激光原理與技術(shù)(第二章1)

1、上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)激激 光光 原原 理理第二章 開放式光腔與高斯光束中南大學(xué)物理與電子學(xué)院中南大學(xué)物理與電子學(xué)院上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)光腔高斯光束模式構(gòu)成；分類；損耗；ABCD矩陣及應(yīng)用；穩(wěn)定條件數(shù)學(xué)解法；模式特性（場(chǎng)分布、諧振頻率、等相位面、衍射損耗等）高斯光束特性及在實(shí)際中的應(yīng)用內(nèi)容內(nèi)容自由空間、透鏡（球面反射鏡）、平面介電界面、球自由空間、透鏡（球面反射鏡）、平面介電界面、球面鏡諧振腔面鏡諧振腔上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)2.1 l諧振腔的作用諧振腔的作用l無源諧振腔無源諧振腔l理論依據(jù)理論依據(jù)l開放

2、式光腔開放式光腔l開腔的分類開腔的分類l光腔的損耗光腔的損耗一、概述一、概述上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)諧振腔的作用諧振腔的作用l提供軸向光波模的正反饋提供軸向光波模的正反饋l控制腔內(nèi)振蕩光束的特性控制腔內(nèi)振蕩光束的特性直接控制光束的橫向分布特性、光斑大小、諧振頻率直接控制光束的橫向分布特性、光斑大小、諧振頻率及光束發(fā)散角等及光束發(fā)散角等上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)無源諧振腔無源諧振腔l不考慮腔內(nèi)激活介質(zhì)的影響不考慮腔內(nèi)激活介質(zhì)的影響l無源腔的模式可以作為具有激活物質(zhì)腔（有源腔）的激光模無源腔的模式可以作為具有激活物質(zhì)腔（有源腔）的激光模式的良好

3、近似式的良好近似l激活介質(zhì)的作用主要是補(bǔ)充腔內(nèi)電磁場(chǎng)在振蕩過程中的能量激活介質(zhì)的作用主要是補(bǔ)充腔內(nèi)電磁場(chǎng)在振蕩過程中的能量損耗，使之滿足閾值條件；損耗，使之滿足閾值條件；激活介質(zhì)對(duì)場(chǎng)的空間分布和振蕩頻激活介質(zhì)對(duì)場(chǎng)的空間分布和振蕩頻率的影響是次要的，不會(huì)使模式發(fā)生本質(zhì)的變化率的影響是次要的，不會(huì)使模式發(fā)生本質(zhì)的變化上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)采用的理論采用的理論l衍射光學(xué)理論衍射光學(xué)理論衍射明顯衍射明顯, 模式的精細(xì)描述模式的精細(xì)描述不同模式按不同模式按 場(chǎng)分布場(chǎng)分布,損耗損耗,諧振頻率諧振頻率 來區(qū)分來區(qū)分l幾何光學(xué)理論幾何光學(xué)理論忽略反射鏡邊緣衍射效應(yīng)，忽略反射鏡邊緣

4、衍射效應(yīng)，推導(dǎo)推導(dǎo)腔的穩(wěn)定性條件腔的穩(wěn)定性條件不同模式按不同模式按傳輸方向傳輸方向和和諧振頻率諧振頻率來區(qū)分，粗略、簡單來區(qū)分，粗略、簡單明了明了上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)閉腔開腔氣體波導(dǎo)腔波導(dǎo)管忽略側(cè)面邊界的影響波導(dǎo)管的孔徑比較小，不能忽略側(cè)面邊界的影響光腔的構(gòu)成與分類光腔的構(gòu)成與分類l1l2l3折疊腔折疊腔環(huán)形腔環(huán)形腔光學(xué)諧振腔光學(xué)諧振腔 (Optical Cavity)(Optical Cavity) 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)一、光腔的分類一、光腔的分類按腔的幾何逸出損耗的高低分類:穩(wěn)定腔穩(wěn)定腔,非穩(wěn)定腔非穩(wěn)定腔,臨界腔臨界腔l穩(wěn)定腔

5、：旁軸（傍軸）光線在腔內(nèi)多次往返而不逸出腔外，具有較低的幾何損耗l非穩(wěn)腔：傍軸光線在腔內(nèi)經(jīng)過少數(shù)幾次往返就逸出腔外，具有較高的幾何損耗l臨界腔：性質(zhì)介于穩(wěn)定腔和非穩(wěn)腔之間，只有少數(shù)特定光線能在腔內(nèi)往返傳播上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)諧振腔可以按不同的方法分類：u穩(wěn)定腔、非穩(wěn)定腔、臨界腔u球面腔與非球面腔u高損腔與低損腔u駐波腔與行波腔u兩鏡腔與多鏡腔u簡單腔與復(fù)合腔u端面反饋腔與分布反饋腔本章討論：由兩個(gè)球面鏡構(gòu)成的開放式光學(xué)諧振腔由兩個(gè)球面鏡構(gòu)成的開放式光學(xué)諧振腔 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 二、光腔理論與模式二、光腔理論與模式 （概述） 1

6、. 光腔理論 (激光模式理論) 研究研究模式基本特征及其與腔結(jié)構(gòu)關(guān)系模式基本特征及其與腔結(jié)構(gòu)關(guān)系有限范圍的電磁場(chǎng)分立的本征態(tài)腔內(nèi)存在的場(chǎng)分布 激光模式沿光軸方向（縱向）場(chǎng)分布E(z) 縱模縱模場(chǎng)分布場(chǎng)分布垂直于光軸方向(橫向)場(chǎng)分布E(x,y)橫模橫模 模式主要特征： * 場(chǎng)分布，諧振頻率，往返損耗，發(fā)散角上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)02,2LqcqLqq2220qLqq為整數(shù)L為腔的光學(xué)長度光學(xué)長度， L為腔的幾幾何長度何長度。在整個(gè)腔內(nèi)充滿折射率折射率為為 的均勻物質(zhì)。則：/,0 LLF-P腔中沿軸向傳播的平面波的諧振條件0q為腔的諧振波長腔的諧振波長，q為腔的諧振

7、頻率。諧振頻率是分立的。LqcqLqq2,2q為物質(zhì)中的諧振波長物質(zhì)中的諧振波長(2-1-1)式(2-1-1)又稱為光腔的駐波條件光腔的駐波條件諧振條件（諧振條件（干涉儀理論干涉儀理論） 縱模縱模上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)L 駐波場(chǎng)分布tkzEEsinsin20L波節(jié)波節(jié) 縱模間隔縱模間隔 滿足q的平面駐波場(chǎng)是F-P平行腔的本征模式n特點(diǎn)：腔的橫截面內(nèi)的場(chǎng)分布是均勻的；沿腔的軸線方向（縱向）形成駐波。駐波的波節(jié)數(shù)由q決定。nq所表征的腔內(nèi)縱向場(chǎng)分布為腔的縱模。縱模q單值地決定腔的諧振頻率。LcLcqqq221q與q無關(guān)。 L減小，縱模間距增大上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)

8、上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)腔的縱模在頻率尺度上等距離排列，每一個(gè)縱模均以具有一定寬度c譜線表示。上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)Cavity）1. 幾何偏折損耗幾何偏折損耗：光線在腔內(nèi)往返傳播時(shí)，從腔的側(cè)面偏折逸出的損耗。其大小取決于腔的類型和幾何尺寸。（與腔和腔與腔和腔內(nèi)的模式有關(guān)內(nèi)的模式有關(guān)）2. 衍射損耗衍射損耗：腔的反射鏡片通常有有限大小的小孔有限大小的小孔，所以光在鏡面發(fā)生衍射時(shí)，有一部分能量損失。3. 腔鏡反射不完全引起的損耗腔鏡反射不完全引起的損耗：包括鏡中的吸收、散射以及鏡的透射損耗。通常鏡至少有一個(gè)反射鏡是部分透射的，另一個(gè)通常稱“全反射”鏡，其反射率不可

9、能做到100%。4. 固有損耗固有損耗：激光材料的吸收、散射等引起的損耗。1和2為選擇損耗：不同模式的幾何損耗和衍射損耗各不相同。3和4為非選擇損耗：對(duì)各個(gè)模式大體一樣。光腔的損耗是評(píng)價(jià)諧振腔的一個(gè)重要標(biāo)志。光腔的損耗是評(píng)價(jià)諧振腔的一個(gè)重要標(biāo)志。上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)損耗的參數(shù)損耗的參數(shù)(loss per pass, photon lifetimes, and quality factor Q)1. 1. 平均單程損耗因子平均單程損耗因子 初始光強(qiáng)I0，在腔內(nèi)往返一次后，光強(qiáng)衰減為I1，則20eIIII0ln21如果I代表每一個(gè)引起損耗緣由的損耗因子，則總損耗ii

10、為總損耗因子，為腔中各個(gè)損耗因子的總和。指數(shù)損耗因子上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)r1I0r22101rrII 21ln21rrr 211121rrrreII201透過損耗 (T)21ln21rrT反射損耗反射損耗透射損耗透射損耗上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)百分比損耗因子01021III 腔損耗很小時(shí) 指數(shù)損耗因子與百分比損耗因子2)21(11220200010eIeIIIII201eII損耗的另一種定義損耗的另一種定義 用單程渡越時(shí)光強(qiáng)的平均衰減百分比定義單程損耗因子上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)2. 2. 與腔損耗有關(guān)的參

11、數(shù)與腔損耗有關(guān)的參數(shù) 光子壽命光子壽命R光子(平均)壽命R腔內(nèi)光強(qiáng)衰減到初始值的1/e 所需時(shí)間 根據(jù)定義，如何計(jì)算光子平均壽命mmeII20 RteItI0cLtm2諧振腔光學(xué)長度諧振腔光學(xué)長度LctmeII220=R1cLRmmmeIeII2020cLtm2 eItIttR00I0時(shí)，時(shí)的光強(qiáng)為 R稱為腔的時(shí)間常數(shù)稱為腔的時(shí)間常數(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上式表明R的物理意義經(jīng)過R時(shí)間后，腔內(nèi)光腔衰減為初始值的1/e。而且， R越小，則說明腔的損耗越大，腔內(nèi)光腔衰減的越快。由于腔內(nèi)存在損耗，光場(chǎng)不再為簡諧振動(dòng)，而是振幅隨時(shí)間指數(shù)衰減的阻尼振蕩，其強(qiáng)度按頻率的分布有

12、一寬度證明：證明： R等于光子在腔內(nèi)的平均壽命等于光子在腔內(nèi)的平均壽命Rc21線寬設(shè)t時(shí)刻腔內(nèi)的光子數(shù)密度為NeNNttNR000時(shí)，時(shí)光子數(shù)密度為 vNhtI光在諧振腔中傳播速度光在諧振腔中傳播速度RteNN0由于損耗，腔內(nèi)光子數(shù)密度隨時(shí)間依指數(shù)衰減。上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)t-t+dt 時(shí)間內(nèi)減少的光子數(shù)密度N0個(gè)光子的平均壽命RtRdteNtNtdNNtR000011dteNdNRtR0RNdtdNRteNN001!naxnandxexcLR光子平均壽命取決于諧振腔的損耗 諧振腔損耗越小，腔內(nèi)光子壽命越長 腔內(nèi)有增益介質(zhì)，使諧振腔凈損耗減小，光子壽命變長上海大

13、學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)3、無源諧振腔的、無源諧振腔的Q值值V表示腔內(nèi)振蕩光束的體積腔內(nèi)電磁場(chǎng)的振蕩頻率腔內(nèi)電磁場(chǎng)的振蕩頻率2Q儲(chǔ)存在腔內(nèi)的總能量（x）單位時(shí)間內(nèi)損耗的能量（P）定義定義RcLQ 2dtdNVhPVNhxRteNN0 諧振腔的損耗越小，Q值越高。表示光腔的儲(chǔ)能好，損耗小，腔內(nèi)光子的壽命長。1RQ上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)腔鏡傾斜時(shí)的幾何損耗腔鏡傾斜時(shí)的幾何損耗腔鏡傾斜時(shí)的損耗DmLLL2) 12(62D為平面腔的橫向尺寸（直徑）。 求出m值，根據(jù)光在腔內(nèi)往返一次所需的時(shí)間可求出腔內(nèi)光子的壽命及相應(yīng)的DL2設(shè)光在腔內(nèi)往返m次后逸出腔

14、外，則(2-1-27)LDm2DLcLDcLmt2220cLt02cL平行平面鏡腔的調(diào)整精度要求極高平行平面鏡腔的調(diào)整精度要求極高上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)L2a-6-4-202460.00.81.0 第一極小值出現(xiàn)位置：aa61. 0222. 1假設(shè)：忽略第一暗環(huán)以外的光，并且中央亮斑內(nèi)光強(qiáng)均勻分布。W1到孔外能量，W0為孔內(nèi)能量，則射到孔徑以外的光能與總光能比等于該孔闌被中央亮斑所照亮的孔外面積與總面積的比。上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)LaLaaLLaaLaSSSWWW222222011011122. 12NLadd/11

15、2衍射損耗不太大時(shí)，單程指數(shù)衍射損耗（ d ）與能量相對(duì)百分?jǐn)?shù)損耗（ d ，）近似相等，d=d，LaN2N為腔Fresnel 系數(shù)，是衍射現(xiàn)象中的一個(gè)特征參數(shù)，表征衍射表征衍射損耗的大小損耗的大小。 N ， d ，即損耗越小。（2-1-29）上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)透過損耗 (T) 衍射損耗 (D)幾何偏折 (n) 光線從腔側(cè)面偏折出去工作物質(zhì)質(zhì)量 (I) 氣泡、雜質(zhì)等引起吸收、散射其它插入損耗(o) 腔內(nèi)插入其它元件等 21ln21rrTLaNND212aLonDIT總的單程損耗上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 增益增益( (損耗損耗) )系數(shù)

16、的定義及其與反轉(zhuǎn)粒子數(shù)的關(guān)系系數(shù)的定義及其與反轉(zhuǎn)粒子數(shù)的關(guān)系 光在增益光在增益& &損耗并存介質(zhì)中傳輸時(shí)的光強(qiáng)變化公式損耗并存介質(zhì)中傳輸時(shí)的光強(qiáng)變化公式 由光強(qiáng)引起的增益飽和的物理原因由光強(qiáng)引起的增益飽和的物理原因, , 極值光強(qiáng)的概念極值光強(qiáng)的概念 諧振腔的損耗對(duì)激光器閾值振蕩條件的影響諧振腔的損耗對(duì)激光器閾值振蕩條件的影響 諧振腔中的各類損耗、指數(shù)損耗及百分?jǐn)?shù)損耗因子諧振腔中的各類損耗、指數(shù)損耗及百分?jǐn)?shù)損耗因子 腔內(nèi)光子壽命的定義及與損耗的關(guān)系腔內(nèi)光子壽命的定義及與損耗的關(guān)系總結(jié)總結(jié)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)2.2 一、一、射線（幾何）光學(xué)中的光線傳輸矩陣（ABC

17、D矩陣）r 1. 表示光線的參數(shù) r 光線離光軸的距離 光線與光軸的夾角傍軸光線 tg sin 正,負(fù)號(hào)規(guī)定:0 0 02. 自由空間區(qū)的光線矩陣00,r,rLABA處：r0, 0 B處：r, 000Lrr上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)自由空間光線矩陣1010000LTrTrDCBArLL用 描述任一光線的坐標(biāo)r3. 空氣與介質(zhì)(折射率為n2)的界面,00rr入射出射0rr 201nn021nn21001nTLTL描述光線在自由空間中行進(jìn)距離L時(shí)引起的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)4.球面鏡反射矩陣（薄透鏡傳輸矩陣）R,r ,r rDCBA

18、rrRrr 21201RTRf,r ,rll 21101RffTf f111 rllrlrlrrr rfrr1焦距為f=2/R的薄透鏡與球面反射鏡等效R為球面鏡的曲率半徑上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)5.ABCD矩陣的應(yīng)用球面鏡腔的往返矩陣球面鏡腔中往返一周的光線矩陣（簡稱往返矩陣）0000004421rDCBArTrTTTTrLRLRLRLRDCBAT00112010011201211212212221RLRRCRLA21122121212RLRLRLDRLLB上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)往返n次的光線矩陣 111111rDCBArTrTTrnn

19、nnnnn1sinsinsinsin1sinsinsin1nnDnCnBnnATnDA 21arccos 其中 光線在諧振腔中的傳輸可等效為在透鏡波導(dǎo)中的傳輸。光線在諧振腔中的傳輸可等效為在透鏡波導(dǎo)中的傳輸。 往返矩陣與初始坐標(biāo)、出發(fā)位置及往返順序無關(guān)。往返矩陣與初始坐標(biāo)、出發(fā)位置及往返順序無關(guān)。 諧振腔往返矩陣的建立方法：諧振腔往返矩陣的建立方法：等效透鏡波導(dǎo)；等效透鏡波導(dǎo)；確定一個(gè)周期；確定一個(gè)周期；寫出各部分光線矩陣的乘寫出各部分光線矩陣的乘積。積。1111nnnnnnDrCBrAr上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)球面鏡腔可以等效為周期透鏡波導(dǎo)LLR1R2R1復(fù)雜腔的

20、等效周期透鏡波導(dǎo)及往返矩陣l1l2l3l1l2l3l1l2l3110110111011011101101332211flflfl上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)二、共軸球面鏡腔的穩(wěn)定條件Q Q：在什么條件下，傍軸光線能在腔內(nèi)往返任意多次而不橫向逸：在什么條件下，傍軸光線能在腔內(nèi)往返任意多次而不橫向逸出腔外出腔外？穩(wěn)定腔穩(wěn)定腔幾何光學(xué)光線矩陣分析腔中幾何偏折損耗，判斷穩(wěn)定與否1sinsinsinsin1sinsinsin1nnDnCnBnnATnDA 21arccos共軸球面鏡腔共軸球面鏡腔的穩(wěn)定判據(jù)的穩(wěn)定判據(jù)121 0; 凸面鏡 R 0; 平面鏡 R 穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件: 幾

21、何偏折損耗 穩(wěn)定腔穩(wěn)定腔 任何傍軸光線可以在腔內(nèi)往返無限多次不會(huì) 逸出腔外 幾何偏折損耗小 (低損耗腔)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)討論：121DA復(fù)數(shù)， nAn, Bn, Cn, Dn 非穩(wěn)定腔(2)kDADA121121(3)k為奇數(shù) (-1)k為偶數(shù) (+1)1111211nDnCnBnnAnTDAnn1111211nDnCnBnnAnTDAnnK為奇數(shù)K為偶數(shù)且隨且隨n的增大發(fā)生周期性的變化的增大發(fā)生周期性的變化隨隨n的增大按指數(shù)增大的增大按指數(shù)增大上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 臨界腔的典型例子1. 平行平面鏡腔 ( R = ) 3. 共

22、心腔 R1+R2=L 臨界腔非穩(wěn)腔1021LnTn1112nnLnrr11100rrrnn穩(wěn)定腔 2. 對(duì)稱共焦腔 R1=R2=L1001nT 往返兩次自行閉合 穩(wěn)定腔M1M2M1M2R1R2 121 121 121 臨界腔非穩(wěn)腔；穩(wěn)定腔；DADADA 適用任何形式的腔適用任何形式的腔, ,只需列出往返矩陣就能判斷其穩(wěn)定性只需列出往返矩陣就能判斷其穩(wěn)定性非對(duì)稱共焦腔？非對(duì)稱共焦腔？ R1+R2=2L上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)221111RLgRLg1211DA221RLA21121212RLRLRLD21221222121RRLRLRLDA111021RLRL1021

23、gg臨界腔，非穩(wěn)腔；穩(wěn)定腔；或 10 0 , 1 0, 0 10212121212121sdeyxVLiyxVyxyxik,yxyxikeLiyxyxK, sdyxVyxyxKyxV,其中積分方程的核 適用任何對(duì)稱光腔（平行平面，共焦，一般球面鏡腔） 求出V(x,y) 開腔振蕩模的場(chǎng)分布 求解積分方程上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)五、自再現(xiàn)模積分方程的解法五、自再現(xiàn)模積分方程的解法 其它穩(wěn)定球面鏡腔可通過“等價(jià)”對(duì)稱共焦腔求得2. 數(shù)值解 (數(shù)值迭代法)2a2a2a2a.振幅振幅相位相位1. 解析解： 對(duì)稱共焦腔才能得到解析解 精確解精確解 近似近似方形鏡方形鏡共焦腔共焦

24、腔 長橢球函數(shù)長橢球函數(shù) 厄米高斯函數(shù)厄米高斯函數(shù)圓形鏡圓形鏡共焦腔共焦腔 超橢球函數(shù)超橢球函數(shù) 拉蓋爾高斯函數(shù)拉蓋爾高斯函數(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)例：平行平面腔模的迭代解法例：平行平面腔模的迭代解法l平行平面腔的優(yōu)點(diǎn)：光束方向性好（發(fā)散角?。⒛ｓw積大、比較容易獲得單橫模l缺點(diǎn)：調(diào)整精度要求極高，與穩(wěn)定腔比較，損耗也比較大l平行平面腔振蕩模所滿足的自再現(xiàn)積分方程至今尚得不到精確的解析解上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)利用迭代公式，直接進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。首先，假定在某鏡面上存在一個(gè)初始場(chǎng)分布u1，將其代入上式，計(jì)算u2，u3, u4等。反復(fù)運(yùn)算足夠

25、多次后，判斷能否滿足下式1dsKuuSjj.1,1121jjjjuuuu如果直接數(shù)值計(jì)算得到了這種穩(wěn)定的場(chǎng)分布，則可認(rèn)為找到了腔的一個(gè)自在現(xiàn)模或橫模。上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)2a2a2a2au11，即認(rèn)為整個(gè)鏡面為等相位面，鏡面上各點(diǎn)波的振幅均為1。振幅振幅相位相位將u1代入迭代得到u2，然后使u2=1，將其在代入方程求得u3.上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)根據(jù)初始分布，經(jīng)第一次及第300次渡越后得到的振幅和相位分布。300次渡越后形成自再現(xiàn)模。此穩(wěn)態(tài)場(chǎng)的分布特點(diǎn)：鏡面中心處振幅最大，從中心到邊緣振幅慢慢降低，整個(gè)鏡面上的場(chǎng)分布具有偶對(duì)稱性。此

26、特征的橫模為腔此特征的橫模為腔的最低階偶對(duì)稱模或基的最低階偶對(duì)稱?；蚧！＃?。（TEM00）上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)六、自再現(xiàn)模積分方程的解的物理意義1. 本征函數(shù)形式y(tǒng),ximnmnmney,xAy,xVy , xAmn鏡面上振幅分布y, xmn鏡面上場(chǎng)的相位分布sdey,xVLiy,xVy,x ,y,xik本征值本征值本征函數(shù)本征函數(shù)y, xVmn鏡面上場(chǎng)分布函數(shù) (本征函數(shù) 橫模)一般球面鏡腔得不到解析解，唯有對(duì)稱共焦腔有精確解上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)mnimnmne2. 本征值 復(fù)常數(shù) 與與 d有關(guān)有關(guān)d 光場(chǎng)在腔中渡越一次的相

27、對(duì)功率損耗單程損耗傳輸因子設(shè)ijjjjeueuuu111ie單程模振幅的衰減單程模振幅的衰減相移相移222212111mnmnjmnjmnjdeuuumn量度自再現(xiàn)模的單程損耗, 不同橫模有不同的d。 mn 模的單程損耗上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)3. 單程相移 mn自再現(xiàn)模在腔內(nèi)渡越一次的總相移11arguarguargmnjjmnjjiuue11幾何相移根據(jù)諧振條件qmn當(dāng)mn得知, 可求得模的諧振頻率 LkLmn2附加相移自再現(xiàn)模在往返過程中形成穩(wěn)定振蕩場(chǎng)的條件：光在腔內(nèi)一次往返的總相移=2的整數(shù)倍，即 qarg 1上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與

28、技術(shù)l復(fù)常數(shù) 的模量度自在現(xiàn)模的單程損耗，l 它的輻角量度自在現(xiàn)模的單程相移，l 從而可以決定模的諧振頻率。對(duì)于非對(duì)稱開腔非對(duì)稱開腔，應(yīng)按照?qǐng)鲈谇粌?nèi)往返一次寫出模式再現(xiàn)條件及相應(yīng)的積分方程。其中的復(fù)常數(shù) 的模量度自在現(xiàn)模在腔內(nèi)往返一次的功率損耗功率損耗， 上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)2.5 2.5 方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡對(duì)稱共焦腔的自再現(xiàn)模xY2afL0+a+a-a-aXYR1R222aLLaaL 分離變量法sdey,xVLiy,xVy ,x ,y ,xikyxyxikeLiyxyxK,yyxxyxyxyx, yyKxxKyxyxK,？ aayyaaxxydy

29、VyyKyVxdxVxxKxVyVxVyxV,上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)(a)(a)以矩形平面腔鏡為例以矩形平面腔鏡為例上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)考慮、a和L間數(shù)量關(guān)系，將上節(jié)方程式的K展開，并舍去高階項(xiàng)，從而可進(jìn)一步簡化方程。222221LyyLxxLLyyxx22442241818121211LyyLxxLyyLxxLyyLxxL2222 1 模場(chǎng)分布集中在鏡面中心附近模場(chǎng)分布集中在鏡面中心附近 x , y 1不滿足，在鏡不滿足，在鏡面中心附近，厄米特面中心附近，厄米特-高斯函高斯函數(shù)仍然能正確描述共焦腔模數(shù)仍然能正確描述共焦腔模的振幅和

30、相位分布。的振幅和相位分布。上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)1. 鏡面上場(chǎng)的振幅分布 基模: TEM00 m=0, n=020222000000swrLyxeCeCV2222yxacnmmnmneyacHxacHCV光斑尺寸定義(1)：振幅中心處的 1/e (半徑)W0s 或光強(qiáng)中心處的 1/e2光斑尺寸定義(2)W0s ：半功率點(diǎn)處 1/eEx2W0s 100yHxH基模在鏡面上分布為高斯型基模在鏡面上分布為高斯型上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù)上海大學(xué)電子信息科學(xué)與技術(shù) 場(chǎng)振幅為高斯分布，在腔軸上光強(qiáng)最強(qiáng)； 離腔軸距離r 增大，光強(qiáng)將減弱 鏡面上基模光斑尺寸只與腔長有關(guān)，與反射鏡大小無關(guān) ssww00 00 選橫模的物理基礎(chǔ)選橫模的物理基礎(chǔ) 不同腔 共焦腔衍射損耗 平行平面鏡腔衍射損耗上海大學(xué)