小學數(shù)學課件-人教A版函數(shù)的最值和導數(shù)PPT課件

1、3.3.3 函數(shù)的最值與導數(shù)極值反映的是函數(shù)在某一點附近的部分性質(zhì),而不是函數(shù)在整個定義域內(nèi)的性質(zhì)。但是我們往往更關(guān)懷函數(shù)在某個區(qū)間上哪個值最大，哪個值最小。察看區(qū)間a,b上函數(shù)y=f (x)的圖象，他能找出它的極大值點，極小值點嗎？oxdbfcaehgy極大值點 ，ceg極小值點dbf他能說出函數(shù)的最大值點和最小值點嗎？最大值點 ：a ，最小值點：doxyab)(xfy最小值是f (b).單調(diào)函數(shù)的最大值和最小值容易被找到。函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上最大值是f (a),圖1ox2xb4x1xa3x)(xfy 5xy最大值是f (x3),圖2函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a,b上最小值是f (x

2、4).普通地，假設在區(qū)間a,b上函數(shù)y=f (x)的圖象是一條延續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。怎樣求函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a ,b內(nèi)的最大值和最小值？只需把函數(shù)y=f (x)的一切極值連同端點的函數(shù)值進展比較即可。例1、求函數(shù)f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值，最小值。 x (-,-2)-2 (-2,2)2 (2,+) +0 -0 +f(x)單調(diào)遞增28單調(diào)遞減-4單調(diào)遞增)(xf例1、求函數(shù)f(x)=x3-12x+12在0,3上的 最大值，最小值。解：由上節(jié)課的例1知，在0,3上， 當x=2時， f(x)=x3-12x+12有極小值，并且極小值為f (2)=-4.

3、又由于f (0)=12,f (3)=3,因此，函數(shù) f(x)=x3-12x+12在0, 3上的 最大值為12，最小值為-4。求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值 (極大值與極小值); 將函數(shù)y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)即端點的函數(shù)值作比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值. 求函數(shù)y=f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下練習1、求函數(shù)y=5-36x+3x2+4x3在區(qū)間 -2,2上的最大值與最小值。由于f(-2)=57, f(1.5)=-28.75, f(2)=-23所以函數(shù)的最大值為57，最小值為-28.75解： =-36+6x+12x2=6(2x2+x-6)

4、(xf 令 =0,解得x1=-2 , x2=1.5)(xf 練習2、求函數(shù)f(x)=x3-3x2+6x-2在區(qū)間 -1,1上的最值。解： =3x2-6x+6=3(x2-2x+2)(xf 由于 在-1,1內(nèi)恒大于0, )(xf 所以 f(x)在-1,1上是增函數(shù)，故當x=-1時，f(x)獲得最小值-12；當x=1時，f(x)獲得最大值2。例2、知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a;(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)假設f(x)在區(qū)間-2,2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。令 0,解得x3)(xf 解: (1) =-3x2+6x+9)(xf 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (-,-

5、1) (3,+)oxy-123NoImageaxxxxf93)(23(2) f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+af(2)f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2f(x)=-x3+3x2+9x-2f(x)在-1,2上單調(diào)遞增在(-1,3)上 0, )(xf 又由于f(x)在-2,-1上單調(diào)遞減，即函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,2上的最小值為-7。 f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間-2,2上的 最大值和最小值。f(-1)=1+3-9-2=-7,例3、證明：當x0時，xln(1+x)01111)(,0 xxxxfx時當解：設f(x)=x-ln(1+x)

6、.即xln(1+x).又由于f(x)在x=0處延續(xù)，所以f(x)在x0上單調(diào)遞增，從而當x0時，有f(x)=x-ln(1+x)f(0)=0練習3:當x1時,證明不等式:.132xx 證:設 ,132)(xxxf ).11 (111)(2xxxxxxf 顯然f(x)在1,+)上延續(xù),且f(1)=0.顯然,當x1時, ,故f(x)是1,+)上的增函數(shù).0)( xf所以當x1時,f(x)f(1)=0,即當x1時,.132xx 例4、求證22) 1(2) 1(1xxxx32)1 (321) 1(211lnxxxx)0() 1(321) 1(211ln)(32xxxxxxf證明：設)1( 211)1(2xxx22) 1( 2) 1(11)(xxxxxf)1(21)1(22xxxx)12() 1(22xxx2321) 1(xxx在x=1附近 由負到正)(xf令 =0,解得x=1,)(xf當x=1時，f(x)有極小值，這里也是最小值所以當x0時，f(x) f(1)=032)1 (321) 1(211lnxxxx從而小小 結(jié)結(jié):求函數(shù)y=f(x)在(a