第1章_矢量分析與場論

1、電磁場與電磁波電磁場與電磁波鞠秀妍鞠秀妍課程體系課程體系電磁理論電磁理論電磁基本理論電磁基本理論電磁工程電磁工程電磁場源與場電磁場源與場的關系的關系電磁波在空間電磁波在空間傳播的基本規(guī)律傳播的基本規(guī)律 產(chǎn)生、輻射、產(chǎn)生、輻射、傳播、接收傳播、接收電磁干擾電磁干擾電磁兼容電磁兼容各方面的應用各方面的應用l抽象抽象看不見、摸不著看不見、摸不著l復雜復雜時域、頻域、空域、極化時域、頻域、空域、極化l要求具有較濃厚的數(shù)學功底和較強的空間想像要求具有較濃厚的數(shù)學功底和較強的空間想像力力l應用廣泛應用廣泛課程特點課程特點電磁場理論的發(fā)展史電磁場理論的發(fā)展史l1785年法國年法國庫侖庫侖(17361806)

2、定律定律l1820年丹麥年丹麥奧斯特奧斯特(17771851)發(fā)現(xiàn)電流的磁場發(fā)現(xiàn)電流的磁場l1820年法國年法國安培安培(17751836)電流回路間作用力電流回路間作用力l1831年英國年英國法拉第法拉第電磁感應定律電磁感應定律 變化的磁場產(chǎn)生電場變化的磁場產(chǎn)生電場l1873年英國年英國麥克斯韋麥克斯韋(18311879) 位移電流時變電場產(chǎn)生磁場位移電流時變電場產(chǎn)生磁場 麥氏方程組麥氏方程組l1887年德國年德國赫茲赫茲(18571894) 實驗證實麥氏方程組實驗證實麥氏方程組電磁波的存在電磁波的存在l近代俄國的波波夫和意大利的馬可尼近代俄國的波波夫和意大利的馬可尼電磁波傳消息電磁波傳消息

3、l無線電無線電l當今電信時代當今電信時代“電電”、“光光”通信通信電磁應用電磁應用l射線射線l醫(yī)療上用醫(yī)療上用射線作為射線作為“手術刀手術刀”來切除腫瘤來切除腫瘤 l x 射線射線l醫(yī)療、飛機安檢，醫(yī)療、飛機安檢，X射線用于透視檢查射線用于透視檢查l紫外線紫外線l醫(yī)學殺菌、防偽技術、日光燈醫(yī)學殺菌、防偽技術、日光燈l可見光可見光l七色光七色光(紅、橙、黃、綠、青、藍、紫紅、橙、黃、綠、青、藍、紫 ）l紅外線紅外線l在特定的紅外敏感膠片上能形成熱成像（熱感應）在特定的紅外敏感膠片上能形成熱成像（熱感應）l微波微波l軍事雷達、導航、電子對抗軍事雷達、導航、電子對抗l微波爐微波爐l無線電波無線電波l

4、通信、遙感技術通信、遙感技術本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容l1、矢量及其代數(shù)運算、矢量及其代數(shù)運算l2、圓柱坐標系和球坐標系、圓柱坐標系和球坐標系l3、矢量場、矢量場l4、標量場、標量場l5、亥姆霍茲定理、亥姆霍茲定理1.11.1矢量及其代數(shù)運算矢量及其代數(shù)運算l1.1.1標量和矢量標量和矢量 電磁場中遇到的絕大多數(shù)物理量，電磁場中遇到的絕大多數(shù)物理量， 能夠容易地區(qū)分能夠容易地區(qū)分為標量（為標量（Scalar）和矢量）和矢量(Vector)。 一個僅用大小就能一個僅用大小就能夠完整描述的物理量稱為標量，夠完整描述的物理量稱為標量， 例如，例如， 電壓、溫度、電壓、溫度、時間、質(zhì)量、電荷等。時間、質(zhì)

5、量、電荷等。 實際上，實際上， 所有實數(shù)都是標量。所有實數(shù)都是標量。 一個有大小和方向的物理量稱為矢量，一個有大小和方向的物理量稱為矢量， 電場、磁場、電場、磁場、力、速度、力矩等都是矢量。例如，力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量矢量A可以表示可以表示成成 A=aA 其中，其中， A是矢量是矢量A的大小的大小; a代表矢量代表矢量A的方向，的方向， a=A/A其大小等于其大小等于1。 一個大小為零的矢量稱為一個大小為零的矢量稱為空矢空矢（Null Vector）或）或零矢零矢（Zero Vector），一個大小為），一個大小為1的矢量稱為單位矢量的矢量稱為單位矢量（Unit Vector）

6、。在直角坐標系中，用單位矢量）。在直角坐標系中，用單位矢量ax、ay、az表征矢量分別沿表征矢量分別沿x、y、 z軸分量的方向。軸分量的方向。 空間的一點空間的一點P(X,Y,Z)能夠由它在三個相互垂直的軸線能夠由它在三個相互垂直的軸線上的投影唯一地被確定，如圖上的投影唯一地被確定，如圖1-1所示。從原點指向所示。從原點指向點點P的矢量的矢量r稱為位置矢量稱為位置矢量(Position Vector)，它在直角，它在直角坐標系中表示為坐標系中表示為 r=axX+ayY+azZP(X, Y, Z)zZyxXYOrazaxay圖圖1-1 直角坐標系中一點的投影直角坐標系中一點的投影 X、Y、Z是位

7、置矢量是位置矢量r在在x、y、z軸上的投影。軸上的投影。任一矢量任一矢量A在三維正交坐標系中都可以給出其三在三維正交坐標系中都可以給出其三個分量。例如，在直角坐標系中，矢量個分量。例如，在直角坐標系中，矢量A的三個的三個分量分別是分量分別是Ax、Ay、Az，利用三個單位矢量，利用三個單位矢量ax、ay、 az 可以將矢量可以將矢量A表示成：表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量矢量A的大小為的大小為A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 1.1.21.1.2矢量的加法和減法矢量的加法和減法 矢量相加的平行四邊形法則矢量相加的平行四邊形法則 ，矢量的加法的坐，矢量的加法的坐標分量是

8、兩矢量對應坐標分量之和，矢量加法標分量是兩矢量對應坐標分量之和，矢量加法的結(jié)果仍是矢量的結(jié)果仍是矢量 1.1.3矢量的乘積矢量的乘積矢量的乘積包括標量積和矢量矢量的乘積包括標量積和矢量積。積。 1） 標量積標量積任意兩個矢量任意兩個矢量A與與B的標量積的標量積(Scalar Product)是一個標量，是一個標量， 它等于兩個矢量的大小與它它等于兩個矢量的大小與它們夾角的余弦之乘積，如圖們夾角的余弦之乘積，如圖1-2所示，所示， 記為記為 AB=AB cos BcosAB 圖圖1-2 標量積標量積例如，直角坐標系中的單位矢量有下列關系例如，直角坐標系中的單位矢量有下列關系式：式： axay=a

9、yaz= axaz=0 axax=ayay=azaz=1 任意兩矢量的標量積，用矢量的三個分量表任意兩矢量的標量積，用矢量的三個分量表示為示為 AB=AxBx+AyBy+AzBz 標量積服從交換律和分配律，即標量積服從交換律和分配律，即 AB=BA A(B+C)=AB+AC 2） 矢量積矢量積 任意兩個矢量任意兩個矢量A與與B的矢量積（的矢量積（Vector Product）是一個矢量，矢量積的大小等于兩個矢量的大是一個矢量，矢量積的大小等于兩個矢量的大小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢小與它們夾角的正弦之乘積，其方向垂直于矢量量A與與B組成的平面，組成的平面， 如圖如圖1-3所示，記為

10、所示，記為 C=AB=anAB sin an=aAaB （右手螺旋）（右手螺旋）CBAanaBaAOC ABBA(a)(b) 圖圖 1 - 3 矢量積的圖示及右手螺旋矢量積的圖示及右手螺旋 (a) 矢量積矢量積 (b) 右手螺旋右手螺旋 矢量積又稱為叉積矢量積又稱為叉積(Cross Product)，如果兩個不，如果兩個不為零的矢量的叉積等于零，則這兩個矢量必然為零的矢量的叉積等于零，則這兩個矢量必然相互平行，或者說，兩個相互平行矢量的叉積相互平行，或者說，兩個相互平行矢量的叉積一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服一定等于零。矢量的叉積不服從交換律，但服從分配律，即從分配律，即 AB= -

11、BA A(B+C)=AB+AC 直角坐標系中的單位矢量有下列關系式：直角坐標系中的單位矢量有下列關系式： axay=az, ayaz=ax, azax=ay axax=ayay=azaz= 0 在直角坐標系中，在直角坐標系中， 矢量的矢量的叉積叉積還可以表示為還可以表示為zyxzyxBBBAAAzyxaaaB BA A =ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx)ya結(jié)論結(jié)論l矢量的加減運算同向量的加減，符合平行四邊矢量的加減運算同向量的加減，符合平行四邊形法則形法則l任意兩個矢量的點積是一個標量，任意兩個矢任意兩個矢量的點積是一個標量，任意兩個矢量的叉

12、積是一個矢量量的叉積是一個矢量l如果兩個不為如果兩個不為零零的矢量的點積等于的矢量的點積等于零零，則這兩，則這兩個矢量必然個矢量必然互相垂直互相垂直l如果兩個不為如果兩個不為零零的矢量的叉積等于的矢量的叉積等于零零，則這兩，則這兩個矢量必然個矢量必然互相平行互相平行1.2 1.2 圓柱坐標系和球坐標系圓柱坐標系和球坐標系l1.2.1 1.2.1 圓柱坐標系圓柱坐標系l空間任一點空間任一點P P的位置的位置 可以用圓柱坐標系可以用圓柱坐標系 中的三個變量中的三個變量 來表示。來表示。l圓柱坐標系中也有三個相互圓柱坐標系中也有三個相互垂直的坐標面。垂直的坐標面。l平面平面 表示一個以表示一個以z軸

13、為軸線的半徑軸為軸線的半徑為為 的圓柱面。的圓柱面。 平面平面 表示一個以表示一個以z為界的半平面。為界的半平面。 平面平面z=常數(shù)常數(shù) 表示一個平行于表示一個平行于xy平面的平面。平面的平面。22xy arctan( )yx 002z l圓柱坐標系中的三個單位矢量為圓柱坐標系中的三個單位矢量為 ,分別指分別指向向 增加的方向。三者始終保持正交關系。增加的方向。三者始終保持正交關系。（課本（課本P4）l圓柱坐標系的位置矢量圓柱坐標系的位置矢量l圓柱坐標系中的單位矢量與直角坐標系的單位矢圓柱坐標系中的單位矢量與直角坐標系的單位矢量之間的關系：量之間的關系： ,zaaazzraacossinxya

14、aa( sin )cos xyaaal矩陣形式：矩陣形式：cossinsincos00 xyzaaazaaal三個坐標面的面元矢量與體積元：三個坐標面的面元矢量與體積元：zzddl dld dzddl dld dzddl dld ddVd d dz zzzSaaSaaSaa1.2.21.2.2球坐標系：球坐標系：l球坐標系中，空間任意一點球坐標系中，空間任意一點P P可用三個可用三個 坐標變量（坐標變量（ ) )來表示。來表示。, r l球坐標系也有三個坐標面：球坐標系也有三個坐標面： 表示一個半徑為表示一個半徑為r的球面。的球面。 坐標面坐標面 =常數(shù)，表示一個以原點為頂點、以常數(shù)，表示一個

15、以原點為頂點、以z軸軸為軸線的圓錐面。為軸線的圓錐面。 坐標面坐標面 表示一個以表示一個以z軸為界的半平面。軸為界的半平面。 222rxyzarctan( )yx0002r l球坐標系的位置矢量可表示為：球坐標系的位置矢量可表示為：l球坐標系中的三個單位矢量互相正交，遵守右手球坐標系中的三個單位矢量互相正交，遵守右手螺旋法則。（課本螺旋法則。（課本P6） rrral球坐標系與直角坐標系的單位矢量的轉(zhuǎn)換：球坐標系與直角坐標系的單位矢量的轉(zhuǎn)換：sin coscoscossinsin sincos sincoscossinxyzaaaraaal面元矢量和體積元：面元矢量和體積元：22sinsinsi

16、nrrrddl dlrd dddl dlrdrdddl dlrdrddVdl dl dlrdrd d rrrSaaSaaSaa1.3 1.3 矢量場矢量場1.3.1矢量場的矢量線矢量場的矢量線 矢量場空間中任意一點矢量場空間中任意一點P處的矢量可用一處的矢量可用一個矢性函數(shù)個矢性函數(shù)A=A（P）來表示。直角坐標）來表示。直角坐標中，可以表示成如下形式：中，可以表示成如下形式： ( , , )( , , )( , , )xyzA x y zA x y zA x y zxyzAaaal矢量線：在曲線上的每矢量線：在曲線上的每一點處，場的矢量都位一點處，場的矢量都位于該點處的切線上。如于該點處的切線

17、上。如電力線，磁力線等。電力線，磁力線等。l矢量線方程：矢量線方程：l直角坐標系中，其表達直角坐標系中，其表達式為：式為：l 0A drxyzdxdydzAAA0dAr例例1-2 求矢量場求矢量場A=xy2ax+x2yay+zy2az的矢量線方程。的矢量線方程。解：解： 矢量線應滿足的微分方程為矢量線應滿足的微分方程為 zydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221cyxxcz從而有從而有 解之即得矢量方程解之即得矢量方程 c1和和c2是積分常數(shù)。是積分常數(shù)。 1.3.2矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度將曲面的一個面元用矢量將曲面的一個面元用矢量dS來表示，

18、其方向取為面元的法線方來表示，其方向取為面元的法線方向，向， 其大其大小為小為dS，即，即 ddssnn是面元法線方向的單位矢量。是面元法線方向的單位矢量。A與面元與面元dS的標量積稱為矢量場的標量積稱為矢量場A穿過穿過dS的通量的通量cosdAdSAS 將曲面將曲面S各面元上的各面元上的AdS相加，它表示矢量場相加，它表示矢量場A穿過整個曲穿過整個曲面面S的通量，也稱為矢量的通量，也稱為矢量A在曲面在曲面S上的面積分：上的面積分： 如果曲面是一個封閉曲面，則如果曲面是一個封閉曲面，則 cosssdAdS AScosssdAdS ASl2、矢量場的散度、矢量場的散度zayaxazyx哈米爾頓（

19、哈米爾頓（Hamilton）算子）算子 為了方便，引入一個矢性微分算子：為了方便，引入一個矢性微分算子： 在直角坐標系中稱之為在直角坐標系中稱之為哈米爾頓算子哈米爾頓算子，是一個微，是一個微分符號，同時又要當作矢量看待。算子與矢性函分符號，同時又要當作矢量看待。算子與矢性函數(shù)數(shù)A的點積為一標量函數(shù)。在直角坐標系中，散的點積為一標量函數(shù)。在直角坐標系中，散度的表達式可以寫為度的表達式可以寫為結(jié)論結(jié)論ldivA是一標量，表示場中一點處的通量對體是一標量，表示場中一點處的通量對體積的變化率，即在該點處對一個單位體積來說積的變化率，即在該點處對一個單位體積來說所穿出的通量，稱為該點處源的強度。所穿出的

20、通量，稱為該點處源的強度。l它描述的是場分量沿各自方向上的變化規(guī)律。它描述的是場分量沿各自方向上的變化規(guī)律。l當當divA0，表示矢量場，表示矢量場A在該點處有散發(fā)通量在該點處有散發(fā)通量的正源，稱為源點；的正源，稱為源點； divA0,表示矢量場表示矢量場A在在該點處有吸收通量的負源，稱為匯點；該點處有吸收通量的負源，稱為匯點；divA=0，矢量場，矢量場A在該點處無源。在該點處無源。ldivA0的場是連續(xù)的或無散的矢量場。的場是連續(xù)的或無散的矢量場。l3、高斯散度定理、高斯散度定理l矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積矢量場散度的體積分等于矢量場在包圍該體積的閉合面上的法向分量沿閉合面的

21、面積分的閉合面上的法向分量沿閉合面的面積分.VSdVdAAS 例例 :球面球面S上任意點的位置矢量為上任意點的位置矢量為r=xax+yay+zaz，求，求 解：解： 根據(jù)散度定理知根據(jù)散度定理知 而而r的散度為的散度為 3zzyyxxr所以所以 svdSdVrsdSr33svvddVdVR rSl1.3.2矢量場的環(huán)量及旋度矢量場的環(huán)量及旋度l1、環(huán)量的定義、環(huán)量的定義 設有矢量場設有矢量場A，l為場中的一條封閉的有向曲線，為場中的一條封閉的有向曲線，定義矢量場定義矢量場A環(huán)繞閉合路徑環(huán)繞閉合路徑l的線的線 積分為該矢量的積分為該矢量的環(huán)量環(huán)量，記作，記作 矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣

22、，都是矢量的環(huán)量和矢量穿過閉合面的通量一樣，都是描繪矢量場描繪矢量場A性質(zhì)的重要物理量，同樣都是積分性質(zhì)的重要物理量，同樣都是積分量。為了知道場中每個點上旋渦源的性質(zhì)，引入量。為了知道場中每個點上旋渦源的性質(zhì)，引入矢量場矢量場旋度旋度的概念的概念。若環(huán)量不等于若環(huán)量不等于0，則在，則在L內(nèi)必然有產(chǎn)生這種場內(nèi)必然有產(chǎn)生這種場的旋渦源，若環(huán)量等于的旋渦源，若環(huán)量等于0，則在，則在L內(nèi)沒有旋渦內(nèi)沒有旋渦源。源。coslldAdl Al矢量場的環(huán)量 zxyOldlAPnPlS 閉合曲線方向與面元的方向示意圖 2、矢量場的旋度、矢量場的旋度l1）旋度的定義）旋度的定義 設設P為矢量場中的任一點，作一個包

23、含為矢量場中的任一點，作一個包含P點的微點的微小面元小面元S，其周界為，其周界為l，它的正向與面元，它的正向與面元S的的法向矢量法向矢量n成右手螺旋關系。當曲面成右手螺旋關系。當曲面S在在P點點處保持以處保持以n為法矢不變的條件下，以任意方式為法矢不變的條件下，以任意方式縮向縮向P點，取極限點，取極限limlSPdS Al若極限存在，則稱矢量場若極限存在，則稱矢量場A沿沿L正向的環(huán)量與正向的環(huán)量與面積面積S S之比為矢量場在之比為矢量場在P P點處沿點處沿n n方向的環(huán)量方向的環(huán)量面密度，即環(huán)量對面積的變化率。面密度，即環(huán)量對面積的變化率。l必存在一個固定矢量必存在一個固定矢量R，它在任意面元

24、方向上的投影，它在任意面元方向上的投影就給出該方向上的環(huán)量面密度，就給出該方向上的環(huán)量面密度，R的方向為環(huán)量面密的方向為環(huán)量面密度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值。稱度最大的方向，其模即為最大環(huán)量面密度的數(shù)值。稱固定矢量固定矢量R為矢量為矢量A的旋度。的旋度。旋度為一矢量旋度為一矢量。l rotA=Rl旋度矢量在旋度矢量在n方向上的投影為：方向上的投影為： l直角坐標系中旋度的表達式為：l一個矢量場的旋度表示該矢量場單位面積上的一個矢量場的旋度表示該矢量場單位面積上的環(huán)量，環(huán)量，描述的是場分量沿著與它相垂直的方向描述的是場分量沿著與它相垂直的方向上的變化規(guī)律上的變化規(guī)律。l若旋度不等于

25、若旋度不等于0，則稱該矢量場是有旋的，若，則稱該矢量場是有旋的，若旋度等于旋度等于0，則稱此矢量場是無旋的或保守的，則稱此矢量場是無旋的或保守的l旋度的一個重要性質(zhì)：旋度的一個重要性質(zhì)： 任意矢量旋度的任意矢量旋度的散度恒等于零散度恒等于零， 即即 ( A)0 如果有一個矢量場如果有一個矢量場B的散度等于零，則的散度等于零，則該矢量該矢量B就可以用另一個矢量就可以用另一個矢量A的旋度來的旋度來表示，即當表示，即當 B=0 則有則有 B= Al3、斯托克斯定理斯托克斯定理矢量分析中另一個重要定理是矢量分析中另一個重要定理是 dSrotAdSllA稱之為斯托克斯定理，其中稱之為斯托克斯定理，其中S

26、是閉合路徑是閉合路徑l所圍成的所圍成的面積，它的方向與面積，它的方向與l的方向成右手螺旋關系。該式表的方向成右手螺旋關系。該式表明：矢量場明：矢量場A的旋度沿曲面的旋度沿曲面S法向分量的面積分等于法向分量的面積分等于該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分。該矢量沿圍繞此面積曲線邊界的線積分。 例：已知一矢量場例：已知一矢量場F=axxy-ayzx, 試求：試求：（1） 該矢量場的旋度該矢量場的旋度;（2） 該矢量沿半徑為該矢量沿半徑為3的的四分之一圓盤的線積分，四分之一圓盤的線積分， 如圖所示，如圖所示， 驗證斯托克驗證斯托克斯定理。斯定理。 yBOxr3A四分之一圓盤 例例： 求矢量求矢量A=-

27、yax+xay+caz(c是常數(shù)是常數(shù))沿沿曲線曲線(x-2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量的環(huán)量(見圖見圖 1-6)。 解解： 由于在曲線由于在曲線l上上z=0，所以，所以dz=0。 22202222020222020202)cos2(cos2)cos(sincos)cos2(sin)sin()cos2()cos2(sin)(RdRRdRRdRRdRRdRRdRxdyydxdllA 例例:求矢量場求矢量場A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在點在點M(1，0，1)處處的旋度以及沿的旋度以及沿n=2ax+6ay+3az方向的環(huán)量面密度。方向的環(huán)量面密度。 解：解： 矢量場矢

28、量場A的旋度的旋度 ()()()()()()rotAxyzx zyy xzz yxzyxzyx xyzxyzaaaAaaa在點M(1，0，1)處的旋度 2MxyzAaaan方向的單位矢量 2221263(263)777263 xyzxyznaaaaaa在點M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度 7177327672nAM1.4 1.4 標量場標量場l一個僅用大小就可以完整表征的場稱為標量場一個僅用大小就可以完整表征的場稱為標量場l 等值面等值面l 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)l 梯度梯度l 梯度的積分梯度的積分l1、等值面、等值面l為考察標量場的空間分布，引入等值面的概念。一個標量場為考察標量場的空間分布

29、，引入等值面的概念。一個標量場可以用一個標量函數(shù)來表示。例如，標量可以用一個標量函數(shù)來表示。例如，標量 是場中點是場中點 的單值函數(shù)，它可表示為的單值函數(shù)，它可表示為l而而 是坐標變量的連續(xù)可微函數(shù)，令是坐標變量的連續(xù)可微函數(shù)，令l隨著隨著C的取值不同，得到一組曲面。在每一個曲的取值不同，得到一組曲面。在每一個曲面上的各點，雖然坐標值不同，但函數(shù)值均為面上的各點，雖然坐標值不同，但函數(shù)值均為C。這樣的曲面稱為標量場這樣的曲面稱為標量場u的等值面。的等值面。= ( , , )u u x y zu( , , )M x y z= ( , , )u u x y z( , , )=u x y zC 例如

30、溫度場中的等值面，就是由溫度相同的點例如溫度場中的等值面，就是由溫度相同的點所組成的等溫面；電位場中的等值面，就是由所組成的等溫面；電位場中的等值面，就是由電位相同的點組成的等位面。電位相同的點組成的等位面。l如果某一標量物理函數(shù)如果某一標量物理函數(shù)u僅是兩個坐標變量的僅是兩個坐標變量的函數(shù)，這種場稱為平面標量場（即二維場），函數(shù)，這種場稱為平面標量場（即二維場），則則u(x, y)=C （C為任意常數(shù)）為任意常數(shù)） 稱為等值線方程，它在幾何上一般表示一組等稱為等值線方程，它在幾何上一般表示一組等值曲線。場中的等值線互不相交。如地圖上的值曲線。場中的等值線互不相交。如地圖上的等高線，地面氣象圖

31、上的等溫線、等壓線等等等高線，地面氣象圖上的等溫線、等壓線等等都是平面標量場的等值線的例子。都是平面標量場的等值線的例子。l2、方向?qū)?shù)、方向?qū)?shù)l為了研究標量函數(shù)在場中各點的鄰域內(nèi)沿每一為了研究標量函數(shù)在場中各點的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況，引入方向?qū)?shù)。方向的變化情況，引入方向?qū)?shù)。l當上式極限存在，則稱它為當上式極限存在，則稱它為 函數(shù)函數(shù)u(P)在點在點P0處沿處沿 方向方向 的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。ll方向?qū)?shù)的計算公式：方向?qū)?shù)的計算公式：l在直角坐標系中，設在直角坐標系中，設 在點在點P0（x0,y0,z0）處）處可微，則有可微，則有l(wèi)點點P0至至P點的距離矢量為點的距離矢量為若

32、若 與與 軸的夾角分別為軸的夾角分別為 ,則則同理有同理有 ,l 也稱為也稱為 的方向余弦。的方向余弦。 = ( , , )u u x y z0( )()uuuuu Pu Pxyzxyz coscoscosuuuulxyzxyzlaxayaz , ,x y z, cosxxl al cosyl coszl lcos,coscosll例：例： 求數(shù)量場求數(shù)量場 =(x+y)2-z通過點通過點M(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。 解：點解：點M的坐標是的坐標是x0=1, y0=0, z0=1，則該點的數(shù)量場，則該點的數(shù)量場值為值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為其等值面方程

33、為 22)(0)(yxzzyx或 例例:求數(shù)量場求數(shù)量場 在點在點M(1, 1, 2)處沿處沿 l=ax+2ay+2az方向的方向?qū)?shù)。方向的方向?qū)?shù)。 解：解：l方向的方向余弦為方向的方向余弦為 zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222而而 222)(,2,2zyxzuztyuzxxu數(shù)量場在數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為方向的方向?qū)?shù)為 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在點在點M處沿處沿l方向的方向?qū)?shù)方向的方向?qū)?shù) 324232132131Mll3、梯度、梯度l 方向?qū)?shù)解決了函數(shù)方向?qū)?shù)解決了函數(shù)U(P)在給

34、定點處沿某個方向的變化在給定點處沿某個方向的變化率問題。但是從標量場中的給定點出發(fā)，有無窮多個方向，率問題。但是從標量場中的給定點出發(fā)，有無窮多個方向，函數(shù)沿其中哪個方向其變化率最大呢？最大的變化率又是函數(shù)沿其中哪個方向其變化率最大呢？最大的變化率又是多少呢？多少呢？ l對同樣的對同樣的U的增量的增量du，存在著最大的空間增長率，即最大，存在著最大的空間增長率，即最大的方向?qū)?shù)。很明顯，沿等值面的法線方向的方向?qū)?shù)最的方向?qū)?shù)。很明顯，沿等值面的法線方向的方向?qū)?shù)最大，其距離最短。大，其距離最短。l因此可定義用來表示一個標量最大因此可定義用來表示一個標量最大 空間的增長率的大小和方向的矢量空間

35、的增長率的大小和方向的矢量G， 就是標量的梯度。就是標量的梯度。 圖3-2 梯度 ln l l梯度公式：梯度公式：l梯度又可以表示為算子與標量函數(shù)相乘：梯度又可以表示為算子與標量函數(shù)相乘：l標量拉普拉斯算子：標量拉普拉斯算子：l直角坐標系中標量函數(shù)的拉普拉斯表達式：直角坐標系中標量函數(shù)的拉普拉斯表達式：2 l4、梯度的性質(zhì)：、梯度的性質(zhì)：l方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影：方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影：l在標量場中任意一點在標量場中任意一點P處的梯度垂直于過該點的等值處的梯度垂直于過該點的等值面，或說等值面法線方向就是該點的梯度方向面，或說等值面法線方向就是該點的梯度方向 由此，可將等值面由此，可將等值面 上任一點單位法向矢量表上任一點單位法向矢量表示為：示為： 0uu ll ( , , )u x y z0uunl梯度的旋度恒等于零：梯度的旋度恒等于零：0u uufufvuuvvvuuvvuuvvuvuuccuc)( )()(1)(,)()(,)(, 02l5、梯度的積分、梯度的積分l設標量場設標量場 u,標量場梯度標量場梯度F是一個無旋場，則由斯托是一個無旋場，則由斯托克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零：克斯定理可知，無旋場沿閉合路徑的積分必然為零：()