排列組合(一輪復(fù)習(xí))

1、備考方向要明了備考方向要明了1.排列組合概念及排列數(shù)、組排列組合概念及排列數(shù)、組 合數(shù)公式一般不單獨(dú)考查合數(shù)公式一般不單獨(dú)考查2.排列組合的應(yīng)用問題是高考排列組合的應(yīng)用問題是高考 的熱點(diǎn)內(nèi)容，獨(dú)立命題，題的熱點(diǎn)內(nèi)容，獨(dú)立命題，題 多為選擇、填空題，如多為選擇、填空題，如2012 年陜西年陜西T8，安徽，安徽T10，遼寧，遼寧 T5等等.1.理解排列組合的概念理解排列組合的概念2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列 數(shù)公式、組合數(shù)公式數(shù)公式、組合數(shù)公式3.能利用排列組合知識(shí)解決能利用排列組合知識(shí)解決 簡(jiǎn)單的實(shí)際問題簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.怎怎 么么 考考考考 什什 么么歸納歸納知識(shí)整合知識(shí)整合

2、1排列與排列數(shù)公式排列與排列數(shù)公式(1)排列與排列數(shù)排列與排列數(shù)n(n1)(n2)(nm1)n！11 探究探究1.排列與排列數(shù)有什么區(qū)別？排列與排列數(shù)有什么區(qū)別？ 提示：排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念，排列是一個(gè)提示：排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)，而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，是一具體的排法，不是數(shù)，而排列數(shù)是所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)個(gè)正整數(shù) 2組合與組合數(shù)公式組合與組合數(shù)公式 (1)組合與組合數(shù)組合與組合數(shù)1 探究探究2.如何區(qū)分一個(gè)問題是排列問題還是組合問題？如何區(qū)分一個(gè)問題是排列問題還是組合問題？ 提示：看選出的元素與順序是否有關(guān)，若與順序有關(guān)，提示：看選出的

3、元素與順序是否有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問題，若與順序無關(guān)，則是組合問題則是排列問題，若與順序無關(guān)，則是組合問題自測(cè)自測(cè)牛刀小試牛刀小試112名選手參加校園歌手大獎(jiǎng)賽，大賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、名選手參加校園歌手大獎(jiǎng)賽，大賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一種獎(jiǎng)項(xiàng)，則不同的獲獎(jiǎng)種三等獎(jiǎng)各一名，每人最多獲得一種獎(jiǎng)項(xiàng)，則不同的獲獎(jiǎng)種數(shù)是數(shù)是 ()答案：答案：C2異面直線異面直線a，b上分別有上分別有4個(gè)點(diǎn)和個(gè)點(diǎn)和5個(gè)點(diǎn)，由這個(gè)點(diǎn)，由這9個(gè)點(diǎn)可以個(gè)點(diǎn)可以確定的平面?zhèn)€數(shù)是確定的平面?zhèn)€數(shù)是 ()答案：答案：B答案：答案：B3將將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安名學(xué)生分配到甲、乙兩

4、個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排兩名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有排兩名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有 ()A252種種 B112種種C20種種 D56種種答案：答案：344從從4名男生和名男生和3名女生中選出名女生中選出4人擔(dān)任奧運(yùn)志愿者，若人擔(dān)任奧運(yùn)志愿者，若選出的選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有人中既有男生又有女生，則不同的選法共有_種種5如圖如圖M，N，P，Q為海上四個(gè)小島，現(xiàn)要建造三座橋，為海上四個(gè)小島，現(xiàn)要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方法有將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方法有_種種答案：答案：16排列問題排列問題 例例13名男生，名男生，4名女生，

5、按照不同的要求排隊(duì)，求名女生，按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)：不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)： (1)選其中選其中5人排成一排；人排成一排； (2)排成前后兩排，前排排成前后兩排，前排3人，后排人，后排4人；人； (3)全體站成一排，男、女各站在一起；全體站成一排，男、女各站在一起； (4)全體站成一排，男生不能站在一起；全體站成一排，男生不能站在一起； (5)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾 本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少本例中若全體站成一排，男生必須站在一起，有多少中排法？中排法？解決排列類應(yīng)用題的主要方法解決排列類應(yīng)用題的主要

6、方法 (1)直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算；直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算； (2)特殊元素特殊元素(或位置或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；素或特殊位置； (3)捆綁法：相鄰問題捆綁處理的方法，即可以把相鄰捆綁法：相鄰問題捆綁處理的方法，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列；的內(nèi)部排列； (4)插空法：不相鄰問題插空處理的方法，即先考慮插空法：不相鄰問題插空處理的方法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素不受限制的元素的排列，

7、再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中；排列的空當(dāng)中； (5)分排問題直排處理的方法；分排問題直排處理的方法； (6)“小集團(tuán)小集團(tuán)”排列問題中先集體后局部的處理方法；排列問題中先集體后局部的處理方法； (7)定序問題除法處理的方法，即可以先不考慮順序限定序問題除法處理的方法，即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列制，排列后再除以定序元素的全排列1一位老師和一位老師和5位同學(xué)站成一排照相，老師不站在兩端的位同學(xué)站成一排照相，老師不站在兩端的排法排法 () A450 B460 C480 D500答案：答案：C2排一張有排一張有5個(gè)歌唱節(jié)目和個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單個(gè)舞

8、蹈節(jié)目的演出節(jié)目單(1)任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？(2)歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？組合問題組合問題 例例2要從要從5名女生，名女生，7名男生中選出名男生中選出5名代表，按下名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？列要求，分別有多少種不同的選法？(1)至少有至少有1名女生入選；名女生入選；(2)至多有至多有2名女生入選；名女生入選；(3)男生甲和女生乙入選；男生甲和女生乙入選；(4)男生甲和女生乙不能同時(shí)入選；男生甲和女生乙不能同時(shí)入選；(5)男生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選男生甲、女生

9、乙至少有一個(gè)人入選 組合兩類問題的解法組合兩類問題的解法 (1)“含含”與與“不含不含”的問題：的問題：“含含”，則先將這些元素取，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含不含”，則先將這些元素剔除，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取再從剩下的元素中去選取 (2)“至少至少”、“最多最多”的問題：解這類題必須十分重視的問題：解這類題必須十分重視“至少至少”與與“最多最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解用直接法或間接法都可以求解通常用直接法分類復(fù)解用直接法或間接法都可以求解通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理雜時(shí)

10、，考慮逆向思維，用間接法處理3某校開設(shè)某校開設(shè)A類選修課類選修課3門，門，B類選修課類選修課4門，一位同學(xué)從門，一位同學(xué)從中選中選3門若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的門若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有選法共有 ()A30種種B35種種C42種種D48種種答案：答案：A排列、組合的綜合應(yīng)用排列、組合的綜合應(yīng)用 例例3有有5個(gè)男生和個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任人擔(dān)任5門不門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列的選法數(shù)：同學(xué)科的科代表，求分別符合下列的選法數(shù)： (1)有女生但人數(shù)必須少于男生；有女生但人數(shù)必須少于男生； (2)某女生一定擔(dān)任語文科代表；某女生一定

11、擔(dān)任語文科代表； (3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表；某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表； (4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表，某男生必須擔(dān)任某女生一定要擔(dān)任語文科代表，某男生必須擔(dān)任科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表科代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表求解排列、組合綜合題的一般思路求解排列、組合綜合題的一般思路 排列、組合的綜合問題，一般是將符合要求的元素排列、組合的綜合問題，一般是將符合要求的元素取出取出(組合組合)或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列其中分組時(shí)，要注意排列其中分組時(shí)，要注意“平均分組平均分組”與與“不平均分組不平均分組”的的差異及

12、分類的標(biāo)準(zhǔn)差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)44個(gè)不同的球，個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)(1)恰有恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？個(gè)盒不放球，共有幾種放法？(2)恰有恰有1個(gè)盒內(nèi)有個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？個(gè)球，共有幾種放法？(3)恰有恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？個(gè)盒不放球，共有幾種放法？識(shí)別方法識(shí)別方法排排列列若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān)列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān)組組合合若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，

13、則是排列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān)列問題，即排列問題與選取元素順序有關(guān) (1)解排列、組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元解排列、組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)原理作最后處理素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)原理作最后處理 (2)解受條件限制的組合題，通常用直接法解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類合理分類)和間和間接法接法(排除法排除法)來解決分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺來解決分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏漏 (3)對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，處理這類選擇題可采

14、用排除法分析選項(xiàng)，錯(cuò)誤的答案都是犯處理這類選擇題可采用排除法分析選項(xiàng)，錯(cuò)誤的答案都是犯有重復(fù)或遺漏有重復(fù)或遺漏.創(chuàng)新交匯創(chuàng)新交匯幾何圖形中的排列組合問題幾何圖形中的排列組合問題 1排列、組合問題的應(yīng)用一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，排列、組合問題的應(yīng)用一直是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，高考中除了以實(shí)際生活為背景命題外，還經(jīng)常與其他知識(shí)結(jié)高考中除了以實(shí)際生活為背景命題外，還經(jīng)常與其他知識(shí)結(jié)合交匯命題合交匯命題 2解答此類問題應(yīng)注意以下問題：解答此類問題應(yīng)注意以下問題： (1)仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題；仔細(xì)審題，判斷是排列問題還是組合問題； (2)對(duì)限制條件較為復(fù)雜的排列組合問題，可分解為若干對(duì)限制

15、條件較為復(fù)雜的排列組合問題，可分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的基本問題后再用兩個(gè)原理來解決；個(gè)簡(jiǎn)單的基本問題后再用兩個(gè)原理來解決； (3)由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，可采用多種不同的方法求解，看結(jié)果是否相同來檢驗(yàn)證，可采用多種不同的方法求解，看結(jié)果是否相同來檢驗(yàn) 典例典例(2011湖北高考湖北高考)給給n個(gè)自上而下相連的正方個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色當(dāng)形著黑色或白色當(dāng)n4時(shí)，在所有不同的著色方案中，時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： 由此推斷，當(dāng)由此推斷，當(dāng)n

16、6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有案共有_種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有案共有_種種(結(jié)果用數(shù)值表示結(jié)果用數(shù)值表示)答案答案 2143 1本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)本題有以下創(chuàng)新點(diǎn) (1)命題背景的創(chuàng)新：本題以平面幾何中的著色問命題背景的創(chuàng)新：本題以平面幾何中的著色問題為背景，讓學(xué)生根據(jù)所給圖形，歸納探究著色問題為背景，讓學(xué)生根據(jù)所給圖形，歸納探究著色問題題 (2)考查方式的創(chuàng)新：在切入點(diǎn)上一改往日直來直考查方式的創(chuàng)新：在切入點(diǎn)上一改往日直來直去的文字語言敘述，而是以圖形語言的形式呈現(xiàn)，考去的文字語言敘述，而是以圖形語言的

17、形式呈現(xiàn)，考查了學(xué)生對(duì)圖形語言的理解能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)查了學(xué)生對(duì)圖形語言的理解能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力用能力 2解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)解決本題的關(guān)鍵點(diǎn) (1)由由n1,2,3,4時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案種數(shù)的規(guī)律，歸納種數(shù)的規(guī)律，歸納n6時(shí)的情況；時(shí)的情況； (2)求至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案種數(shù)可求至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案種數(shù)可考慮利用對(duì)立事件求解考慮利用對(duì)立事件求解 3解決與圖形有關(guān)的排列組合問題的注意事項(xiàng)解決與圖形有關(guān)的排列組合問題的注意事項(xiàng) 需要強(qiáng)化對(duì)圖形語言的理解訓(xùn)練，強(qiáng)化常用方法的需要強(qiáng)化對(duì)圖形語言的理解訓(xùn)練，強(qiáng)化常用方法

18、的訓(xùn)練，理解體會(huì)解題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法，才能快訓(xùn)練，理解體會(huì)解題中運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和方法，才能快速正確地解決排列組合問題速正確地解決排列組合問題 (2012安徽高考安徽高考)6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品已知位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次次交換，則收到交換，則收到4份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為 ()A1或或3 B1或或4C2或或3 D2或或4解析：不妨設(shè)解析：不妨設(shè)6位同學(xué)分別為位同學(xué)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，列舉交，列舉交換紀(jì)念品的所有情況為換紀(jì)念品的所有情況為AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共有，共有15種因種因?yàn)闉?位同學(xué)之間共進(jìn)行了位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，即缺少以上交換中的次交換，即缺少以上