第七章2由差分方程求響應(yīng)和卷積

1、Z代入邊界條件迭代法時域經(jīng)典法零輸入與手算逐次代入：僅得數(shù)值解利用計算機：先求齊次解與特解=求系數(shù)（求解過程麻煩）：利用齊次解得零輸入響應(yīng)，利用卷積和求零狀態(tài)響應(yīng)：利用 變變換域法換法（簡便有效）零狀態(tài)求法( )(1)( )y nay nn( )(1)( )( )( )( 1)0,( )y nay nx nx nnyy n例題：差分方程為若已知求)()(nuanyn二、二、時域經(jīng)典法時域經(jīng)典法 差分方程的時域經(jīng)典求解與微分方程的求解差分方程的時域經(jīng)典求解與微分方程的求解過程完全一樣：過程完全一樣：方程的方程的完全解完全解齊次解齊次解特解特解齊次解齊次解：由齊次方程的：由齊次方程的特征根特征根的

2、形式確定的形式確定特解特解：由：由輸入序列輸入序列的形式確定的形式確定對右移序差分方程：對右移序差分方程：)()2() 1 ()0(Nyyyyzizizizi)()2() 1 ()0(Nyyyyzszszszs)()2() 1 ()0(Nyyyy00)(mmyzsNkMrrkrnxbknya00)()(N階差分方程：階差分方程：Nkkknya00)(0.110NNNaaa特特征征方方程程NN,.,21個個特特征征根根：0.110NNNaaa特特征征方方程程NN,.,21個個特特征征根根：112211212111( ).(K( )(.).nnnNNkknnnkkkNNy ncccy nc nc

3、nccc無無重重根根）若若為為 重重根根0)2(1 . 0) 1(7 . 0)( nynyny例：求解齊次差分方程nngccny)2 . 0()5 . 0()(2 . 0, 5 . 001 . 07 . 0212121)5(, 1) 3(, 0)2(, 1) 1 (0)4() 3(2)2(2) 1(2)(yyyynynynynyny例：求解差分方程特解由差分方程右邊自由項函數(shù)的形式?jīng)Q定特解由差分方程右邊自由項函數(shù)的形式?jīng)Q定)(10)(9) 1 (15)0()()2() 1(5)(6nynxyynxnynyny求若例：求解完全響應(yīng)的分解：11( )( )Nnkkky nnDC hp強迫自由響應(yīng)

4、y (響應(yīng) n)y)n(（）112( )( )NNnnzikkkkkzsky nnDCC zszi零狀態(tài)響應(yīng) y (n)零輸入響應(yīng) y (n)（ ）（齊次解加特解）（齊次解加特解）( 1), ()( 1),()(0),(1( )zikziziziziziCyyNyyyyNkyN （直接帶入求解零輸入響應(yīng)）或迭代其中是由零輸入條件下邊界值求得， 由起始狀態(tài) 初始條件；( 1),()0(0),(1)( )zskzszszszszsCyyNyyyNk 輸入序列x(n)代入方程迭代是由零狀態(tài)條件下邊界值求得， 由零狀態(tài)條件 初始條件。例題：已知系統(tǒng)的差分方程表達(dá)式為例題：已知系統(tǒng)的差分方程表達(dá)式為)(

5、05. 0) 1(9 . 0)(nunyny(1)若邊界條件若邊界條件y(-1)=0，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)(2)若邊界條件若邊界條件y(-1)=1，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)離散時間系統(tǒng)x(n)y(n)( )( )nh n：單位樣值作為激勵而產(chǎn)生的 系統(tǒng)零狀態(tài)單應(yīng)響應(yīng)位樣值響( )(0)( )( )hhh nnn 等效求解齊次方程求：單位樣值作用起始條件解的閉式解( )0,0( )nh nnh nM因果系統(tǒng)的充要條件穩(wěn)定系統(tǒng)的充要 條件： ：y(n)5y(n1)6y(n2)x(n)2(3)()2(6) 1(5)(nxnxnynyny先求解如下差分方程的單位函數(shù)響應(yīng)先求解如

6、下差分方程的單位函數(shù)響應(yīng)h h1 1(n)(n)()2(6) 1(5)(nxnynyny則所求單位函數(shù)響應(yīng)為：則所求單位函數(shù)響應(yīng)為：11( )( )3 (2)h nh nh n( )5 (1)6( )()(2)32y ny ny nx nx n )(te)(tr)(*)()(*)()(teththtetrzs)(nx)(ny?)(nyzsmmnmxnx)()()()()(nhnLTI)()(mnhmnLTI( )( )()()LTIx mxnmnmm h()()( )( )LTImmxnmmxmhmn( )( )()( )LTIzsmxx nynhmnmmmnxmxnxnx)()()()(21

7、21)(nx)(ny)(*)()(nhnxnyzs)(*)()(*)(1221nxnxnxnx)(*)()(*)()()(*)(3121321nxnxnxnxnxnxnx)(*)(*)()(*)(*)()(*)(*)(321321321nxnxnxnxnxnxnxnxnx)()(*)(nxnnx舉例：求解圖示序列的自卷積。1023572511n)(nx1023572511m)(mx1023572511m)( mx 02n1m)(mnx2nl n-4時 y(n)=0l n=-4時1023572511m)(mx021m)4(mx60257251m)4()(mxmx1)4(yl n=3時102357

8、2511m)(mx031m( 3)xm 50257251m( ) ( 3)x m xm 12( 3)( ) ( 3)2myx m xm l n=2時1023572511m)(mx021m)2(mx40257251m)2()(mxmx02( 2)( ) ( 2)3myx m xm l n=1時1023572511m)(mx011m( 1)xm 312( 1)( ) ( 1)4myx m xm 0257251m( ) ( 1)x m xm l n=0時1023572511m)(mx021m)( mx 21023572511m)()(mxmx5)()()0(22mmxmxyl n=1時1023572

9、511m)(mx021m(1)xm21023572511m( ) (1)x m xm21(1)( ) (1)4myx m xm2l n=2時1023572511m)(mx021m)2(mx2102357511m)2()(mxmx20(2)( ) (2)3myx m xml n=3時1023572511m)(mx021m(3)xm31023572511m( ) (3)x m xm21(3)( ) (3)2myx m xm2l n=4時1023572511m)(mx021m)4(mx2102357511m)4()(mxmx22(4)( ) (4)1myx m xm2025751n)(ny5( )(

10、 ),01( )( )()( )( )* ( )nh na u nax nu nu nNy nx nh n例例：系系統(tǒng)統(tǒng)單單位位樣樣值值響響應(yīng)應(yīng)激激勵勵求求：響響應(yīng)應(yīng)(1)10110(1)0( )()( )0(2)01,01( )1(3)10N11( )1nnnn mmnNNn mmnx mh nmy nnNmnaay naanNmaay naa，與與無無交交迭迭從從 至至 交交迭迭， 從從 至至 交交迭迭 1423 ,152 ,y(n)=nnnnnnn1212已知x (n)=2x (n)=3求卷積x (n)*x (n)n12解：表示成序列 x(n)= 1 4 1x (n)= 1 5 （指針表

11、示 30處）20m)(1mx)0(1x) 1 (1x)2(1x)3(1x0nm)(2mnx2n)0(2x) 1 (2x)2(2x0m)2(2mx2)0(2x) 1 (2x)2(2x)0()2() 1 () 1 ()2()0()2(212121xxxxxxy)0()2() 1 () 1 ()2()0()2(212121xxxxxxy)0(2x)0(1x) 1 (1x)2(1x)3(1x)2(2x) 1 (2x)3(1x)2(2x)2(2x1(2)x)2(2x ) 1 (1x)0(1x)2(2x) 1 (2x )3(1x) 1 (2x)0(1x)0(2x)3(1x)0(2x) 1 (1x)0(2x

12、 )2(1x) 1 (1x) 1 (2x) 1 (2x)2(1x)0(2x )0(1x02)0(1x)2(2x) 1 (1x) 1 (2x)0(2x )2(1x解：利用“對位相乘求和”方法來求卷積12 按右端對齊 x(n)：2 1 4 1x (n)： 3 1 5 10 5 20 56 3 12 3 2 1 4 1 y(n)= 5 23 12 21 56410410頁表頁表7 71 1：因果序列因果序列的卷積和的卷積和解卷積解卷積已知已知y(n),h(n)確定確定x(n)；或者已知；或者已知y(n)、x(n)確定確定h(n)的過程。的過程。mmnhmxnhnxny)()()(*)()(nmmnh

13、mxny0)()()(nmmnhmxny0)()()(nmmhmnxny0)()()(10)()()0()()(nmmnhmxhnxny)0(/ )()()()(10hmnhmxnynxnm)0(/ )()()()(10 xmnxmhnynhnm同理：同理：)0(/ )()()()(10hmnhmxnynxnm(0)(0)/ (0)(1) (1)(0) (1)/ (0)(2) (2)(0) (2)(1) (1)/ (0)(3) (3)(0) (3)(1) (2)(2) (1)/ (0)xyhxyxhhxyxhxhhxyxhxhxhh)(ny?)(nh)(nx)0(/ )()()()(10 xm

14、nxmhnynhnm(0)(0)/ (0)(1) (1)(0) (1)/ (0)(2) (2)(0) (2)(1) (1)/ (0)(3) (3)(0) (3)(1) (2)(2) (1)/ (0)hyxhyhxxhyhxhxxhyhxhxhxx)(ny?)(nh)(nx)(nx1.離散時間信號離散時間信號-序列序列2.離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型3.常系數(shù)線性差分方程的求解常系數(shù)線性差分方程的求解4.離散時間系統(tǒng)的單位樣值（沖激）響應(yīng)離散時間系統(tǒng)的單位樣值（沖激）響應(yīng)5.卷積卷積6.反卷積反卷積差分方程與微分方程：( ),(),y ttnTy nTT對連續(xù)若在各點取樣值且 足夠小1)(ynTy nTdTty td則)()()1 () 1()()()() 1()()()(nxRCTnyRCTnynxnyTnynyRCtxtydttdyRc例：討論海諾塔（Tower of Hanoi），有n個直徑不同，中心有孔的圓盤，穿在一個木樁上，如圖由大到小，最大的在下面，現(xiàn)在要把它們近按原樣搬到另一個木樁上，傳遞時：（1）每次在木樁之間傳遞1個（2）傳遞時