三角函數(shù)的正交性

1、第七節(jié)第七節(jié)一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一章 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運動 :)sin(tAy(諧波函數(shù))( A為振幅, 復雜的周期運動 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函數(shù)項級數(shù))sincos(210 xnbxnaannk為角頻率, 為初相 )(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxnkxnkd)cos()

2、cos(21定理定理 1. 組成三角級數(shù)的函數(shù)系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx證證:1xnxdcos1xnxdsin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可證 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交 ,上的積分等于 0 .即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在0dsincosxxnxk)(nk 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上的積分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且

3、有 但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理定理 2 . 設 f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端級數(shù)可逐項積分, 則有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn證證: 由定理條件,10dsindcosd2)(nnnxxnbxxnaxadxxf0a,對在逐項積分, 得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxkaxxkxfdcos2dcos)(01nxxnxkandcoscosxxnxkbndsinc

4、osxxkakdcos2kaxxkxfakdcos)(1),2, 1(k(利用正交性),2, 1(dsin)(1kxxkxfbkxxfad)(10類似地, 用 sin k x 乘 式兩邊, 再逐項積分可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) ;10sincos2)(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 確定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里的傅傅里里葉級數(shù)葉級數(shù) .稱為函數(shù))(xf 傅里葉 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開

5、定理展開定理)設 f (x) 是周期為2的周期函數(shù), 并滿足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件:1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點, 則 f (x) 的傅里里葉級數(shù)收斂 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點其中nnba ,( 證明略證明略 )為 f (x) 的傅里里葉系數(shù) . x 為連續(xù)點注意注意: 函數(shù)展成傅里里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.簡介 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設 f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達式為),xxxf0,

6、10,1)(解解: 先求傅里里葉系數(shù)xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n將 f (x) 展成傅里里葉級數(shù). oyx11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n當,6,4,2n當xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于02112)

7、 傅氏級數(shù)的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11說明說明:), 2, 1, 0(kkx當f (x) 的情況見右圖.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xoy例例2.上的表達式為),xxxxf0,00,)(將 f (x) 展成傅里里葉級數(shù). 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332設 f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2,

8、 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx說明說明: 當) 12(kx時, 級數(shù)收斂于22)(0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 , )(xxf周期延拓)(xF傅里里葉展開,)(在xf上的傅里里葉級數(shù)定義在定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)的傅氏級數(shù)展開法的傅氏級數(shù)展開法), , )(xxf, )2(kxf其它機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 將函數(shù)xxxxxf0, 0,)(級數(shù) .oy

9、x則xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2nnxnnxx解解: 將 f (x)延拓成以 展成傅里里葉2為周期的函數(shù) F(x) , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.當 x = 0 時, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n說明說明:機動 目錄

10、上頁 下頁 返回 結(jié)束 42,421312242設,413121122222217151311,6141212222已知82122234131211又21213624822212248222機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1. 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理定理4 . 對周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里里葉級數(shù)為余弦級數(shù) ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅

11、里里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里里葉系數(shù)為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 設的表達式為 f (x)x ,將 f (x) 展成傅里里葉級數(shù).是周期為2 的周期函數(shù),它在上),)(xf解解: 若不計),2, 1,0() 12(kkx是則)(xf周期為 2 的奇函數(shù), yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n1根據(jù)收斂定理可得 f (x) 的正弦級數(shù):)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin)

12、1(1),1,0,) 12(kkxyxo級數(shù)的部分和 n2n3n4上在),逼近 f (x) 的情況見右圖.n5機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 將周期函數(shù)tEtusin)(展成傅里里葉級數(shù), 其中E 為正常數(shù) .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期為2 的周期偶函數(shù) , 因此0d)(2ttu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 t 2cos310d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1(k1a0)(t

13、u)(t,) 14(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 在0,上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù),0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓xoy正弦級數(shù) f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1xyo例例6. 將函數(shù))0(1)(xxxf分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù) . 解解: 先求正弦級數(shù).

14、 去掉端點, 將 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,1knb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端點 x = 0, , 級數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 再求余弦級數(shù).x1y將)(xf則有o0a0d) 1(2xxna0dc

15、os) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 121xxcosx3cos312)0( xx5cos512說明說明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1yox內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為 2 的函數(shù)的傅里里葉級數(shù)及收斂定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(間斷點x其中xxnxfandcos)(1xxnxfb

16、ndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意: 若0 x為間斷點,則級數(shù)收斂于2)()(00 xfxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 周期為 2 的奇、偶函數(shù)的傅里里葉級數(shù) 奇函數(shù)正弦級數(shù) 偶函數(shù)余弦級數(shù)3. 在 0 , 上函數(shù)的傅里里葉展開法 作奇周期延拓 , 展開為正弦級數(shù) 作偶周期延拓 , 展開為余弦級數(shù)1. 在 0 , 上的函數(shù)的傅里里葉展開法唯一嗎 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同級數(shù)就不同 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習處收斂于2.)(xf0 x,1 x0,12x則它的傅里里葉級數(shù)在x在4x處收斂于 .提示提示:2)()(f

17、f2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102設周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,xyo110 x3. 設,0,)(2xxxxf又設)(xS求當)()2,(xSx時的表達式 .解解: 由題設可知應對)(xf作奇延拓:)(xFxxx0,20 x,00 x,2xx,),(上在; )()(xFxS由周期性:,)2,(上在)2()(xSxS)0,(2x2)2()2(xx2223xx2在是)(xf2), 0(內(nèi)以為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù), 定義域機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 寫出函數(shù))(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏級數(shù)

18、的和函數(shù) .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyo11)(xf備用題備用題 1.2)(xxxf函數(shù))(x葉級數(shù)展式為, )sincos(210nnnnxbnxaa則其中系. 3b數(shù)提示提示:xxxfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21xx3sin0 x3cos31x3sin91)3sin93cos3(2xxx03232利用“偶倍奇零”(93 考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的傅里 2. 設)(xf是以 2 為周期的函數(shù) , 其傅氏系數(shù)為,na則)()(為常數(shù)hhxf的傅氏系數(shù). , nnba提示提示:xdxnfancos)(1hxthtntfhhd)(cos)(1tt ntfnhdsin)(sin1nanh cosnbnhsinhxt令ttntfnhdcos)(cos1nhbnhannsincosnhanhbnnsincoshh利用周期函數(shù)性質(zhì),nb機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 傅里葉傅里葉 (1768 1830)法國數(shù)學家. 他的著作熱的解析 理論(1822) 是數(shù)學史上一部經(jīng)典性 書中系統(tǒng)的運用了三角級數(shù)和 三角積分