化工系統(tǒng)工程_01_2系統(tǒng)模擬方法

1、過程系統(tǒng)模型過程系統(tǒng)模型決策變量決策變量狀態(tài)變量狀態(tài)變量參參數(shù)數(shù)過程系統(tǒng)的模擬分析過程系統(tǒng)的模擬分析 過程系統(tǒng)的模擬分析過程系統(tǒng)的模擬分析 對某個(gè)給定的過程系統(tǒng)模型進(jìn)行模擬對某個(gè)給定的過程系統(tǒng)模型進(jìn)行模擬求解，可得出該系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，從求解，可得出該系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量，從而可以對該過程系統(tǒng)進(jìn)行工況分析而可以對該過程系統(tǒng)進(jìn)行工況分析過程系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)變量狀態(tài)變量參參數(shù)數(shù)參參數(shù)數(shù)過程系統(tǒng)模型過程系統(tǒng)模型滿足設(shè)計(jì)規(guī)定否？滿足設(shè)計(jì)規(guī)定否？決策變量決策變量調(diào)調(diào) 整整初值初值設(shè)計(jì)結(jié)果設(shè)計(jì)結(jié)果 過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化約束約束特性指標(biāo)特性指標(biāo)狀態(tài)變量狀態(tài)變量目標(biāo)函數(shù)模型目標(biāo)函數(shù)模型參參

2、數(shù)數(shù)參參數(shù)數(shù)過程系統(tǒng)模型過程系統(tǒng)模型最優(yōu)否？最優(yōu)否？決策變量決策變量最優(yōu)化模型最優(yōu)化模型初值初值優(yōu)化結(jié)果優(yōu)化結(jié)果序貫?zāi)K法（序貫?zāi)K法（SMM, SMM, equential equential odular odular ethodethod）面向方程法（面向方程法（EOM, EOM, quation quation riented riented ethodethod）聯(lián)立模塊法（聯(lián)立模塊法（ imultaneously imultaneously odular odular ethodethod）的基本部分是模塊（子程序），用以描述的基本部分是模塊（子程序），用以描述物性、單元操作以及系

3、統(tǒng)其它功能。物性、單元操作以及系統(tǒng)其它功能。對過程系統(tǒng)的模擬以單元模塊的模擬計(jì)算對過程系統(tǒng)的模擬以單元模塊的模擬計(jì)算為基礎(chǔ)。為基礎(chǔ)。按照由各種單元模塊組成的過程系統(tǒng)的結(jié)按照由各種單元模塊組成的過程系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，序貫的對各單元模塊進(jìn)行計(jì)算，從而完構(gòu)，序貫的對各單元模塊進(jìn)行計(jì)算，從而完成該過程系統(tǒng)模擬計(jì)算。成該過程系統(tǒng)模擬計(jì)算。與實(shí)際過程的直觀聯(lián)系強(qiáng)與實(shí)際過程的直觀聯(lián)系強(qiáng)模擬系統(tǒng)軟件的建立、維模擬系統(tǒng)軟件的建立、維護(hù)和擴(kuò)充都很方便，易通護(hù)和擴(kuò)充都很方便，易通用化用化計(jì)算出錯(cuò)時(shí)易于診斷出錯(cuò)計(jì)算出錯(cuò)時(shí)易于診斷出錯(cuò)位置位置計(jì)算效率較低，尤其是解計(jì)算效率較低，尤其是解決設(shè)計(jì)和優(yōu)化問題時(shí)計(jì)算決設(shè)計(jì)和優(yōu)化問題時(shí)

4、計(jì)算效率更低效率更低優(yōu)化計(jì)算設(shè)計(jì)規(guī)定計(jì)算流程計(jì)算過程單元計(jì)算物性計(jì)算圖2-4 序貫?zāi)K法的迭代循環(huán)圈又稱聯(lián)立方程法，將描述整個(gè)過程系統(tǒng)又稱聯(lián)立方程法，將描述整個(gè)過程系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程式聯(lián)立求解，從而得出模擬計(jì)的數(shù)學(xué)方程式聯(lián)立求解，從而得出模擬計(jì)算結(jié)果算結(jié)果解算快速有效，對設(shè)計(jì)、優(yōu)化問題靈活解算快速有效，對設(shè)計(jì)、優(yōu)化問題靈活方便。效率較高方便。效率較高的的形成通用軟件比較困難；不能利用現(xiàn)形成通用軟件比較困難；不能利用現(xiàn)有大量豐富的單元模塊；缺乏實(shí)際流程的有大量豐富的單元模塊；缺乏實(shí)際流程的直觀聯(lián)系；計(jì)算失敗之后難于診斷錯(cuò)誤所直觀聯(lián)系；計(jì)算失敗之后難于診斷錯(cuò)誤所在；對初值的要求比較苛刻；計(jì)算技術(shù)難在；

5、對初值的要求比較苛刻；計(jì)算技術(shù)難度較大度較大優(yōu)化計(jì)算物性計(jì)算單元計(jì)算流程計(jì)算設(shè)計(jì)計(jì)算12圖面向方程法的迭代循環(huán)圈又稱雙層法，將過程系統(tǒng)的近似模型又稱雙層法，將過程系統(tǒng)的近似模型方程與單元模塊交替求解方程與單元模塊交替求解兼有序貫?zāi)K法和面向方程法的優(yōu)點(diǎn)。兼有序貫?zāi)K法和面向方程法的優(yōu)點(diǎn)。既能使用序貫?zāi)K法積累的大量模塊，又能既能使用序貫?zāi)K法積累的大量模塊，又能將最費(fèi)計(jì)算時(shí)間的流程收斂和設(shè)計(jì)約束收斂將最費(fèi)計(jì)算時(shí)間的流程收斂和設(shè)計(jì)約束收斂等迭代循環(huán)合并處理，通過聯(lián)立求解達(dá)到同等迭代循環(huán)合并處理，通過聯(lián)立求解達(dá)到同時(shí)收斂時(shí)收斂狀態(tài)變量圖聯(lián)立模塊法（雙層法）開始賦初值嚴(yán)格模型收斂否？結(jié)束簡化模型參數(shù)

6、簡化模型優(yōu)化計(jì)算流程設(shè)計(jì)單元計(jì)算計(jì)算計(jì)算物性計(jì)算圖聯(lián)立法的迭代循環(huán)圈 序貫?zāi)K法的基本思想序貫?zāi)K法的基本思想從系統(tǒng)入口物流開始，經(jīng)過接受該物流變量的單從系統(tǒng)入口物流開始，經(jīng)過接受該物流變量的單元模塊的計(jì)算得到輸出物流變量，作為下一個(gè)相鄰單元元模塊的計(jì)算得到輸出物流變量，作為下一個(gè)相鄰單元的輸入物流變量。的輸入物流變量。依此逐個(gè)的計(jì)算過程系統(tǒng)中的各個(gè)單元，最終計(jì)依此逐個(gè)的計(jì)算過程系統(tǒng)中的各個(gè)單元，最終計(jì)算出系統(tǒng)的輸出物流。計(jì)算得出過程系統(tǒng)中所有的物流算出系統(tǒng)的輸出物流。計(jì)算得出過程系統(tǒng)中所有的物流變量值，也即狀態(tài)變量值。變量值，也即狀態(tài)變量值。序貫?zāi)K法的求解與過程系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。序貫?zāi)K法的

7、求解與過程系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。具有反饋聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)（不可分割子系統(tǒng)），需要具有反饋聯(lián)結(jié)的系統(tǒng)（不可分割子系統(tǒng)），需要用到斷裂（用到斷裂（Tearing）和收斂（）和收斂（Convergence）技術(shù)。）技術(shù)。通過斷裂技術(shù)可以打開回路，以便采用序貫?zāi)K通過斷裂技術(shù)可以打開回路，以便采用序貫?zāi)K法進(jìn)行求解。在斷裂物流處設(shè)置一個(gè)收斂單元。法進(jìn)行求解。在斷裂物流處設(shè)置一個(gè)收斂單元。對于復(fù)雜系統(tǒng)，收斂單元設(shè)置的位置不同，其效對于復(fù)雜系統(tǒng)，收斂單元設(shè)置的位置不同，其效果也將不同。果也將不同。最優(yōu)設(shè)置要通過斷裂技術(shù)去解決。最優(yōu)設(shè)置要通過斷裂技術(shù)去解決。如何得到新的變量值，如何保證計(jì)算收斂，如何如何得到新的變量值，

8、如何保證計(jì)算收斂，如何加快收斂，取決于收斂算法，與斷裂物流變量加快收斂，取決于收斂算法，與斷裂物流變量的特性有關(guān)。的特性有關(guān)。由于系統(tǒng)中各物流及其變量特性的不同，由于系統(tǒng)中各物流及其變量特性的不同，在收斂計(jì)算上常是有很大差異的。在收斂計(jì)算上常是有很大差異的。如何選擇斷裂物流、確定迭代序列，是實(shí)如何選擇斷裂物流、確定迭代序列，是實(shí)施序貫?zāi)K法進(jìn)行過程系統(tǒng)模擬計(jì)算中施序貫?zāi)K法進(jìn)行過程系統(tǒng)模擬計(jì)算中必須要解決的問題。必須要解決的問題。S1S2S4S2S5構(gòu)成的回路不是一個(gè)簡單回路，因?yàn)槠渲械膯卧蛦卧煌ㄟ^了兩次。含有回路的不可分隔子系統(tǒng)含有回路的不可分隔子系統(tǒng)s7s1s5 s6s4s2s3 25

9、 . 0135 . 023212235 . 031/ )33()81(/)4(xxxxxxxxx解：令猜值為解：令猜值為X X1 12 2；X X2 21010；X X3 35 5k kx1 kx2 kx3 1 2 10 5 2 0.5488 7.2111 3.1586 3 1.5229 8.4096 4.4735 4 0.7964 7.6596 3.7773 ： ： ： ： 12 0.9968 7.9960 3.9968 13 1.0017 8.0020 4.0022 14 0.9989 7.9989 3.9989 15 1.0006 8.0007 4.0007 解：令猜值為解：令猜值為X

10、X1 16 6；X X2 23.53.5；X X3 35 5Kkx1kx2kx3163.5521.5684.4728.72930.2561.5327.09941.5325.52621.2105發(fā)散單單調(diào)調(diào)收收斂斂衰衰減減振振蕩蕩振振蕩蕩發(fā)發(fā)散散單單調(diào)調(diào)發(fā)發(fā)散散方法系統(tǒng)直接迭代法有界Wegstein 法主特征值法Broyden法CHESSCAPESCONCEPTFLOWTRANASPEN一一些些過過程程模模擬擬系系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算算中中采采用用的的迭迭代代方方法法直接迭代法直接迭代法直接迭代法是將計(jì)算值直接迭代法是將計(jì)算值yk作為下一輪迭代的猜值作為下一輪迭代的猜值xk+1而實(shí)施迭代計(jì)算而實(shí)施迭代計(jì)算

11、非線性方程組非線性方程組的另外一種形式為的另外一種形式為與牛頓公式相比較與牛頓公式相比較)()(11kxxkkxfxfxxk 直接迭代法的雅可比矩陣為單位矩陣直接迭代法的雅可比矩陣為單位矩陣方法簡單，方法簡單， 只需要一組初值，不需計(jì)算導(dǎo)數(shù)和逆矩陣只需要一組初值，不需計(jì)算導(dǎo)數(shù)和逆矩陣迭代次數(shù)多、收斂速度慢，迭代次數(shù)多、收斂速度慢， 對初值要求較高對初值要求較高為改善直接迭代法的收斂行為，提出了阻尼直接迭代法，為改善直接迭代法的收斂行為，提出了阻尼直接迭代法，或稱加權(quán)直接迭代法：或稱加權(quán)直接迭代法：q為阻尼因子，可以人為給定為阻尼因子，可以人為給定q0 直接迭代直接迭代0q1 加權(quán)直接迭代，可改

12、善收斂的穩(wěn)定性加權(quán)直接迭代，可改善收斂的穩(wěn)定性q0 外推直接迭代，加速收斂，但穩(wěn)定性下降外推直接迭代，加速收斂，但穩(wěn)定性下降q1 1 無意義無意義)()1 (1kkkxGqqxxWegsteinWegstein法法求解一維代數(shù)方程求解一維代數(shù)方程 （1 1）WegsteinWegstein迭代公式為：迭代公式為： （2 2）其中：其中： （3 3）)(xgx )()1 (1kkkxgqqxx 11)()()1-/(kkkkxxxgxgSSSq考慮到連續(xù)函數(shù)都可進(jìn)行考慮到連續(xù)函數(shù)都可進(jìn)行Taylor展開，也展開，也即在足夠小區(qū)域內(nèi)用有限項(xiàng)多項(xiàng)式（特別是一即在足夠小區(qū)域內(nèi)用有限項(xiàng)多項(xiàng)式（特別是一次

13、多項(xiàng)式）近似原函數(shù)可獲得足夠精確性。次多項(xiàng)式）近似原函數(shù)可獲得足夠精確性。用直線用直線的根近的根近似曲線似曲線的根的根如采用光滑曲線上某點(diǎn)的切線近似則導(dǎo)如采用光滑曲線上某點(diǎn)的切線近似則導(dǎo)出牛頓（出牛頓（Newton）法。）法。如采用光滑曲線上兩點(diǎn)連線近似則導(dǎo)出如采用光滑曲線上兩點(diǎn)連線近似則導(dǎo)出割線法。割線法。現(xiàn)考慮一次方程一般情形：現(xiàn)考慮一次方程一般情形：bkx 0kbx 方程的根為方程的根為方程的根計(jì)算的是函數(shù)與方程的根計(jì)算的是函數(shù)與y = 0直線的交直線的交點(diǎn)，即下面方程組的解：點(diǎn)，即下面方程組的解： 0ybkxy如要求解的方程組改為如要求解的方程組改為 xybkxy則對應(yīng)的方程便是則對應(yīng)

14、的方程便是bkxx x = kx + b屬于不動(dòng)點(diǎn)迭代標(biāo)準(zhǔn)形式。此屬于不動(dòng)點(diǎn)迭代標(biāo)準(zhǔn)形式。此情況下方程的根為情況下方程的根為kbx 1k = (g(x1)-g(x2)/(x1-x2)b = g(x2)-kx2帶入可得：帶入可得：x1x2)(xgy x = kx + b)(111223xgkxkkx x3對于隱式一維代數(shù)方程：對于隱式一維代數(shù)方程：（4 4）相應(yīng)的迭代公式稱作割線法，其迭代公式可從相應(yīng)的迭代公式稱作割線法，其迭代公式可從WegsteinWegstein迭迭代公式導(dǎo)出代公式導(dǎo)出從（從（4 4）式可得出：）式可得出：（5 5）將上式代入（將上式代入（2 2）式）式 （6）0)()(x

15、gxxf)()(kkkxfxxg)()1 ()()1 (1kkkkkkxfqxxfxqqxxx從（從（2 2）和（）和（3 3）式得到：）式得到：（7 7）上式代入（上式代入（5 5）式，則有：）式，則有：（8 8）式（式（8 8）就是割線法的迭代公式。由此可見，）就是割線法的迭代公式。由此可見，WegsteinWegstein法與法與割線法是相通的割線法是相通的)()(11111kkkkxfxfxxsq)()()(111kkkkkkkxfxfxfxxxx隱式方程具有更大的普遍性，所以割線法常為人們所隱式方程具有更大的普遍性，所以割線法常為人們所熟知。熟知。在流程模擬領(lǐng)域中，物流回路多用顯式方

16、程描述的。在流程模擬領(lǐng)域中，物流回路多用顯式方程描述的。因而多用因而多用WegsteinWegstein法。法。由（由（2 2）式可見，一維）式可見，一維WegsteinWegstein法需要有兩個(gè)初值，其法需要有兩個(gè)初值，其中第一個(gè)初值是設(shè)置的猜值，第二個(gè)初值可根據(jù)第一個(gè)初中第一個(gè)初值是設(shè)置的猜值，第二個(gè)初值可根據(jù)第一個(gè)初值按直接迭代法得到。值按直接迭代法得到。有界有界WegsteinWegstein法法阻尼因子阻尼因子q的取值不當(dāng)可使迭代計(jì)算收斂緩的取值不當(dāng)可使迭代計(jì)算收斂緩慢甚至發(fā)散；慢甚至發(fā)散；Wegstein法雖然無須人為選定法雖然無須人為選定q值，但是也值，但是也會(huì)因?yàn)闀?huì)因?yàn)閝值不

17、當(dāng)導(dǎo)致壞的收斂行為；值不當(dāng)導(dǎo)致壞的收斂行為；有界有界Weigstein法就是憑借經(jīng)驗(yàn)人為地把法就是憑借經(jīng)驗(yàn)人為地把q值值限定在一定的范圍內(nèi)，以改善收斂行為。限定在一定的范圍內(nèi)，以改善收斂行為。FLOWTRANFLOWTRAN流程模擬系統(tǒng)中取為流程模擬系統(tǒng)中取為-5-5、0 0CHESSCHESS系統(tǒng)中當(dāng)系統(tǒng)中當(dāng)q q0 0或或q q-10-10時(shí)令時(shí)令q q=0=0maxminqqq有界有界Wegstein法法簡易多維簡易多維WegsteinWegstein法法分別用于每一個(gè)分量。令初始猜值為分別用于每一個(gè)分量。令初始猜值為x x0 0, ,則第二則第二個(gè)初值可由直接迭代得到個(gè)初值可由直接迭代

18、得到), 1(),(21nixxxgxnii )x(Gx01 ), 1(),()1 (211nixqxxxgqxkiiknkkiiki) 1/(iiiSSq), 1()()(11nixxxgxgSkikikikii忽略了變量之間的交互作用,在數(shù)學(xué)上不嚴(yán)格嚴(yán)格多維嚴(yán)格多維WegsteinWegstein法法用向量代替變量，通過矩陣運(yùn)算進(jìn)行迭代求解用向量代替變量，通過矩陣運(yùn)算進(jìn)行迭代求解對于對于n n維方程，這一方法需要維方程，這一方法需要n+1n+1組初始猜值（組初始猜值（x x0,0, x x1 1, x, xn n）)x(GQI Qxx1kkk 11)X)(G(AA)AI (Q ;Gx212

19、1 NnGGGxxx ), 1(GGGxx11nkxkkkkkk 收斂判據(jù)收斂判據(jù))()(kkkxGxxFkkxxF)(序貫?zāi)K法解設(shè)計(jì)問題序貫?zāi)K法解設(shè)計(jì)問題序貫?zāi)K法具有計(jì)算方向不可逆的特點(diǎn)，單元模序貫?zāi)K法具有計(jì)算方向不可逆的特點(diǎn)，單元模塊的計(jì)算只能按從輸入到輸出的方向進(jìn)行塊的計(jì)算只能按從輸入到輸出的方向進(jìn)行只能通過調(diào)整某些決策變量或系統(tǒng)參數(shù)使計(jì)算結(jié)只能通過調(diào)整某些決策變量或系統(tǒng)參數(shù)使計(jì)算結(jié)果滿足設(shè)計(jì)要求果滿足設(shè)計(jì)要求D D設(shè)計(jì)規(guī)定向量設(shè)計(jì)規(guī)定向量 H H過程系統(tǒng)方程組過程系統(tǒng)方程組p p決策變量與系統(tǒng)參數(shù)向量決策變量與系統(tǒng)參數(shù)向量0)()(DpHpC估計(jì)反應(yīng)單元的溫度為估計(jì)反應(yīng)單元的溫

20、度為T T估計(jì)再循環(huán)物流估計(jì)再循環(huán)物流S4S4依次計(jì)算混合單元、反應(yīng)單元、分離單元，得到新的依次計(jì)算混合單元、反應(yīng)單元、分離單元，得到新的S4S4的的比較比較S4S4與與S4S4，若兩者相等則進(jìn)行下一步，若不相等則返回，若兩者相等則進(jìn)行下一步，若不相等則返回 在收斂單元內(nèi)比較在收斂單元內(nèi)比較S5S5和設(shè)計(jì)值，若兩者不相等則返回和設(shè)計(jì)值，若兩者不相等則返回，若，若相等則計(jì)算結(jié)束相等則計(jì)算結(jié)束控制模塊圖2-19 具有再循環(huán)物流的過程系統(tǒng)混合器S1S2反應(yīng)器分離器S3S4S5控制模塊的設(shè)置增加了迭代循環(huán)圈，導(dǎo)致計(jì)算量的控制模塊的設(shè)置增加了迭代循環(huán)圈，導(dǎo)致計(jì)算量的增加增加為了提高收斂速度可以聯(lián)立求解再

21、循環(huán)物流方程和為了提高收斂速度可以聯(lián)立求解再循環(huán)物流方程和設(shè)計(jì)方程，這就是同時(shí)收斂。使斷裂物流變量設(shè)計(jì)方程，這就是同時(shí)收斂。使斷裂物流變量x x和系統(tǒng)和系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)p p同時(shí)逼近收斂解，從而大大的提高了收斂速度同時(shí)逼近收斂解，從而大大的提高了收斂速度0),(0),(DpxHxpxG序貫?zāi)K法由于具有收斂計(jì)算的循環(huán)圈以致大序貫?zāi)K法由于具有收斂計(jì)算的循環(huán)圈以致大大的增加了計(jì)算量。大的增加了計(jì)算量。對于過程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算問題和參數(shù)優(yōu)化問題，對于過程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算問題和參數(shù)優(yōu)化問題，情況將更為嚴(yán)重。情況將更為嚴(yán)重。因此，人們把注意力投向了面向方程法因此，人們把注意力投向了面向方程法面向方程法的原理面

22、向方程法的原理把描述過程系統(tǒng)的所有數(shù)學(xué)模型匯集到一起，把描述過程系統(tǒng)的所有數(shù)學(xué)模型匯集到一起，形成一個(gè)非線性方程組進(jìn)行求解形成一個(gè)非線性方程組進(jìn)行求解 x x狀態(tài)變量向量狀態(tài)變量向量 w w決策變量向量決策變量向量 F F系統(tǒng)模型方程組，其中包括系統(tǒng)模型方程組，其中包括0),(wxF物性方程物性方程物料、能量、化學(xué)平衡方程物料、能量、化學(xué)平衡方程過程單元間的聯(lián)結(jié)方程過程單元間的聯(lián)結(jié)方程設(shè)計(jì)規(guī)定方程等等設(shè)計(jì)規(guī)定方程等等比之序貫?zāi)K法，在決策變量的確定上要隨意的比之序貫?zāi)K法，在決策變量的確定上要隨意的多，決策變量和狀態(tài)變量的地位是等同的多，決策變量和狀態(tài)變量的地位是等同的通?？梢园言O(shè)計(jì)規(guī)定的變量

23、（如系統(tǒng)出口濃度）通?？梢园言O(shè)計(jì)規(guī)定的變量（如系統(tǒng)出口濃度）直接指定為決策變量。直接指定為決策變量。面向方程法在求解一般模擬問題和設(shè)計(jì)問題上是面向方程法在求解一般模擬問題和設(shè)計(jì)問題上是沒有差異的沒有差異的通常過程系統(tǒng)模型方程組總是稀疏方程組通常過程系統(tǒng)模型方程組總是稀疏方程組 過程系統(tǒng)模型的方程數(shù)和變量數(shù)往往都很大，過程系統(tǒng)模型的方程數(shù)和變量數(shù)往往都很大，但每個(gè)方程涉及的變量數(shù)一般只有幾個(gè)但每個(gè)方程涉及的變量數(shù)一般只有幾個(gè)10001,)1000, 2 , 1(jjijiibxa100512512,1007575,1005050,100bxaxaxa面向方程法的核心問題是求解超大型稀疏非線面向方

24、程法的核心問題是求解超大型稀疏非線性方程組，求解方法大致分為兩類性方程組，求解方法大致分為兩類 降維求解法降維求解法 聯(lián)立求解法聯(lián)立求解法2)(nN方程組階數(shù)非零系數(shù)個(gè)數(shù)方方程程的的稀稀疏疏性性可可以以用用稀稀疏疏比比來來衡衡量量大型稀疏非線性方程組的降維解法大型稀疏非線性方程組的降維解法把大型稀疏方程組分解成若干個(gè)小的非稀疏方程把大型稀疏方程組分解成若干個(gè)小的非稀疏方程組，然后依次分別求解，從而達(dá)到降維和增大稀疏比的組，然后依次分別求解，從而達(dá)到降維和增大稀疏比的目的目的（1 1） 方程組的分解概念方程組的分解概念對于對于稀疏方程組，常?？梢哉业揭粋€(gè)包含有稀疏方程組，常?？梢哉业揭粋€(gè)包含有個(gè)

25、變個(gè)變量的量的子方程組。這個(gè)子方程組。這個(gè)子方程組可以單獨(dú)求解。其余子方程組可以單獨(dú)求解。其余的的個(gè)方程中還可以再找出包含有個(gè)方程中還可以再找出包含有個(gè)變量的個(gè)變量的子方程子方程組，這個(gè)子方程組也可以單獨(dú)求解。組，這個(gè)子方程組也可以單獨(dú)求解。重復(fù)這一過程，最終將把原方程組分解成一系列可順重復(fù)這一過程，最終將把原方程組分解成一系列可順序求解的子方程組序求解的子方程組0606308) 5( 06 010531514447 . 1213543222411xxxfxxfxxxfxxxxfxxf54321xxxxx101010100101011111100100154321fffff53241xxxxx

26、 1111111111111125341fffff63 10414411xxfxxf08)56(48)5(7 . 1247 . 1213xxxxf6466)5034. 1 (535315532543222xxxxxfxxxxxxf（2 2）回路搜索法分解方程組）回路搜索法分解方程組在描述方程組的有向圖上進(jìn)行回路搜索。在描述方程組的有向圖上進(jìn)行回路搜索。 為了用有向圖表示方程組的結(jié)構(gòu)，首先必須對每個(gè)為了用有向圖表示方程組的結(jié)構(gòu)，首先必須對每個(gè)方程指定一個(gè)變量作為其輸出變量方程指定一個(gè)變量作為其輸出變量 輸出變量是可通過其所存在的方程中其它變量求解輸出變量是可通過其所存在的方程中其它變量求解的變量

27、，且每個(gè)變量只能被指定一次作為輸出變量的變量，且每個(gè)變量只能被指定一次作為輸出變量選事件矩陣中元素最少的行和元素最少的列的交點(diǎn)處元選事件矩陣中元素最少的行和元素最少的列的交點(diǎn)處元素對應(yīng)的變量作為優(yōu)先指定的輸出變量，然后從事件矩素對應(yīng)的變量作為優(yōu)先指定的輸出變量，然后從事件矩陣中刪去該輸出變量對應(yīng)的行和列重復(fù)上述過程直至矩陣中刪去該輸出變量對應(yīng)的行和列重復(fù)上述過程直至矩陣中所有的行和列都被刪掉陣中所有的行和列都被刪掉54321xxxxx 1111111111111154321fffff有向圖有向圖圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)方程。如果方程圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)方程。如果方程fi的輸出變的輸出變量存在于量存

28、在于fj中，則從節(jié)點(diǎn)中，則從節(jié)點(diǎn)fi向向fj作一有向邊作一有向邊這個(gè)圖代表了方程間的信息流動(dòng)方向這個(gè)圖代表了方程間的信息流動(dòng)方向圖2-20 相應(yīng)于 (2-30)式方程組的有向圖44(b)(e)( )圖2-21 回路搜索過程(c)回路搜索回路搜索25231fffff31ff 141fff它它們們分分別別代代表表原原方方程程組組分分解解后后得得到到的的小小方方程程組組，其其求求解解按按從從后后到到前前的的順順序序進(jìn)進(jìn)行行。不可分解稀疏方程組的斷裂降維解法不可分解稀疏方程組的斷裂降維解法654321xxxxxx 11111111111111111654321ffffff圖2-22 (2-31)式方程

29、組的有向圖表示該方程組是不可分解方程組，該方程組必須聯(lián)立求解需要通過斷裂可達(dá)到進(jìn)一步降維和增大稀疏比的目的斷裂與收斂是相輔相成的，斷裂后的系統(tǒng)斷裂與收斂是相輔相成的，斷裂后的系統(tǒng)必須通過收斂得以求解。必須通過收斂得以求解。為了易于收斂，因而總是希望斷裂的變量為了易于收斂，因而總是希望斷裂的變量數(shù)最少數(shù)最少。所以，總是要選擇包含變量數(shù)最少的方程所以，總是要選擇包含變量數(shù)最少的方程中的變量作為斷裂變量，斷裂變量數(shù)等中的變量作為斷裂變量，斷裂變量數(shù)等于該方程中的變量數(shù)減于該方程中的變量數(shù)減1 1。然后給斷裂變。然后給斷裂變量賦初值，再進(jìn)行迭代計(jì)算直至收斂量賦初值，再進(jìn)行迭代計(jì)算直至收斂f3，f4，f

30、5行的變量數(shù)最少，都只有兩個(gè)。行的變量數(shù)最少，都只有兩個(gè)。選擇選擇f3中的中的x5為斷裂變量。從而解出為斷裂變量。從而解出x6把把f3行和行和x5,x6列刪去，得到左式列刪去，得到左式該式為五行四列，有一個(gè)多余方程（它是由刪除斷該式為五行四列，有一個(gè)多余方程（它是由刪除斷裂變量裂變量x5產(chǎn)生的）。對其余的四行，四列進(jìn)行重排，產(chǎn)生的）。對其余的四行，四列進(jìn)行重排，可得到右式可得到右式4321xxxx11111111111165421fffff11111111111165241fffff4231xxxx斷裂可以使不可分解的稀疏方程組繼續(xù)分解聯(lián)立擬線性方程組法解聯(lián)立擬線性方程組法解 大型稀疏非線性方

31、程組大型稀疏非線性方程組大型稀疏非線性方程組的另一種求解方法是把大型稀疏非線性方程組的另一種求解方法是把非線性方程組線性化。然后聯(lián)立求解線性方程組。非線性方程組線性化。然后聯(lián)立求解線性方程組。由于線性化引入了誤差，所以要借助迭代使線由于線性化引入了誤差，所以要借助迭代使線性化方程組的解逐漸逼近非線性方程組的解性化方程組的解逐漸逼近非線性方程組的解線性化方法線性化方法對于對于n n維非線性方程組維非線性方程組用用n n維線性方程組逼近維線性方程組逼近該擬線性方程組的解（用下標(biāo)該擬線性方程組的解（用下標(biāo)QLQL表示）為：表示）為：作臺(tái)勞展開可得到牛頓迭代解（下標(biāo)作臺(tái)勞展開可得到牛頓迭代解（下標(biāo)NR

32、NR）0)(xF0)(BAxxFBAxQL1)()(11kkkkNRxFJxx令令J = AnnnnxfxfxfxfJ1111)()(11kkkkkkNRBxAJxx1111)()()(kQLkkkkkkkkNRxBABxAAxx牛頓迭代具有二階收斂特性。下面方程也具有牛頓迭代具有二階收斂特性。下面方程也具有二階收斂。二階收斂。系數(shù)系數(shù)A A和和B B均是向量均是向量x x的函數(shù)。的函數(shù)。從從x x的第的第k k次近似解次近似解x xk k可以計(jì)算得到可以計(jì)算得到J Jk k、F(xF(xk k) )，從而得到從而得到A Ak k和和B Bk k。將。將A Ak k和和B Bk k代入，得到線

33、性方程組。代入，得到線性方程組。過程系統(tǒng)的模型方程組一般由線性方程和非線過程系統(tǒng)的模型方程組一般由線性方程和非線性方程組成，因而線性化的對象應(yīng)該是非線性方程性方程組成，因而線性化的對象應(yīng)該是非線性方程kkkQLBAx11)(0)(ijxfnikikikijnikikijfxxfxxf111)()( 組分組分A A的稀溶液在常溫下離解：的稀溶液在常溫下離解：質(zhì)量平衡質(zhì)量平衡熱力學(xué)平衡熱力學(xué)平衡求當(dāng)求當(dāng)k=2，A的初始濃度的初始濃度1時(shí)平衡態(tài)的組分濃度時(shí)平衡態(tài)的組分濃度質(zhì)量平衡式是線性方程，熱力學(xué)平衡式是非線質(zhì)量平衡式是線性方程，熱力學(xué)平衡式是非線性方程，首先利用對熱力學(xué)平衡式線性化性方程，首先利

34、用對熱力學(xué)平衡式線性化BA2ABACCC2102BACkC2)()()(2pBBpBACCCkC此外，還可以得到原方程的另一種線性化方程此外，還可以得到原方程的另一種線性化方程（即直接迭代式）（即直接迭代式）兩種方法都可以收斂到解。第一種方法的收斂兩種方法都可以收斂到解。第一種方法的收斂速度明顯比第二種方法快。這是由于牛頓迭代法具速度明顯比第二種方法快。這是由于牛頓迭代法具有二次收斂的特點(diǎn)，而直接迭代法只是線性收斂有二次收斂的特點(diǎn)，而直接迭代法只是線性收斂2)(*)(2121pBABApBCCCCCk令令初初值值)0(BC1.5，對對上上式式求求解解，經(jīng)經(jīng)四四次次迭迭代代，可可得得到到收收斂斂

35、值值BC10211*)(ABApBCCCCk迭代次數(shù)牛頓法直接迭代法01.51.511.06750.821.0012501.11111131.0000010.94736841.0000001.02702750.98666761.006771170.99665681.001675稀疏線性方程組的解法稀疏線性方程組的解法稀疏非線性方程組經(jīng)線性化后得到的線性方程組仍稀疏非線性方程組經(jīng)線性化后得到的線性方程組仍然是稀疏的，從而把求解稀疏非線性方程組的問題轉(zhuǎn)化然是稀疏的，從而把求解稀疏非線性方程組的問題轉(zhuǎn)化成求解稀疏線性方程組的問題成求解稀疏線性方程組的問題常規(guī)的消去法是不經(jīng)濟(jì)的，且計(jì)算效率低。為了減常

36、規(guī)的消去法是不經(jīng)濟(jì)的，且計(jì)算效率低。為了減少計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間，常用下列兩方面的技術(shù)少計(jì)算時(shí)間和存儲(chǔ)空間，常用下列兩方面的技術(shù)只對非零元素進(jìn)行計(jì)算只對非零元素進(jìn)行計(jì)算只存儲(chǔ)非零元素（如壓縮存儲(chǔ)技術(shù)）只存儲(chǔ)非零元素（如壓縮存儲(chǔ)技術(shù)） 用高斯消去法進(jìn)行消元過程的同時(shí)，會(huì)在原來用高斯消去法進(jìn)行消元過程的同時(shí)，會(huì)在原來零元素處引入非零元素零元素處引入非零元素新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量，填充時(shí)與消元新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量，填充時(shí)與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關(guān)選取的次序有關(guān) 54321543211234512345填填充充量

37、量達(dá)達(dá)到到最最大大填填充充量量=0 在求解大型稀疏線性方程組時(shí)，應(yīng)盡可能減少填充，在求解大型稀疏線性方程組時(shí)，應(yīng)盡可能減少填充，否則會(huì)使計(jì)算效率下降。否則會(huì)使計(jì)算效率下降。 減少填充與提高數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度是矛盾的。減少填充與提高數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度是矛盾的。如，為減少填充，需把如，為減少填充，需把5555作為主元素，但如果它的絕對作為主元素，但如果它的絕對值很小，會(huì)引入較大的誤差，使計(jì)算精度、數(shù)值穩(wěn)定性值很小，會(huì)引入較大的誤差，使計(jì)算精度、數(shù)值穩(wěn)定性變差變差通常把絕對值最大的元素作為主元，進(jìn)行消元。目通常把絕對值最大的元素作為主元，進(jìn)行消元。目的是提高計(jì)算精度。但如果這樣選取的主元導(dǎo)致較大

38、的的是提高計(jì)算精度。但如果這樣選取的主元導(dǎo)致較大的填充，將引起計(jì)算效率的下降填充，將引起計(jì)算效率的下降往往選擇一個(gè)絕對值不是最大，且不會(huì)引起填充量往往選擇一個(gè)絕對值不是最大，且不會(huì)引起填充量過大的元素作為主元過大的元素作為主元人為規(guī)定一個(gè)界限人為規(guī)定一個(gè)界限 e0。當(dāng)矩陣元素的絕對值大。當(dāng)矩陣元素的絕對值大于于e，該元素就具備了作為主元的資格，若它引入的填，該元素就具備了作為主元的資格，若它引入的填充量也不是很大，就可定為主元。充量也不是很大，就可定為主元。經(jīng)驗(yàn)給定，但應(yīng)滿足提高計(jì)算精度和減少填充量的經(jīng)驗(yàn)給定，但應(yīng)滿足提高計(jì)算精度和減少填充量的統(tǒng)一要求統(tǒng)一要求該算法是在全元消去法的基礎(chǔ)上派生出

39、來的一種求該算法是在全元消去法的基礎(chǔ)上派生出來的一種求解稀疏線性方程組的算法。解稀疏線性方程組的算法。：凡與被選作主元的元素有關(guān)的方程和變量凡與被選作主元的元素有關(guān)的方程和變量都稱作都稱作“用過的用過的”，反之為，反之為“未用過的未用過的”；未用過的方程中包含的未用過的變未用過的方程中包含的未用過的變量數(shù)；量數(shù)；未用過的變量在未用過的方程中出未用過的變量在未用過的方程中出現(xiàn)的次數(shù)現(xiàn)的次數(shù)1 1 選擇縱列最小的變量，如不止一個(gè)，任選其一；選擇縱列最小的變量，如不止一個(gè)，任選其一；2 2 在與此變量有關(guān)的方程中，選擇橫列最小的方程在與此變量有關(guān)的方程中，選擇橫列最小的方程所對應(yīng)的元素作為主元所對應(yīng)

40、的元素作為主元3 3 如果橫列最小的方程不止一個(gè)，則選擇絕對值最如果橫列最小的方程不止一個(gè)，則選擇絕對值最大的元素作為主元大的元素作為主元4 4 檢驗(yàn)選出主元的絕對值是否大于用戶給出的主元檢驗(yàn)選出主元的絕對值是否大于用戶給出的主元容限。不大于，則返回容限。不大于，則返回. .否則進(jìn)行下一步；否則進(jìn)行下一步；5 5 用這樣選擇出的主元進(jìn)行常規(guī)的高斯消元，然后用這樣選擇出的主元進(jìn)行常規(guī)的高斯消元，然后返回返回。例例 一個(gè)物流分割器及混合器構(gòu)成的簡化流程一個(gè)物流分割器及混合器構(gòu)成的簡化流程。(0. 667)(0. 333)(0. 667)混合器2分割器2分割器1混合器1s5s1s2s4s6s3s7圖

41、2-23 由分割器及混全器組成的簡化流程分割器3s8s9 = 1(0. 333)(0. 667)(0. 333)021*333. 01 1*333. 02SSFSS變量名方程號123456789右側(cè)1-0.33312-0.66713 1-1-14-0.33315-0.667160.33317118-0.66719-11-1列列2和列和列8只含一個(gè)元素，即縱列只含一個(gè)元素，即縱列=1。這兩個(gè)元素分別為這兩個(gè)元素分別為方程方程1 1和和8 8的主元。這兩列中無其它元素，不用執(zhí)行消元過程。的主元。這兩列中無其它元素，不用執(zhí)行消元過程。第第3 3，5 5，7 7，9 9列均含兩個(gè)非零元素，即縱列列均含

42、兩個(gè)非零元素，即縱列=2=2。選列。選列3 3，非零元素存在于方程非零元素存在于方程2 2和和9 9中，方程中，方程2 2橫列橫列=2=2，方程，方程9 9橫列橫列=3=3，選方程選方程2 2中的該元素為主元。中的該元素為主元。消去方程消去方程9 9中第中第3 3列的元素，這將導(dǎo)致方程列的元素，這將導(dǎo)致方程9 9中的第一列中的第一列產(chǎn)生一個(gè)非零元素。產(chǎn)生一個(gè)非零元素。反復(fù)進(jìn)行上述過程，然后進(jìn)行回代過程反復(fù)進(jìn)行上述過程，然后進(jìn)行回代過程變量名方程號123456789右側(cè)1-0.33312-0.667131-0.33314-0.33315-0.667160.33317118-0.667190.66

43、7-110.333變量名方程號123456789右側(cè)1-0.33312-0.667131-0.33314-0.33315-0.667160.33317118-0.66719-0.5550.667完完成成主主元元選選擇擇后后的的增增廣廣矩矩陣陣變量號123456789值1.400.460.931.200.400.800.260.531.00回回代代后后得得到到的的變變量量值值方方程程的的主主元元素素選選擇擇過過程程選擇主元素消去元素產(chǎn)生元素改變元素(a) V2E1(V變量，E方程，RHS右側(cè))B8E8V3E2V3E9V1E9V7E6V7E9V6E9V5E4V5E3V4E3V9E7V9E3RHSE3（b）