材料力學(xué) 梁的變形

1、 51 概述概述52 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分53 疊加法計(jì)算彎曲變形疊加法計(jì)算彎曲變形xyxyPy=y(x) 梁在平面彎曲時(shí)，其軸梁在平面彎曲時(shí)，其軸線彎成一平面曲線，稱為梁線彎成一平面曲線，稱為梁的的。 梁橫截面形心的豎向位移稱為截面的梁橫截面形心的豎向位移稱為截面的，用，用y 來(lái)表示。來(lái)表示。撓度以向下為正，向上為負(fù)。撓度以向下為正，向上為負(fù)。 梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度稱為截面的梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度稱為截面的，用，用 來(lái)來(lái)表示。轉(zhuǎn)角以順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。表示。轉(zhuǎn)角以順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。 梁不同截面的撓度和轉(zhuǎn)角不同，它們是截面坐標(biāo)的函數(shù)，

2、梁不同截面的撓度和轉(zhuǎn)角不同，它們是截面坐標(biāo)的函數(shù)，稱為梁的稱為梁的和和。51 概述概述xyxyPy=y(x)()(xxyy 梁變形時(shí)，橫截面始終保持平面，且始終與梁的軸線垂梁變形時(shí)，橫截面始終保持平面，且始終與梁的軸線垂直，由高等數(shù)學(xué)可知：直，由高等數(shù)學(xué)可知：tgdxdy 小變形下，小變形下， 很小，很小，tg ，于是得，于是得dxdyy 這就是梁的變形，撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系。這就是梁的變形，撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系。 撓曲線的曲率與彎矩間的關(guān)系為撓曲線的曲率與彎矩間的關(guān)系為EIxMx)()(1 由高等數(shù)學(xué)可知，曲線的曲率為由高等數(shù)學(xué)可知，曲線的曲率為2/32) (1 )(1yyx 小變形下，小變形下，

3、很小，很小， ，于是得，于是得0) (22yEIxMy)(52 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分xyMM0M0yxyMM0M0yEIxMy)( 這就是梁的這就是梁的，由此微分方程積分一，由此微分方程積分一次可求轉(zhuǎn)角，再積分一次可求撓度。次可求轉(zhuǎn)角，再積分一次可求撓度。 為計(jì)算方便，將撓曲線近似微分方程改寫(xiě)為為計(jì)算方便，將撓曲線近似微分方程改寫(xiě)為)(xMEIyCdxxMEIEIy)(DCxdxdxxMEIy)(轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程 解題關(guān)鍵：解題關(guān)鍵： 正確建立梁的彎矩方程正確建立梁的彎矩方程M（x）。若梁的各段彎矩方）。若梁的各段彎矩方程不同，需分段建立

4、；程不同，需分段建立； 每段梁都要積分兩次，均出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)，需通過(guò)邊每段梁都要積分兩次，均出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)，需通過(guò)邊界條件和變形連續(xù)條件來(lái)確定。界條件和變形連續(xù)條件來(lái)確定。 邊界條件（支承條件）邊界條件（支承條件）固定端：固定端：鉸支座（固定鉸支座和可動(dòng)鉸支座）：鉸支座（固定鉸支座和可動(dòng)鉸支座）： 變形連續(xù)條件變形連續(xù)條件在兩段梁的交界面：在兩段梁的交界面： = 0，y = 0。y = 0。212121,:yyxx 確定積分常數(shù)。確定積分常數(shù)。 解題步驟：解題步驟： 建立坐標(biāo)系。取梁的最左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系。取梁的最左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，x 軸水平向軸水平向右，右，y 軸豎直向下；軸豎直向

5、下； 將梁分段（與畫(huà)彎矩圖分段相同），分別寫(xiě)出每段梁將梁分段（與畫(huà)彎矩圖分段相同），分別寫(xiě)出每段梁的彎矩方程；的彎矩方程； 將彎矩方程代入撓曲線近似微分方程，并積分兩次；將彎矩方程代入撓曲線近似微分方程，并積分兩次； 根據(jù)邊界條件和變形連續(xù)條件確定積分常數(shù)；根據(jù)邊界條件和變形連續(xù)條件確定積分常數(shù)； 將要求變形的截面坐標(biāo)代入轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，求將要求變形的截面坐標(biāo)代入轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，求指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度。指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度。例例1 求圖示懸臂梁求圖示懸臂梁B 截面的轉(zhuǎn)角和撓度。截面的轉(zhuǎn)角和撓度。ABq解：解：EIxxyqBll-xFs(x)M(x) ; 0 xm0)(21)(2xlqx

6、M2)(21)(xlqxM)0(lx )2(21)(21222xlxlqxlqEIyCxlxxlqEIEIy)31(21322DCxxlxxlqEIy)1213121(214322ABqEIxxylCxlxxlqEIEIy)31(21322DCxxlxxlqEIy)1213121(214322確定積分常數(shù)：確定積分常數(shù)：; 0, 0 x; 0, 0yx0C0DABqEIxxyl)31(2322xlxxlEIq)1213121(24322xlxxlEIqyEIqllllllEIqB6)31(23322EIqllllllEIqyB8)1213121(244322轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程撓度方程例例

7、2 求圖示外伸梁求圖示外伸梁B 截面的轉(zhuǎn)角和截面的轉(zhuǎn)角和C 截面的撓度。截面的撓度。EIABCPx1x2xyYA=P/2解：解：1121)(PxxM)0(1lx l/2l)23()(22xlPxM)23(2lxl1121PxEIy ,4112111CPxEIEIy,121111311DxCPxEIy; 0, 011yx01D; 0,11ylx1221PlCEIPlPlPlEIB6)1241(12221EIABCPx1x2xyYA=P/2l/2l)23()(22xlPxM)23(1lxl)23(22xlPEIy; 0,22ylx222222)2123(CxxlPEIEIy22232222)614

8、3(DxCxxlPEIy2232)6143(0DlClllP;,2121lxx22222)223(124CllPPlPlEIABCPx1x2xyYA=P/2l/2l65)2123(222222PlxxlPEIEIyEIPlPllPllllPEIyC842365)23(61)23(431332322232)6143(0DlClllP22222)223(124CllPPlPl,6522PlC432PlD 465)6143(32232222PlxPlxxlPEIy例例3 用積分法計(jì)算圖示簡(jiǎn)支梁的用積分法計(jì)算圖示簡(jiǎn)支梁的 A， B，yC。EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2解：解

9、：,2121)(2qxqlxxM)0(lx )(22lxxqEIyCxlxqEIEIy)231(223DCxxlxqEIy)6121(234; 0, 0yx0D; 0,ylxClllq)612(2044243qlC EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/224)231(2323qlxlxqEIEIy;224)2(6)2(1212334lqllllqEIyC;243qlEIAEIqlA243;2424)231(23323qlqllllqEIBEIqlB243EIqlyC38454xqlxlxqEIy24)6121(2334例例4 用積分法計(jì)算圖示各梁需分幾段，確定積分常數(shù)的邊界

10、用積分法計(jì)算圖示各梁需分幾段，確定積分常數(shù)的邊界條件和變形連續(xù)條件是什么？條件和變形連續(xù)條件是什么？ACDP2x1x3yBP1l/2l/4l/4x2xqqABCxxylEAa0, 4/11ylx0, 4/22ylx0, 4/322ylx0, 4/333ylx3232, 4/3lxx2121, 4/lxx0, 0yx, lx BClyEAqla2例例5 用積分法計(jì)算圖示各梁需分幾段，確定積分常數(shù)的邊界用積分法計(jì)算圖示各梁需分幾段，確定積分常數(shù)的邊界條件和變形連續(xù)條件是什么？條件和變形連續(xù)條件是什么？ACPx3yBl/2l/2x2xqqABx1xyl0, 2/11ylx0, 2/22ylx0, 2

11、/322ylx3232,lxx2121, 2/lxx0, 011yxl/2x13232,yylxxDDCx2x3l/2l/2l0,11ylx0,22ylx0,233ylx2121,lxx3232, 2/3yylxx一、簡(jiǎn)單梁簡(jiǎn)單荷載下的變形一、簡(jiǎn)單梁簡(jiǎn)單荷載下的變形ABEIlABEIlABEIlm,EImlBEImlyB22P,22EIPlBEIPlyB33q,63EIqlBEIqlyB8443 疊加法計(jì)算彎曲變形疊加法計(jì)算彎曲變形ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/2l/2CCC,3EImlAEImlB6EImlyC162EIPlBA162EIPlyC483EIqlBA

12、243EIqlyC38454二、疊加法計(jì)算梁的變形二、疊加法計(jì)算梁的變形ABl/2EIl/2PCm=PlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=Pl,332EIPlEImlAmEIPlEImlyCm161632,162EIPlAPEIPlyCP483EIPlAPAmA48192EIPlyyyCPCmC123=+三、幾種基本變化三、幾種基本變化 懸臂梁懸臂梁荷載在內(nèi)側(cè)，求端部位移荷載在內(nèi)側(cè)，求端部位移abABPCEICBCCybCyBEIPaCB22EIbPaEIPabyyCCB2323荷載在外側(cè)，求內(nèi)側(cè)位移荷載在外側(cè)，求內(nèi)側(cè)位移abABPCEICBCCyyBEIPaEIPabEI

13、PaEIMaC2222EIPaEIbPaEIPaEIMayC32323232ABPCCabPM=PbFs=P 外伸梁外伸梁PBABClaycyc1BaABlaPFs=PM=PaPBBBCBCCBayc1PEIPalEIMlB33EIPaC221EIPayC331EIPaEIPalCBC2321EIPaEIlPayayCBC33321C例例6 求圖示梁求圖示梁B，C 截面的轉(zhuǎn)角和撓度。截面的轉(zhuǎn)角和撓度。AB C EI l/2l/2q解：解：AB C EI qAB C EI q+EIqlB631EIqlyB841EIqlEIlqCB486)2/(332EIqllEIqlEIlqlyyCCB3847

14、2488)2/()2/(4342AB C EI l/2l/2qAB C EI qAB C EI q+EIqlB631EIqlyB841EIqlB4832EIqlyB384742;487321EIqlBBBEIqlyyyBBB38441421AB C EI l/2l/2qAB C EI C qFs=ql/2Fs=ql/2M=ql2/8l/2EIqlEIlqlEIlqlEIlFEIlMsC8242282)2()2(3222EIqlEIlqlEIlqlEIlFEIlMysC19273822483)2(2)2(432232例例7 求圖示梁求圖示梁A 截面的轉(zhuǎn)角和撓度。截面的轉(zhuǎn)角和撓度。ABCDP=ql

15、EIql/2l/2l/2ABCDP=qlEIql/2l/2l/2BFs=ql/2Fs=ql/2M=ql2/8EIqlEIlqlEIqlEIMlEIPlB483)8/(163163232AqB1A1Ay2/ lB,486)2/(331EIqlEIlqAEIqlEIlqyA1288)2/(44104848331EIqlEIqlABAEIqlEIqllEIqlylyABA38412824824431解：解：例例8 求圖示階梯形懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。求圖示階梯形懸臂梁自由端的轉(zhuǎn)角和撓度。AB C 2EI aaPEI AC 2EI aB C PFs=PFs=PaB PEI M=PaEIPaEIPaE

16、IPaEIaFEIMasC4342)2(222222EIPaEIPaEIPaEIaFEIMaysC12564)2(3)2(233332,221EIPaB,331EIPayB解：解：C AB C 2EI aaPEI AC 2EI aB C PFs=PFs=PaB PEI M=Pa,432EIPaCEIPayC1253,221EIPaB,331EIPayBEIPaEIPaEIPaCBB454322221EIPaEIPaEIPaEIPaayyyCCBB2343125333331C 54 梁的剛度條件梁的剛度條件一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件 梁要正常工作，其應(yīng)力要控制在一定的范圍內(nèi)，即滿足梁要正常

17、工作，其應(yīng)力要控制在一定的范圍內(nèi)，即滿足；同時(shí)梁的變形也要控制在一定的范圍內(nèi)，即滿足；同時(shí)梁的變形也要控制在一定的范圍內(nèi)，即滿足。 土建類工程，主要要求梁的最大撓度與跨長(zhǎng)之比要小于土建類工程，主要要求梁的最大撓度與跨長(zhǎng)之比要小于或等于容許值，即或等于容許值，即lylymax 機(jī)械類工程，傳動(dòng)軸是裝在軸機(jī)械類工程，傳動(dòng)軸是裝在軸承上，軸的轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)損壞軸承，承上，軸的轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)損壞軸承，因此要求軸在軸承處的轉(zhuǎn)角必須小因此要求軸在軸承處的轉(zhuǎn)角必須小于或等于容許值，即于或等于容許值，即 max二、提高梁的抗彎能力的主要措施二、提高梁的抗彎能力的主要措施 增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度EI 因各種鋼

18、材的彈性模量差別不大，對(duì)于鋼梁來(lái)說(shuō)，只有因各種鋼材的彈性模量差別不大，對(duì)于鋼梁來(lái)說(shuō)，只有改善截面形狀，增大截面的慣性矩，才能提高梁的抗彎剛度改善截面形狀，增大截面的慣性矩，才能提高梁的抗彎剛度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。如采用工字形、槽形、箱形等。 減小梁的跨度減小梁的跨度 因梁的變形與跨度的若干次冪成正比，減小跨度可有效因梁的變形與跨度的若干次冪成正比，減小跨度可有效地降低梁的變形。如改變支座位置、增加支座等。地降低梁的變形。如改變支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlq9/2l9/2lEIqly38454maxEIqly38411. 04max55 簡(jiǎn)單超靜定梁的解法簡(jiǎn)單超靜定

19、梁的解法 計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、變形，首先要求出梁的支座反力。計(jì)算梁的內(nèi)力、應(yīng)力、變形，首先要求出梁的支座反力。靜定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超靜定梁的靜定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超靜定梁的支座反力數(shù)多于平衡方程數(shù)，需通過(guò)變形條件增加補(bǔ)充方程支座反力數(shù)多于平衡方程數(shù)，需通過(guò)變形條件增加補(bǔ)充方程方可求解。方可求解。ABCEIPl/2l/2FAFBMA ; 0yF0PFFBA ; 0Am02lPlFMBAACEIPl/2l/2FAMAFBB022)2/(3)2/(3233lEIlPEIlPEIlFyBB165PFB; 0PFFBA; 02lPlFMBA1611PFA163P

20、lmA 多余約束可以選擇，無(wú)論去掉哪個(gè)多余約束，最終結(jié)多余約束可以選擇，無(wú)論去掉哪個(gè)多余約束，最終結(jié)果相同。果相同。 去掉多余約束支座去掉多余約束支座B ，將支座，將支座B 的反力視為荷載，靜定的反力視為荷載，靜定梁梁AB在荷載在荷載P 、FB作用下，作用下，B 端撓度為零。端撓度為零。 ; 0yF ; 0AmBCEIPl/2l/2YAFBMAA03162EIlmEIPlAA163PlmA; 0PFYBA; 02lPlFMBA1611PFA165PRBP3Pl/16Pl/4M 圖圖 ; 0yF ; 0Am 上述解超靜定梁的方法稱為上述解超靜定梁的方法稱為。具體解題步驟。具體解題步驟如下：如下： 去掉多余約束，代之以相應(yīng)的多余約束反力；去掉多余約束，代之以相應(yīng)的多余約束反力； 根據(jù)多余約束處的變形關(guān)系建立補(bǔ)充方程；根據(jù)多余約束處的變形關(guān)系建立補(bǔ)充方程； 解補(bǔ)充方程求出多余約束反力；解補(bǔ)充方程求出多余約束反力； 將多余約束反力視為主動(dòng)力，將原超靜定梁視為靜定將多余約束反力視為主動(dòng)力，將原超靜定梁視為靜定梁，然后按靜定梁求解其它問(wèn)題。梁，然后按靜定梁求解其它問(wèn)題。例例10 解圖示超靜定梁，并畫(huà)彎矩圖。解圖示超靜定梁，并畫(huà)彎矩圖。AB2aCaaEIPABCEIPF