排列組合公式全

1、排列組合公式排列定義 ?從 n 個不同的元素中，取 r 個不重復的元素，按次序排列，稱為從 n 個中取 r 個的無重排列。排列的全體組成的集合用P(n,r表示。排列的個數用P(n,r表示。當r=n時稱為全排列。一般不說可重即無重?？芍嘏帕械南鄳浱枮镻(n,r),P(n,r)。組合定義 從 n 個不同元素中取 r 個不重復的元素組成一個子集，而不考慮其元素的順序， 稱為從 n 個中取 r 個的無重組合。組合的全體組成的集合用 C(n,r)表示，組合的個數用C(n,r)表示，對應于可重組合有記號 C(n,r),C(n,r)。一、排列組合部分是中學數學中的難點之一，原因在于(1) 從千差萬別的實際

2、問題中抽象出幾種特定的數學模型，需要較強的抽象思維能力；(2) 限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞(特別是邏輯關聯(lián)詞和量詞 )準確理解；(3) 計算手段簡單， 與舊知識聯(lián)系少， 但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大；(4) 計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具 有較強的分析能力、兩個基本計數原理及應用(1)加法原理和分類計數法1加法原理2加法原理的集合形式3分類的要求每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重 )；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類 (即分類不漏 )(2)乘法原理和分步計

3、數法1乘法原理2合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務， 必須且只須連續(xù)完成這 n 步才能完成此任務； 各步計數相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同例 1：用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 組成數字不重復的六位數集合 A 為數字不重復的九位數的集合， S（ A）=9！集合 B 為數字不重復的六位數的集合。把集合 A 分為子集的集合，規(guī)則為前 6 位數相同的元素構成一個子集。顯然各子集沒有共同元素。每個子集元素的個數，等于剩余的 3 個數的全排列，即 3！這時集合B的元素與A的子集存在一一對應關系，則S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！這就

4、是我們用以前的方法求出的 P（9， 6）例 2：從編號為 1-9的隊員中選 6 人組成一個隊，問有多少種選法？ 設不同選法構成的集合為 C,集合B為數字不重復的六位數的集合。把集合 B分為子集的 集合， 規(guī)則為全部由相同數字組成的數組成一個子集， 則每個子集都是某 6 個數的全排列， 即每個子集有 6！個元素。這時集合 C 的元素與 B 的子集存在一一對應關系,則S（B）=S（C）*6！S（C）=9！/3！/6！這就是我們用以前的方法求出的 C（9, 6）以上都是簡單的例子, 似乎不用弄得這么復雜。 但是集合的觀念才是排列組合公式的來源, 也是對公式更深刻的認識。大家可能沒有意識到,在我們平時

5、數物品的數量時,說 1, 2,3, 4, 5,一共有 5 個,這時我們就是在把物品的集合與集合（ 1, 2, 3, 4, 5）建立一一 對應的關系,正是因為物品數量與集合（ 1, 2, 3, 4, 5）的元素個數相等,所以我們才 說物品共有 5 個。我寫這篇文章的目的是把這些潛在的思路變得清晰,從而能用它解決更 復雜的問題。例 3：9 個人坐成一圈,問不同坐法有多少種？9 個人排成一排,不同排法有 9！種,對應集合為前面的集合 A9 個人坐成一圈的不同之處在于，沒有起點和終點之分。設集合 D 為坐成一圈的坐法的集 合。以任何人為起點，把圈展開成直線，在集合 A中都對應不同元素，但在集合 D中相

6、當 于同一種坐法，所以集合 D 中每個元素對應集合 A 中 9個元素，所以 S（ D ） =9！ /9我在另一篇帖子中說的方法是先固定一個人，再排其他人，結果為8！。這個方法實際上是找到了一種集合A與集合D之間的對應關系。用集合的思路解決問題的關鍵就是尋找集合之間的對應關系，使一個集合的子集與另一個集合的元素形成一一對應的關系。例 4：用 1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數字不重復的九位數，但要求 1 排在 2前面，求 符合要求的九位數的個數。集合A為9個數的全排列，把集合A分為兩個集合B、C,集合B中1排在2前面，集合C中 1 排在 2 后面。則 S（B）+S（C）=S（A）在集合B、

7、C之間建立以下對應關系：集合 B中任一元素1和2位置對調形成的數字，對應集合 C 中相同數字。則這個對應關系為一一對應。因此 S（B）=S（C）=9！/2以同樣的思路可解出下題： 從1、2、3，9這九個數中選出3個不同的數作為函數y=ax*x+bx+c的系數，且要求abc，問這樣的函數共有多少個？例 5： M 個球裝入 N 個盒子的不同裝法，盒子按順序排列。這題我們已經討論過了，我再用更形象的方法說說。假設我們把 M 個球用細線連成一排，再用 N-1 把刀去砍斷細線，就可以把 M 個球按順序 分為 N 組。則 M 個球裝入 N 個盒子的每一種裝法都對應一種砍線的方法。而 砍線的方法 等于 M 個球與 N-1 把刀的排列方式 （如兩把刀排在一起， 就表示相應的盒子里球數為 0）。 所以方法總數為 C（M+N-1 ，N-1）例 6：7 人坐成一排照像 , 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰 , 則共有 排法.解：甲、乙、丙三人把其他四人分為四部分，設四部分人數分別為X1, X2, X3, X4，其中 X1 ， X4=0， X2， X30先把其余 4 人看作一樣，則不同排法為方程X1+X2+X3+X4=4 的解的個數，令 X2=Y2+1 ， X3=Y3+1化為求 X1+Y2+Y