空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系(含解析)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上歸納與技巧：空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系 基礎(chǔ)知識(shí)歸納 一、 空間向量及其有關(guān)概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab存在R，使ab.共面向量定理若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使pxayb.空間向量基本定理(1)定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z使得px ay bz c(2)推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z

2、使xyz且xyz1.二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)a·b|a|b|cosa，b；(2)aba·b0(a，b為非零向量)；(3)|a|2a2，|a|.2向量的坐標(biāo)運(yùn)算a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和ab(a1b1，a2b2，a3b3)向量差ab(a1b1，a2b2，a3b3)數(shù)量積a·ba1b1a2b2a3b3共線aba1b1，a2b2，a3b3(R)垂直aba1b1a2b2a3b30夾角公式cosa，b三、平面的法向量(1)所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，它們是共線向量(2)在空

3、間中，給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過點(diǎn)A的平面是唯一的基礎(chǔ)題必做1(課本習(xí)題改編)已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)則下列結(jié)論正確的是()Aac，bcBab，acCac，ab D以上都不對解析：選Cc(4，6,2)2a，ac.又a·b0，故ab.2 若a，b，c為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一組向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析：選C若c、ab、ab共面， 則c(ab)m(ab)(m)a(m)b，則a、b、c為共面向量，與a，b，c為空間向量的一組基底矛盾，故c，ab，ab可

4、構(gòu)成空間向量的一組基底3(教材習(xí)題改編)下列命題：若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有0；若xy，則M、P、A、B共面；若px ay b，則p與a，b共面其中正確的個(gè)數(shù)為()A0B1C2 D3解析：選D可判斷正確4在四面體OABC中，a，b，c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則_(用a，b，c表示)解析：如圖，abc.答案：abc5已知ABCDA1B1C1D1為正方體，()232；·()0；向量與向量的夾角是60°；正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|··|.其中正確命題的序號(hào)是_解析：設(shè)正方體的棱長為1，中()2323，故正確；中，由于AB1A1

5、C，故正確；中A1B與AD1兩異面直線所成角為60°，但與的夾角為120°，故不正確；中|··|0.故也不正確答案：解題方法歸納1.用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化2直線的方向向量與平面的法向量的確定：(1)直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量(2)平面的法向量可

6、利用方程組求出：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為 空間向量的線性運(yùn)算典題導(dǎo)入例1如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中G為A1BD的重心，設(shè)a，b，c，試用a，b，c表示，.自主解答 abc.()()()abc.本例條件不變，設(shè)A1C1與B1D1交點(diǎn)為M，試用a，b，c表示.解：如圖，()()ab()()abbcacabc解題方法歸納用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，靈活運(yùn)用三角形法則及四邊形法則以題試法1.如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB、AC，M、N分別為

7、OA、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且2，若xyz，則x，y，z的值分別為_解析：()×()×x，y，z的值分別為，.答案：， 共線、共面向量定理的應(yīng)用典題導(dǎo)入例2如右圖，已知平行六面體ABCDABCD，E、F、G、H分別是棱AD、DC、CC和AB的中點(diǎn)，求證E、F、G、H四點(diǎn)共面自主解答取a，b，c，則2ba2a()ba(baca)bc，與b、c共面即E、F、G、H四點(diǎn)共面解題方法歸納應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面的方法比較：三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面且同過點(diǎn)Pxy對空間任一點(diǎn)O，t對空間任一點(diǎn)O，xy 對空間任一點(diǎn)O，x(1x

8、) 對空間任一點(diǎn)O，xy(1xy) 以題試法2.已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，用向量方法，求證：(1)E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)BD平面EFGH.證明：(1)連接BG，則()，由共面向量定理知：E、F、G、H四點(diǎn)共面(2)因?yàn)?)，又因?yàn)镋、H、B、D四點(diǎn)不共線，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH. 利用空間向量證明平行或垂直典題導(dǎo)入例3 已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，邊長為2a，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE.自主解答依

9、題意，以AC所在的直線為x軸，AB所在的直線為z軸，過點(diǎn)A且垂直于AC的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F為CD的中點(diǎn)，F(xiàn).(1)易知，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)，(a，a,0)，(0,0，2a)，·0，·0，即AFCD，AFED.又CDEDD，AF平面CDE.又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.解題方法歸納利用直線的方向向量與平面的法向量，可以判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直(1)設(shè)直線l

10、1的方向向量v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2(a2，b2，c2)則l1l2v1v2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)l1l2v1v2a1a2b1b2c1c20.(2)設(shè)直線l的方向向量為v(a1，b1，c1)，平面的法向量為n(a2，b2，c2)，則lvna1a2b1b2c1c20.lvn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(3)設(shè)平面的法向量n1(a1，b1，c1)，的法向量為n2(a2，b2，c2)，則n1n2，n1n2.以題試法3 如圖所示的長方體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，BB1，M是線段B1D1的

11、中點(diǎn)(1)求證：BM平面D1AC；(2)求證：D1O平面AB1C.證明：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)O(1,1,0)、D1(0,0，)，(1，1，)，又點(diǎn)B(2,2,0)，M(1,1，)，(1，1，)，又OD1與BM不共線，OD1BM.又OD1平面D1AC，BM平面D1AC，BM平面D1AC.(2)連接OB1.·(1，1，)·(1,1，)0，·(1，1，)·(2,2,0)0，即OD1OB1，OD1AC，又OB1ACO，D1O平面AB1C. 1 若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1

12、,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：選D若l，則a·n0.而A中a·n2，B中a·n156，C中a·n1，只有D選項(xiàng)中a·n330.2已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于()A.B.C. D.解析：選D由題意得ct a b(2t，t4，3t2)，3.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()AabcB.abcCabc D.abc解析：選A()c

13、(ba)abc.4. 如圖所示，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC，則cos，的值為()A0 B.C. D.解析：選A設(shè)a，b，c，由已知條件a，ba，c，且|b|c|，·a·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.5 平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、兩兩的夾角均為60°，且|1，|2，|3，則|等于()A5 B6C4 D8解析：選A設(shè)a，b，c，則abc，2a2b2c22a·c2b·c2c·a25，因此|5.6在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四

14、邊上的動(dòng)點(diǎn)，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，線段D1Q與OP互相平分，則滿足的實(shí)數(shù)的值有()A0個(gè) B1個(gè)C2個(gè) D3個(gè)解析：選C建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即點(diǎn)P坐標(biāo)滿足xy1.有2個(gè)符合題意的點(diǎn)P，即對應(yīng)有2個(gè).7在下列條件中，使M與A、B、C一定共面的是_2；0；0.解析：0，則、為共面向量，即M、A、B、C四點(diǎn)共面答案：8.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱

15、BC、DD1上的點(diǎn)，如果B1E平面ABF，則CE與DF的和的值為_解析：以D1A1、D1C1、D1D分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CEx，DFy，則易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，(x1,0,1)，又F(0,0,1y)，B(1,1,1)，(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只需·(1,1，y)·(x1,0,1)0xy1.答案：19.如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E為PB的中點(diǎn)，cos，若以DA、DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_解析：設(shè)PDa，則A(2,0,0)，B(2,2,0

16、)，P(0,0，a)，E.(0,0，a)，.由cos，a ·，a2.E的坐標(biāo)為(1,1,1)答案：(1,1,1)10.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.證明：AB、AD、AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PAABBC1，則P(0,0,1)(1)ABC60°，ABC為正三角形C，E.設(shè)D(0，y,0)，由ACCD，得·0，即y，則D，.又，·××0，即AECD.(2)法一：P(0,0,1)，.又

17、·××(1)0，即PDAE.(1,0,0)，·0.PDAB，又ABAEA，PD平面AEB.法二：(1,0,0)，設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則令y2，則z，n(0,2，)，顯然n.n，平面ABE，即PD平面ABE.11已知矩形ABCD中，AB6，BC6，E為AD的中點(diǎn)(圖甲)沿BE將ABE折起，使二面角ABEC為直二面角(圖乙)，且F為AC的中點(diǎn)(1)求證：FD平面ABE；(2)求證：ACBE.證明：(1)如圖1，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，連接DM、MF.F為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，MFAB.又BM綊DE，四邊形BMDE為平行四邊形，MDBE

18、.MFMDM，ABBEB，平面DFM平面ABE.又PD平面DFM，F(xiàn)D平面ABE，F(xiàn)D平面ABE.(2)在矩形ABCD(如圖2)中，連接AC，交BE于G.·()·()2·36360.ACBE.在圖3中，AGBE，CGBE.又AGGCG，BE平面AGC.又AC平面AGC，ACBE.12 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90°，PD平面ABCD，AD1，AB，BC4.(1)求證：BDPC；(2)設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，若DE平面PAB，求的值解：(1)證明：如圖，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)D作直線DFAB，交BC于點(diǎn)F，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、

19、DF、DP所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(1,0,0)，B(1，0)，D(0,0,0)，C(3，0)(1)設(shè)PDa，則P(0,0，a)，(1，0)，(3，a)，·330，BDPC.(2)由題意知，(0，0)，(0,0，a)，(1,0，a)，(3，a)，(3，a)，(0,0，a)(3，a)(3，aa)設(shè)n(x，y，z)為平面PAB的法向量，則即令z1，得xa，n(a,0,1)，DE平面PAB，·n0，3aaa0，即a(14)0，a0，.1已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為()A.，4

20、 B.，4C.，2,4 D4，15解析：選B，·0，即352z0，得z4.又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，則解得2設(shè)空間四點(diǎn)O，A，B，P滿足t，其中0<t<1，則有()A點(diǎn)P在線段AB上B點(diǎn)P在線段AB的延長線上C點(diǎn)P在線段BA的延長線上D點(diǎn)P不一定在直線AB上解析：選A0<t<1，P點(diǎn)在線段AB上3已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點(diǎn)求證：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.證明：(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2

21、,0)、C1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)設(shè)n1(x1，y1，z1)是平面ADE的一個(gè)法向量，則n1，n1，即解得令z12，則y11，所以n1(0，1,2)因?yàn)?#183;n1220，所以n1.又因?yàn)镕C1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)由(1)得B1(2,2,2)，(2,0,0)設(shè)n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量，則n2，n2，即解得令z22，則y21，所以n2(0，1,2)因?yàn)閚1n2，所以平面ADE平面B1C1F.1.已知在一個(gè)60°的二面角的棱上，如圖有兩個(gè)點(diǎn)A，B，AC，BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB4 cm，AC6 cm，BD8 cm，則CD的長為_解析：設(shè)a，b，c，由已知條件|a|8，|b|4，|c|6，a，b90&