(1)2(1)( 1)()nnnnnDadDbcDadbc D2112(2)2()()

12、()()nnnnabadbcDadbcDadbcadbccd數(shù)數(shù)=線線性性代代例例 計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式210000121000012000000210000121000012nD 210000210000121000121000012000012000000210000210000120000121000011000011nD 解解: 將最后一列寫成兩數(shù)之和的形式將最后一列寫成兩數(shù)之和的形式,再由行列式的性質(zhì)再由行列式的性質(zhì)5可得可得數(shù)數(shù)=線線性性代代由觀察可知由觀察可知,上式右端第一個(gè)行列式按最后一列展開得上式右端第一個(gè)行列式按最后一列展開得Dn-1,而第而第二個(gè)行列式從最后一行開始

13、二個(gè)行列式從最后一行開始,每后一行乘以每后一行乘以(-1)加到相鄰的前一加到相鄰的前一行上行上,就變?yōu)橄氯切尉妥優(yōu)橄氯切?其值為其值為1,故得故得1122321.1(1) 12321(2)(2)112nnnnnnnDDDDDDDDnnn 于是由遞推公式得= 例例 證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式123222212123111111231111( ,)()nnnnijj i nnnnnnxxxxD x xxxxxxxxxxxx 數(shù)數(shù)=線線性性代代證證: 將第將第n-1行乘以行乘以(-x1)加到第加到第n行行,將第將第n-2行乘以行乘以(-x1)加到第加到第n-1

14、行行,這樣依次下去這樣依次下去,最后將第最后將第1行乘以行乘以(-x1)加到第加到第2行行,得得21311122213311222221331111110( ,)0()()()0()()()nnnnnnnnnnxxxxxxD x xxx xxx xxxxxxxxxxxxxx按第一列展開按第一列展開,并提出每一列的公因子并提出每一列的公因子(xi -x1)(i=1,2,n),得遞推得遞推公式公式:234222212213112342222234213111232113222341111( ,)()()()()()()(,)()()()()(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxD x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Dx xxxxxxxxxxDx xx = = =數(shù)數(shù)=線線性性代代211322122212113221221211322122()()()()()()(,)11()()()()()()()()()()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD xxxxx